实验二 阿贝成像原理和空间滤波实验

1． 引言

阿贝所提出的显微镜成像的原理以及随后的阿—波特实验在傅里叶光学早期发展历史上具有重要的地位。这些实验简单而且漂亮，对相干光成像的机理、对频谱的分析和综合的原理做出了深刻的解释。同时，这种用简单模板做滤波的方法，直到今天，在图像处理中仍然有广泛的应用价值。

1．1 实验目的和意义

1）.加强对傅里叶光学中有关空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解。

2）.用一个带有蓝天白云还有城楼的光栅进行空间滤波和图像再现，熟悉空间滤波的光路及空间滤波的原理。

2． 系统概述

2．1 系统原理

1）.二维傅里叶变换

设有一个空间二维函数g(x,y)，其二维傅里叶变换为

?

G(fx,fy)?F?g(x,y)????g(x,y)exp??i2?(fxx?

??fyy)dxdy? （1）

-1式中fx,fy分别为x,y方向的空间频率，其量纲为L，而g(x,y)又是G(fx,fy)的

逆傅里叶变换，即

F?G(fx,fy)?? ??G(fx,-1?g(x,y)?fy)expi2?(fxx?fyy)dfxdf??y （2）

??

式（2）表示任意一个空金函数g(x,y)，可以表示为无穷多个基元函数expi2?(fxx?fyy)??的线性叠加，G(fx,fy)dfxdfy是相应于空间频率为fx,fy的基元函数的权重，G(fx,fy)称为g(x,y)的空间频率。

当g(x,y)是一个空间周期性函数时，其空间频率是不连续的离散函数。

2）.光学傅里叶变换

理论证明，如果在焦距为F的会聚透镜的前焦面上放一振幅透过率为g(x,y)的图象作为物，并以波长为λ的单色平

面波垂照明图象，则在透镜后焦面

（x?,y?）上的振幅分布就是g(x,y)的傅

里叶变换G(fx,fy)，其中

x?,y?的关系为

x'y'fx,fy与坐标fx??F,fY??F （3） 图 1

故x?—y?面称为频谱面（或傅氏面），见图1，由此可见，复杂的二维傅里叶变换可以用一透镜来实现，称为光学傅里叶变换，频谱面上的光强分布则为G(fx,fy)2，称为频谱，也就是物的夫琅禾费衍射图。

3）.阿贝成像原理

阿贝在1873年提出了相干光照明下显微镜的阿贝成像原理，他认为，在相干的光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤：第一步是通过物的衍射光在物镜后焦面上形成一个衍射图，第二步则为物镜后面上的衍射图复合为（中间）像，这个像可以通过目镜观察到。

成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换，第一步把物面光场的空间分布g(x,y)变为频谱面上空家频率分布G(fx,fy)，第二步则是再作一次变换，又将

G(fx,fy)还原到空间分布g(x,y)。

图2显示了成像的这两个步骤，为了方便起见，我们假设是一个一维光栅，单色平行光照在光栅上，经衍射分解成为不同的很多束平行光相应于一定的空间频率）

，经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵，然后代表不同空间频率的光束

又重新在像平面上复合而成像。

图 2

如果这两傅氏变换完全是理想的，即信息没有任何损失，则像的物应完全相似（可能有放大或缩小），但一般说来像和物不可能完全相似，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息），不能进入到透镜而被丢失了，所以像的信息总是比物的信息要少一些，高频信息主要反映了物的细节，如果高频信息受到了孔径的限制而不能到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上显示出这些高频信息所反映的细节，这是透镜分辨率受到限制的根本原因，特别当物的结构非常精细（如很密的光栅）或物镜孔非常小时，有可能只有0级衍射（空间频率为0）能通过，则在像平面上就完全不能形成像。

4）.空间滤波

根据上面讨论，成像过程本质上是两次傅里叶变换，即从空间函数g(x,y)变为频谱函数G(fx,fy)，再变回到空间函数g(x,y)（忽略放大率），如果我们在频谱面（即透镜的后焦面）上放一些模板（吸收板或相移板），以减弱某些空间频率成分或改变某些频率成分的相位，则必然使像面上的图象发生相应的变化、，这样的图象处理称为空间滤波，频谱面上这种模板称为滤波器，最简单的滤波器就是一些特殊形状的光阑，它使频谱面上一个或一部分量通过，而挡住了其他频率分量，从而改变像上图象的频率成分，例如圆孔光阑,它使频谱面上一个或一部分频率分量通过，而挡住了其他频率分量，从而改变了像上图象的频率成分，例如圆孔光阑可以作为一个低通滤波器，而圆屏就可以用作为高通滤波器。

