整式的运算

一、知识梳理：

二、知识要点：

1、单项式、多项式、单项式的次数、多项式的次数、整式、同类项

1.单项式

  （1）单项式的概念：数与字母的积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。

  注意：数与字母之间是乘积关系。

  （2）单项式的系数：单项式中的字母因数叫做单项式的系数。

  如果一个单项式，只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。

  （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.多项式

  （1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号，看作各项的性质符号。

  （2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

  （3）多项式的排列：

  1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

  2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

  由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。

3.整式：

  单项式和多项式统称为整式。

4.同类项的概念：

  所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。

2、整式的加减（合并同类项）

合并同类项：

  1.合并同类项的概念：

  把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

  2.合并同类项的法则：

  同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

  3.合并同类项步骤：

  ⑴．准确的找出同类项。

  ⑵．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

  ⑶．写出合并后的结果。

  在掌握合并同类项时注意：

  1.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

  2.不要漏掉不能合并的项。

  3.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

3、幂的运算法则：

①         （m、n都是正整数）

②           （m、n都是正整数）

③            （n是正整数）

④          （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

⑤            （a≠0）

⑥          （a≠0，p是正整数）

幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

  积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

4、整式的乘法：

单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式

单项式与单项式相乘有以下法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

  单项式与多项式相乘有以下法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

  多项式与多项式相乘有下面的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

   平方差公式：                

完全平方公式：                     ，                       

平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。

   完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两积的2倍。

5、整式的除法

单项式除以单项式，多项式除以单项式

单项式与单项式相除有以下法则：单项式与单项式相除，把它们的系数，同底数幂分别相除，除数中多余的字母连同它的指数不变，作为积的形式。

单项式与多项式相除有以下法则：多项式与单项式相除，先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的积相加。

运算顺序      

  先乘除， 后加减。  诺有括号， 最先做。 同级运算，从左到右。 掌握运算顺序  不忙活!

三、考点例析：

一）、考查基本运算法则、公式等：

例1、（08佛山）计算：                 .

答案：；

点评：运用多项式相乘的法则即可；应注意符号、及其合并同类项，把结果变为简略的形式；

例2、（08孝感）下列运算中正确的是（    ）

A．；B．；C．； D．

答案：D；点评：对照相应的公式即可看出正确的答案来；

例3、（08广州）下列式子中是完全平方式的是（    ）

A．        B．； C．；     D． ；

答案：D．

点评：对照完全平方公式：可以看出：；

而其它三个选项都是错误的；

二）、同类项的概念

例4、 若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值．

   【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得 解出即可；求出：

所以：

三）、整式的化简与运算

例5、(08江西)先化简，再求值：

， 其中．

解：  ．

当时，原式．

点评：在化简的过程中，可以适当的运用乘法公式、运算法则进行简便运算；

四）、定义新运算：

例6、（08孝感）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：，

则方程的解为       ．17． 

点评：两次运用题目中的新运算公式：（1）；

（2），所以：，求出：；

例7、（08 宿迁）对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设、都是实数，若，则．

点评：两次运用题目中的新运算公式，不难求出问题的答案来：

（1）由：得出：，

所以：（2）

五）整体思想的运用：

 例8、计算：

分析：这里的底数为：、，而这两个式子恰为相反数，我们可以把看做一个字母：利用负数的偶次方是正数的原则变化：、两项的底数为，所以有：

解：原式===；

点评：底数是多项式且以固定的形式（或者某一形式的相反数）时出现，这类幂的乘积运算问题，可以把固定的形式看做一个整体，常常变化次数是偶次的幂的底数为它的相反数，这样变化不出现“-”，便于运算；应注意变为同底数的幂的一般方法的灵活运用；

六）巧妙变化幂的底数、指数

例9、已知：，，求的值；

点评：根据现有的知识水平，很难求出、的值来，所以我们可以把：、中的分别看作一个整体，通过整体变换进行求值，则有：

；

例10、 计算：；

分析：显然：-0.125与8的乘积是“-1”，而(-1) 高次方值容易得出答案来：①（-1）的偶次方是1；②(-1)的奇次方是（-1）；所以变化为：；则有

原式===(-1) =-;

点评：一些互为倒数或者是互为负倒数的两个数的幂的乘积问题，可以变化次数较高的幂是两个同底数的幂的乘积，其中一个幂的次数恰为其倒数（或者负倒数）的次数，逆向运用积的乘方公式，即可简化运算；

《整式的运算》测试

一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）

1．下列说法正确的是（     ）.

A．的系数为，次数为1       B．的系数为1，次数为0

C．的系数为2，次数为6          D．的系数为1，次数为4

2．如图1，阴影部分的面积是（　  　）.

