三角函数的图象与性质

基础梳理

1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

         (0,0)　　(π，0)　　(2π，0)            

 (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

       (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)             

2.三角函数的图象和性质

3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)

对函数周期性概念的理解

周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.

函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为          ，

y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为         .

4.求三角函数值域(最值)的方法： 

(1)利用sin x、cos x的有界性；

关于正、余弦函数的有界性

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin²x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)²＋1≥1，解法错误.

5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)y＝sin；(2)y＝sin.

热身练习:

1．函数y＝cos，x∈R(　　)．

A．是奇函数           B．既不是奇函数也不是偶函数

C．是偶函数           D．既是奇函数又是偶函数              

2．函数y＝tan的定义域为(　　)．

A.       B.

C.  D.

3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是(   )

A．x＝－          B．x＝－       C．x＝       D．x＝

4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)．

A．(－π，0)               B.          C.                  D.

5．下列区间是函数y＝2|cos x|的单调递减区间的是                                                 (　　)

A.(0，π)　　　　　     B. 　     C.             D.

6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是(   )

A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)       B．[kπ，kπ＋](k∈Z)

C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)        D．[kπ－，kπ](k∈Z)

7.函数f(x)＝cosx∈R的最小正周期为____．

8..y＝2－3cos的最大值为_____，此时x＝_________.

9．函数y＝(sinx－a)²＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，则实数 

10．函数f(x)＝sin²x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是          .

题型一　与三角函数有关的函数定义域问题

例1　求下列函数的定义域：

(1)y＝lgsin(cos x)；        (2)y＝.

变式训练1 (1)求函数的定义域；

(2)求函数的定义域.

题型二、三角函数的五点法作图及图象变换

例2已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.

(1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；

(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？

题型三  三角函数图象与解析式的相互转化

例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝[f(x－)]²，求函数g(x)在

x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．

例4若方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x₁，x₂，求a的取值范围，并求此时x₁＋x₂的值．

例4已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥且x∈[0，π]的实数x的取值范围．

题型四  、三角函数的奇偶性与周期性及应用

例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜.

(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；

(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

题型五　三角函数的单调性与周期性

例2　写出下列函数的单调区间及周期：

(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|.

变式训练2 (1)求函数y＝sin＋cos的周期、单调区间及最大、最小值；

(2)已知函数f(x)＝4cos xsin－1.

①求f(x)的最小正周期；    ②求f(x)在区间上的最大值和最小值.

题型六、三角函数的对称性与单调性及应用

例2已知向量＝(sin2x－1，cosx)，＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝，x∈R.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程； (2)求函数f(x)的单调递增区间．

题型七　三角函数的对称性与奇偶性

例3　(1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ) 的图象关于直线x＝0对称，则φ的值为________.

(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)

 A .                  B.                      C.                      D.

变式训练3 　(1)已知函数f(x)＝sinx＋acos x的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asin x＋cos x的最大值是  (　　)

A.                 B.                  C.                      D.

(2)若函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝，函数f′(x)的图象的一个对称中心是，则f(x)的最小正周期是________.

题型八   三角函数的值域与最值的求法及应用

例3(1)求函数y＝的值域；

(2)求函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最值；

(3)若函数f(x)＝－asin·cos(π－)的最大值为2，试确定常数a的值．

【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法．

(1)y＝asinx＋bcosx型，可引用辅角化为y＝sin(x＋φ)(其中tanφ＝)．

(2)y＝asin²x＋bsinxcosx＋ccos²x型，可通过降次整理化为y＝Asin2x＋Bcos2x＋C.

(3)y＝asin²x＋bcosx＋c型，可换元转化为二次函数．

(4)sinxcosx与sinx±cosx同时存在型，可换元转化．

(5)y＝(或y＝)型，可用分离常数法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)来解决，也可化为真分式去求解．

(6)y＝型，可用斜率公式来解决．

例4已知函数f(x)＝sin2x＋acos²x(a∈R，a为常数)，且是函数y＝f(x)的一个零点．

(1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期；

(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．

题型九   分类讨论及方程思想在三角函数中的应用

例题：已知函数f(x)＝－2asin＋2a＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a和b的值.