2．2仪器说明

激光器、扩束镜L1、圆形透镜L2、光栅、光屏、单缝、小孔光阑，白光光源等。

3． 实验步骤

图 3

（1）先将激光器打开，利用一个小孔光阑对光束的光路进行准直，对激光器高度及俯仰角进行调整，使激光光束在光学平台的中心线上。

（2）激光光束通过扩束镜L1进行扩束，得到较大光斑及散射角的光束。

（3）用小孔光阑截取光束的一部分照射到一个准直透镜上，对光束进行准直，使它变成平行光。

（4）在物架上放置一光栅，光栅条纹沿水平竖直方向，其后放一傅里叶变换透镜。在频谱面上将会看到水平方向和竖直方向上排列的等间距衍射光点。中间最亮的为0级衍射，四周依次为±1，±2，……级衍射。

（5）频谱面上放置一狭缝，分别只让水平和竖直的衍射光斑通过，观察并记录像面图像变化。

第二个实验时候实验简图如下：

图 4

（1）光栅换成具有三个偏振方向的天安门图样光栅，将其倒置并将光源换成卤钨灯，撤去显微镜目镜，直接用小孔光阑截取光束照射到准直透镜L1上，对光束进行准直，用光屏接收，观察现象。

（2）傅里叶透镜后的频谱面上用一狭缝分别只允许三个方向上的其中一个方向上的光斑通过，并把中间最亮的光也挡住，用光屏接收并观察现象。

（3）硬纸板挡住衍射光，然后在纸板上的三个方向上的衍射光上分别打三个小孔，其中每个孔各自对应每个频谱方向相应的颜色，如蓝天为蓝色，草地为绿色，城楼为红色，观察在其后方呈现出光栅上图像的不同。

4． 实验现象

1）.第一个小实验中，在远处的光屏上看到了横向和纵向的条纹。若用狭缝挡住水平方向上的衍射光谱，在屏上出现竖直方向上的衍射条纹；用狭缝挡住竖直方向上的衍射光谱，在屏上出现水平方向上的衍射条纹。

2）.第二个小实验中，三个方向的衍射光谱分别代表不同的景物。顺着光路看，水平方向代表草地，斜向右上为天空，斜向右下为城楼。按步骤（3）完成后，可在光屏上看到再现的光栅上的图像——蓝天、绿草、红色的城楼，由于光强及直板孔径大小的原因，图像很模糊，勉强可以看到。

图5 未加狭缝时，光屏所成图像

图6 最后所成图像

5． 总结和结论

在光学实验中，前期的光路调节的好坏直接影响到最后实验结果现象的好坏。首先要调节好光路，可以用一个小孔光阑作为参考，要综合考虑多个个因素，如透镜的高度、仰角、偏角等，在调节光路的时候标杆必须固定后才能调节激光器，否则会影响实验的准确性。在调节时要有耐心，认真仔细，不能急躁。其次，比较重要的就是光线准直，使发散的光变为平行光。通过本次试验，然我对所学知识有了跟直观地了解，对光学实验也有了更多的了解，得到了很多经验。

这次实验，感觉还是很有趣的，尤其是最后的天安门的光栅，尽管以前也接触过光栅，但这么使用它还是第一回，将频谱上不同方向、不同颜色的光进行滤波后，可以恢复出有颜色的像，虽然最后的天安门还是很模糊，但毕竟实验条件有限。

 

第二篇：阿贝成像原理与空间滤波实验报告

阿贝成像原理和空间滤波

【实验目的】

1．了解阿贝成像原理，懂得透镜孔径对成像的影响．

2．了解透镜的傅里叶变换功能及空间频谱的概念．

3．了解两种简单的空间滤波．

4．掌握在相干光条件下调节多透镜系统的共轴．

【实验仪器】

光具座，氦氖激光器，溴钨灯(12V，50W)及直流电源，薄透镜若干，可变狭缝光阑，可变圆孔光阑，调制用光阑，光栅(一维、正交及调制各一)，光学物屏，游标卡尺，白屏，平面镜．