Ａ．    　   Ｂ．      Ｃ．           Ｄ．

3．下列运算正确的是（   ）.

A．             B．   　　

C．             D．

4．若的值使得成立，则的值为（   ）

A．5        B．4         C．3         D．2

5．若，则的值为（    ）.

A．         B．         C．        D．

6．已知，，则的值为（     ）.

A．    B．     C．     D．

7．代数式的值（   ）.

A．只与有关            B．只与有关   

C．与都无关          D．与都有关

8．计算：的结果是（     ）.

A．          B．0          C．1         D．2

9．若      ，则括号内应填入的代数式为（    ）.

A．     B．     C．     D．

10．现规定一种运算：，其中为实数，则等于（   ）

A．        B．           C．           D．

二、耐心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）

11．把代数式和的共同点填在横线上，例如它们都是整式，①都是_______；②都是______.

12．已知与的和是单项式，则的值是______.

13．计算的结果为______.

14．一个三角形的长为，宽为，则这个三角形的面积为______.

15．若，则代数式的值为（     ）.

16．我国宋朝数学家扬辉在他的著作《详解九章算法》中提出表1，此表揭示了

（n为非负数）展开式的各项系数的规律. 例如：

它只有一项，系数为1；

它有两项，系数分别为1，1；

它有三项，系数分别为1，2，1；

它有四项，系数分别为1，3，3，1；……

根据以上规律，展开式共有五项，系数分别为__________.

17．已知一个多项式与单项式的积为，则这个多项式是_________.

18．观察下列各式：…….试按此规律写出的第个式子是______.

19．一个正方形一组对边减少，另一组对边增加，所得的长方形的面积与这个正方形的每边都减去后所得的正方形的面积相等，则原来的正方形的边长为______.

20．有若干张如图2所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为

的长方形，则需要A类卡片________张，B类卡片_______张，C类卡片_______张.

三、细心做一做，马到成功（共60分）

21．计算下列各式（每小题4分，共16分）：

  （1）     （2）

（3）                 （4）（运用乘法公式）

22．（5分）先化简，再求值：，其中，．

23．（5分）小马虎在进行两个多项式的乘法时，不小心把乘以，错抄成除以，结果得，则第一个多项式是多少？

24．（8分）梯形的上底长为厘米，下底长为厘米，它的高为厘米，求此梯形面积的代数式，并计算当，时的面积.

25．（8分）如果关于的多项式的值与无关，你能确定的值吗？并求的值.

26．（8分）已知，……

（1）你能根据此推测出的个位数字是多少？

（2）根据上面的结论，结合计算，试说明

的个位数字是多少？

27．（10分）阅读下文，寻找规律：

已知，观察下列各式：，

，…

（1）填空：            .

（2）观察上式，并猜想：①______.

②_________.

（3）根据你的猜想，计算：

①______.

② ______.

参考答案

1．D．点拨：选项A的系数为，次数为2；选项B的系数为，次数为1；选项C的系数为（或8），次数为3.

2．A．点拨：.

3．C．点拨：因，故选项A错误；又因，故选项B也错误；而，故选项D也错误.

4．C．点拨：因为，所以.

5．B．点拨：逆用公式得，.

6．B．点拨：运用整体法，可得．

7．A．点拨：原式可化简为，所以代数式的值只与有关.

8．D．点拨：.

9．A．点拨：利用验证法知，.

10．B．点拨：由规定运算得，原式.

11．答案不惟一，如：单项式；五次式.

12．13．点拨：由题意知与是同类项，故，，

解得.

13．. 点拨：.

14．. 点拨：.

15．100．点拨：

16．1，4，6，4，1；点拨：寻求规律知，每下一行的数比上一行多1个，且每行两端的数都是1，中间各数都写在上一行两数中间，并且等于它们的和.

17．.点拨：依据乘法和除法互为逆运算，可得.

18．. 点拨：从第三个式子开始，系数是前两个式子的系数之和.

19．. 设原来的正方形的边长为，根据题意得，解得.

20．2，3，1. 点拨：由于三个小卡片的面积分别是，而大长方形的面积为，故需2张A类卡片，3张B类卡片，1张C类卡片.

21．（1）原式=

（2）原式

（3）原式=

（4）原式

22．原式．

当，时，原式．

23．设第一个多项式是A，根据题意得，.

所以

24．

当，时，原式.

25．

.

由原多项式的值与无关可知，的系数须为0，即，所以.

当时，.

26．（1）因为，所以的个位数字是6.

（2）因为

      =…….

所以的个位数字是5.

27．（1）；

（2）①；② .      （3）①；

② . 点拨：因为，

所以.