(2)若 a＞0，设g(x)＝f 且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．

三角函数的图象与性质练习一

一、选择题

1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项正确的是(   )

A．f(x)在(，)上是递增的    B．f(x)的图象关于原点对称

C．f(x)的最小正周期为2π      D．f(x)的最大值为2

2．若α、β∈(－，)，那么“α＜β”是“tanα＜tanβ”的(   )

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件                          D．既不充分又不必要条件

3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f(x)的图象(   )

A．关于点(，0)对称        B．关于直线x＝对称

C．关于点(，0)对称       D．关于直线x＝对称

4．已知f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的图象与f(x)的图象关于点(，0)对称，则在区间[0,2π]上满足f(x)≤g(x)的x的取值范围是(    )

A．[，]                   B．[，]          C．[，]                      D．[，]

5．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，若对任意x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，则g()＝____.

6．设函数f(x)＝2sin(＋)，若对任意x∈R，都有f(x₁)≤f(x)≤f(x₂)恒成立，则|x₂－x₁|的最小值为

7．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．

(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；

(2)当x∈[0，]时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f²(x)的值域．

8．设函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，将函数f(x)的图象向左平移α个单位，得到函数y＝g(x)的图象．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若0＜α＜，且g(x)是偶函数，求α的值．

三角函数的图象与性质练习二

1.函数f(x)＝sin图象的对称轴方程可以为                                  (　　)

A.x＝                 B.x＝          C.x＝                 D.x＝

2.y＝sin的图象的一个对称中心是                                        (　　)

A.(－π，0)            B.        C.                     D.

3.函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝对称，则φ的可能取值是              (　　)

A.                             B.－          C.                                    D.

二、填空题

4.函数y＝lg(sin x)＋的定义域为___________.

5.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是______________.

4．函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于________．

6.关于函数f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：

①由f(x₁)＝f(x₂)＝0可得x₁－x₂必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；

③y＝f(x)的图象关于点对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称.

其中正确命题的序号是_________

三、解答题

7.设函数f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间.

8.(1)求函数y＝2sin (－<x<)的值域；

(2)求函数y＝2cos²x＋5sin x－4的值域.

 

 

 

三角函数的图象与性质练习三

一、选择题

1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈ 时，f(x)＝sin x，则 f 的值为  (　　)

A.－                    B.                C.－                       D.

2.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)

A.                 B.                      C.2                      D.3

3.函数f(x)＝cos 2x＋sin是                                                                (　　)

A.非奇非偶函数             B.仅有最小值的奇函数

C.仅有最大值的偶函数       D.有最大值又有最小值的偶函数

二、填空题

4.设定义在区间(0，)上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P₁，直线PP₁与函数y＝sin x的图象交于点P₂，则线段P₁P₂的长为________.

5.函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω＝___________.

6.给出下列命题：

①函数y＝cos是奇函数；    ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝；

③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x＝是函数y＝sin的一条对称轴； ⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称图形.

其中正确的序号为___________.

三、解答题

7.若函数f(x)＝sin²ax－sin ax·cos ax (a>0)的图象与直线y＝m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列. (1)求m的值；

(2)若点A(x₀，y₀)是y＝f(x)图象的对称中心，且x₀∈，求点A的坐标.

 

 

 

三角函数的图象与性质练习四

一、选择题

1．函数f(x)＝2sin xcos x是(　　)．

A．最小正周期为2 π的奇函数    B．最小正周期为2 π的偶函数

C．最小正周期为π的奇函数      D．最小正周期为π的偶函数

2．函数y＝sin²x＋sin x－1的值域为(　　)．

A．[－1,1]       B.      C.        D.

3．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　)．

A.             B.           C．2           D．3

4．函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为(　　)．

A．2π            B.            C．π            D.

5．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)．

A．y＝sin                                                                B．y＝cos

C．y＝sin                                                                  D．y＝cos

6．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)．

A．函数f(x)的最小正周期为2π          B．函数f(x)在区间上是增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称    D．函数f(x)是奇函数

二、     填空题

7.y=－|sin（x+）|的单调增区间为_______.

8.要得到的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象向左平移___单位.

9.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为_______.

10函数f(x)=()的值域是______ __.

11.已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________

12、给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是；（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是                 ．

13．若函数f(x)＝cos ωxcos(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．

14．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是______．

15．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为________．

三、解答题

16．已知f(x)＝sin x＋sin.   (1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝，求f(α)的值；

(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．

17．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

18、设函数．（1）求的最小正周期．     

（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．