【实验原理】

阿贝在1873年为德国蔡斯工厂改进显微镜时发现，大孔径的物镜能导致较高的分辨率，这是因为较大的孔径可以收集全部衍射光，这些衍射光到达像平面时相干叠加出较细的细节．例如，用一定空间频率的光栅作为物，并且用单色光加以照明，物后的衍射光到达透镜时(这里先考虑±1级衍射)，当O级与级衍射光到达像平面时，相干叠加成干涉条纹，就是光栅的像；如果单色光波长较长或者L孔径小，只接收了零级光而把级光挡去，那么到达像平面上的只有零级光，就没有条纹出现，我们说像中缺少了这种细节．根据光栅方程，不难算出，物体上细节d能得以在像平面有反映的限制为 (1)

为透镜半径对物点所张的角．换句话说，可分辨的空间频率为 (2)

物平面上细节越细微、即空间频率越高，其后衍射光的角度就越大，更不可能通过透镜的有限孔径到达像平面，当然图像就没有这些细节．透镜就成像光束所携带的空间频率而言，是低通滤波器，其截止频率就是(2)式所示的，．瑞利在1896年认为物平面每一点都发出球面波，各点发出的波在透镜孔径上衍射，到达像面时成为爱里斑，并给出分辨两个点物所成两个模糊像——两个爱里斑的判据．其实阿贝与瑞利两种方法是等价的．

波特在1906年把一个细网格作物(相当于正交光栅)，但他在透镜的焦平面上设置一些孔式屏对焦平面上的衍射亮点(即夫琅和费衍射花样)进行阻挡或允许通过时，得到了许多不同的图像．设焦平面上坐标为，那么与空间频率相应关系为

(3)

(这适用于角度较小时，为焦距，)．焦平面中央亮点对应的是物平面上总的亮度(称为直流分量)，焦平面上离中央亮点较近(远)的光强反映物平面上频率较低(高)的光栅调制度(或可见度)．1934年译尼克在焦平面中央设置一块面积很小的相移板，使直流分量产生位相变化，从而使生物标本中的透明物质不须染色变成明暗图像，因而可研究活的细胞，这种显微镜称为相衬显微镜．为此他在1993年获得诺贝尔奖．在20世纪50年代，通信理论中常用的傅里叶变换被引入光学，60年代激光出现后又提供了相干光源，一种新观点(傅里叶光学)与新技术(光学信息处理)就此发展起来．

物的内容中如含周期性结构，可以看成是各种频率的光栅组合而成，用数学语言讲就是把物展开成空间的傅里叶级数．如物的内容不是周期性的，在数学上就要作傅里叶变换，在物理上可由透镜来实现．可以证明，由于透镜作为位相变换器能把平面波转换为球面波，当单色平面波照射在透明片上[其振幅透射率为]时，如图1中光路所示，透镜后焦平面上光场复振幅分布即为其傅里叶变换 (4)

图1

式中，，实际上这也就是的夫琅和费衍射．当不在透镜前焦面上时，后焦面上仍为其傅里叶变换，但要乘上位相弯曲因子．当入射的不是平面波，而是球面波(发散、会聚均可)，则在入射波经透镜(甚至不经透镜)后形成的会聚点所在平面上也是傅里叶变换，只是也附加上了位相弯曲因子．傅里叶变换的例子如函数，函数，函数函数及许多性质的标度、卷积定理都可以由此在物理上演示出来．

如图2所示，在透镜后再设一透镜，则在Q面上的复振幅分布又经过一次傅里叶变换，

(5)

物函数的倒置也就是的像．前述在平面波照射下在前焦平面上的时，在照明光会聚点有其傅里叶变换，但要加上位相弯曲因子，该位相弯曲相当于会聚球面波照在傅里叶变换上，到达该球面波会聚点所在平面Q时，也是完成第二次傅里叶变换，只是标度有变化，即像是放大或缩小的．因此从波动光学的观点来看，正是透镜的傅里叶变换功能造成了其成像的功能．这样，就用波动光学的观点叙述了成像过程．这不但说明了几何光学已经说明的透镜成像功能，而且还预示了在频谱平面上设置滤波器可以改变图像的结构，这后者是无法用几何光学来解释的．前述相衬显微镜即是空间滤波的一个成功例子．除了下面实验中的低通滤波、方向滤波及调制等较简单的滤波特例外，还进行特征识别、图像合成、模糊图像复原等较复杂的光学信息处理．因此透镜的傅里叶变换功能的涵义比其成像功能更深刻、更广泛．

