求极限的几种常用方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限

【说明】表明x与1无限接近，但，所以这一零因子可以约去。

【解】==4

2．分子分母同除求极限

例2：求极限

【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?

【解】

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

                                        0   m>n

?   （2）      m<n

           m=n

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限??

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】

例4：求极限

【解】=

==    

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键

4.应用两个重要极限求极限

  两个重要的极限（1）

                （2）

     

     在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可

以利用公式。

例5：求极限

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑+，最后凑指数部分。

【解】=

补：求下列函数的极限

(1)

(2)（2）

                                                                                                                             

5.利用无穷小量的性质求极限

   无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果，在某区间有界，则。这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

例6：求

【解】因为    

      所以=0

6.用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

  当时,，

  ~，

(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。

(3) 此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

例7：

【解】 

例8：求极限?

【解】=

7.利用函数的连续性求极限

        这种方法适合求复合函数的极限。如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。==

也就说，极限号与可以互换顺序。

例9：求

【解】令

因为在点处连续

     所以

         =

         =

         =1

8．用洛必达法则求极限

     洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在等于A时，那么存在且等于A。如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。

例10：求极限

【解】

        =

        =?

        =3

9.用对数恒等式求极限

例11：求极限

【解】==

【注】对于型未定义式，也可以用公式

             

因为

     

10.利用两个准则求极限

（1）夹逼准则：若一正数N。当n>N时，有且，则有.

     利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。

例12：

     求的极限。

【解】因为单调递减，所以存在最大项和最小项

        

        

              

        又因为

            所以

（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

     利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的

通项递推公式求极限。

例，证明下列极限存在，并求其极限。

   

          证明：从这个数列看显然是增加的。用归纳法可证。

              又因为

              所以得.因为前面证明是单调增加的。

                       两端除以得

                因为则，从而

                        

              即是有界的。根据定理有极限且极限唯一。

                    令则

               则，因为>0.解方程得

                       所以

     本文对极限的求法作了一下小结归纳了几种求极限的基本方法。对一般的极限用上面的方法可以求出来，复杂一点的可能要综合几种方法才能求出，关键是“运用之妙，存孚一心”。

                     

               

 

第二篇：高等数学上册总结

《工程应用数学A》课程总结

无论我们做什么事都要不断地思考，不断地总结，学习也是这样，所以这次就借此机会对于这一学期所学内容进行一次总结，也算是对自我的一次思考。

一、课程主要知识

本课程主要以函数为起始，然后引出极限的定义以及极限的应用。然后以极限为基础介绍导数，微分。在微分中主要讲了一些求微分的定理，例如拉格朗日中值定理，柯西中值定理等等。其次讲了函数微积分，重点讲了一些求积分的方法，例如换元积分法，分部积分法。最后学习微分方程，这一块可以说是比较难的一章，什么一阶微分方程，二阶微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程等等，计算量也比较大。所以总的来说全书的知识点都是相连起来的。后面知识总是以前面所学知识为基础，一层一层展开的。

二、个人学习心得体会

其实不瞒老师，我高中的时候数学不是太好，平时考试数学有就有点拖后腿，而且我高考数学只考了70多分。有一天老师说，高考没及格的同学数学一定要好好学，否则极有可能挂科。当时，我还不相信，至少认为这种事不会发生在我身上。自己平时在数学上多少也花了点功夫。可以说做的准备工作比高中还多。基本上在每次上课前都能预习，课上也认真听，而且课也差不多都能听懂，作业也都是自己独立完成的。我想及格应该不是问题，但后来的第一次过程考核，我才发现差距在哪，题目基本上不怎么会写，而且后来成绩出来，刚好考了60分。当时心就碎了。感觉落差好大。于是感叹“高树”太高了！我想是不是我题目做少了，难道说大学学数学也要用题海战术吗？可是我看班里有些同学平时上课也不听，作业基本靠抄，有事没事就拿着手机看电子书，但是考试却比我高，我就很郁闷，难道是他们比我聪明还是他们另有技巧？

经过一段时间的学习之后，我发现课前预习很重要。课前预习能够让你上课更有效率，也不会那么累。老师上课在黑板上的板书很多都是书上的。如果你课前预习了，就会知道老师说的在哪，书上有没有，记笔记的时候就可以抓住重点。不用完整地抄下来。但是你不预习的话，因为不知道书上有没有或是哪里是重点就得全部抄下来，很浪费时间，这样一来一节课就全部用在记笔记上了，根本没什么时间去听课，上课也就不会有效率。所以课前预习很重要。其次必要的练习也不可缺少。比如说上课老师说的定理不太懂，这时候就需要用练习来加强对知识的理解。

三、本课程对个人的影响

高等数学在整个大学的学习过程中占有一定的重要地位，它不仅对以后将会学到的线性代数和概率统计有影响，而且还是考研必考的科目。对于我们网络工程专业准备考研的同学来说，这绝对是一个重头戏。对于不准备考研的同学来说，也有一定的影响，它可以培养我们的逻辑思维能力、计算能力，使我们的思维更缜密。数学是科学之母，任何学科的发展都离不开它。所以高数一定要学好。

四、总结

学习如逆水行舟不进则退，对于高数这门课程尤其是这样。因为只要你一节课没跟上就会步步跟不上，所以高数的学习不能放松，必须抓紧。相信我能学好！一定可以的！