图2

【实验内容】

共轴调节．首先，要调激光束平行于光具座（图3），并位于光具座正上方，把屏Q插在光具座滑块上，并移近激光架L_S，把L_S作上下、左右移动，使光束偏离O，调节L_S的俯仰及侧转，使光束又穿过小孔；再把Q推至L_S边上，反复调节，直到Q在光具座平移时激光束均穿过O为圆心的孔，以后就不再需要改变L_S的位置。

在做以下几个实验时，都要用透镜，在加入透镜L后，如激光束正好射在L的光心上，则在屏Q上的光斑以0为中心，如果光斑不以O为中心，则需调节L的高低 图3

及左右，直到经过L的光束不改变方向(即仍打在0上)为止；此时在Ls处再设带有圆孔P的光屏，从L前后两个表面反射回去的光束回到此P上，如二个光斑套准并正好以P为中心，则说明L的光轴正好就在P、O连线上．不然就要调整L的取向．如光路中有几个透镜，先调离Ls最远的透镜，再逐个由远及近加入其他透镜，每次都保持两个反射光斑套准在P上，透射光斑以O为中心，则光路就一直保持共轴．

1．阿贝成像原理

(1)按图4布置光路．G是空间频率为每毫米几十条的光栅，在实验中作为物．L是焦距为10cm的透镜，移动L使光栅在3m处白屏上成放大的像(也可以用平面镜把光束反射到实验桌上的自屏上，但要用涂金属的那面，不要用玻璃面去反射，为什么?可以试试．) (2)用白纸插入G之后的光路中并从G处移到L可看到G后 图4

衍射光束逐步分开；再从L移到P处，可看到光束又逐步合到一起，形成光栅像．

(3)在L前设可变圆孔光阑P；在逐步减小光阑时在L后用白纸检查光束被挡去情况，如有三束光通过，则Q上仍有条纹；如仅有一束光通过，Q上就无条纹，也就是不能分辨这个空间频率的细节了(P不一定紧贴在L之前)．

(4)使P上某一圆孔刚能容纳三束光通过，测量G、P距离及圆孔半径，估算G的空间频率．并估算能分辨此频率的最小透镜孔径．

2．波特实验

仍然使用图4中光路，但改为到L的焦平面F上来改变像的空间频率结构．

把毛玻璃放在F面处可看到一系列光点，它们相应于物光栅夫琅和费衍射的0，±1，±2，…级的衍射极大值．用直尺或游标卡尺测出各衍射级离中央亮点的距离，把透镜焦距、所用激光波长与代入(3)式，算出这些亮点对应的空间频率，并与通过物像关系算出的光栅空间频率进行比较(由物距、像距，像上条纹宽度计算)，说明物理意义．利用可变狭缝光阑及小磁块，挡去某些衍射级，观察像屏S上图像的变化情况，并作出解释(可以从傅里叶光学与光波干涉两种观点来解释)．

3．透镜的傅里叶变换功能

按图5(a)布置光路，L₁、L₂构成扩束准直系统，扩束后光束截面直径增大(倍数为两透镜焦距之比)．输入至输出共距四倍焦距，故可称为系统，是典型的光束信息处理光路，能进行二次傅里叶变换．

用系统直接观察傅里叶变换，有时感到花样较小，不易看清，图5(b)光路中的物屏可放在位置1到2之间，在照明光的会聚点上都可以看到它的夫琅和费衍射，或者说傅里叶变换．自己选择一个位置(在2处，物离Q远，则花样分布较大，便于观察)，先后插入圆孔、双缝、单缝，观察其傅里叶变换光强分布情况并对傅里叶变换的标度性质、卷积定理作出物理解释．设此时P、Q距离为z，则Q空间频率标度为．

图5

4．空间滤波实验

(1)低通滤波

前述阿贝--波特实验中狭缝起的是方向滤波器的作用，可以滤去图像中某个方向的结构．而圆孔可作低通滤波器，滤去图像中高频成分，只让低频成分通过．

①按图6布置好光路，先放人L₂，再放入L₁，每次都调共轴，经L₁扩束后光斑应打在L₂中央．放人物屏P后注意P、Q的物像关系，在照明光会聚点设圆孔滤波器F．

图6

本实验物屏中央是透光的“光”字与细网格叠加在一起，网格空间频率约为10条／mm，调P、Q位置，使Q上有清晰的放大像，能看清其网格结构．

②观察F面上频谱分布，可以看到排成十字形的点阵．改变F上圆孔，逐步缩小，在圆孔直径≥lmm时(可以通过多个光点)，仍可看到像中有网格结构，而换到O．5mm直径圆孔时，只允许中央亮点通过，则在Q面上看到了没有网格的“光”字．这是因为“光”的空间频率低，就集中在光轴附近很小范围内．可见小圆孔起到只通过低频的作用．

在更换圆孔时，要特别细心，光轴必须严格穿过小圆孔圆心，才能有良好的实际效果，否则可能“光”字不完整．如试验一段时间未能奏效，可以改用下法：把字屏P移走，把F屏上O．5mm圆孔移在中央，然后细心地用手上下移动圆孔，左右调节滑块座上微动螺旋及前后推移滑块位置，同时观察Q上衍射花样以决定如何移动小圆孔，直到最后出现大而均匀的光斑，再插入物屏P，像屏Q上必有清晰字样(不带网格)．因为此时光束会聚点正好在小圆孔圆心上．

把小圆孔移到中央亮点以外的亮点上，在Q屏上仍能看到不带网格的“光”字，只是较暗淡一些．这说明当物为“光”与网格的乘积时，其傅里叶谱是“光”的谱与网格的谱的卷积，因此每个亮点周围都是“光”的谱，再作傅里叶变换就还原成“光”字．这就演示了傅里叶变换的乘积定理．

(2)用调制产生假彩色

①类似于通信技术中把信号与载波相乘以调制振幅与位相，便于发送；光学信息处理中把图像(信号)与空间载频(光栅)相乘，也起到调制作用，便于进行处理．

本实验中所用的物是由方向不同的一维光栅组合而成的(图7)．用激光束照射不同部位，就可在其后看到不同取向的衍射光线．光栅空间频率约为100条／mm，三组光栅取向各相差60⁰。

图7

②按图8(a)布置光路，S为溴钨灯，L₁起聚光作用，在L₁后聚光亮点处设滤波器F，注意使S、L₁距离大于L₁、F距离，以获得较小的亮点．物P紧靠在L₁后，F后设L₂，L₂把P的像成在Q屏上，为了得到较亮的像，最好P、L₂距离大于或等于L₂、Q距离．

③观察F面频谱的特点：第一，由于输入图像由三个取向不同的光栅构成，每组光栅对应一个衍射方向，衍射光线所在平面垂直于光栅的取向．如把该方向频谱全部挡去，则输出面上相应区域光强就转为零，例如把水平方向的频谱挡去，可以看到像上天空呈黑暗．其余类推．第二，由于照明光是白光，根据光栅方程，每组频谱零频的各色光衍射角均为0，各色光的零级叠加在一起就呈白色；而在其余±1，±2，…级上，波长长的色光衍射角大，因此各级均呈现从紫(在内)到红(在外)的连续的光谱色．

图8

④如图9所示，再次仔细调整共轴，使白光亮点恰好射在滤波器中央F透光处，而六条光谱带恰好从六条狭长孔中穿过．然后用带有铜片的小磁块在屏上移动，使铜片上小孔处在一级谱的某种颜色上，该色光得以通过．使孔1、孔通过黄光，输出平面上天空部分就呈蓝色，同理让孔2与孔通过红光，孔3与孔通过绿光，相应就在输出像中出现红色的房子与绿色的草地． 图9

⑤用白纸在F屏后由近到远移动，观察各衍射级光点的颜色及光斑形状的变化情况，再次思考输入以上光栅取向、频谱面上变色光分布及所携带信息及输出谱形之间的关系．

⑥重新调整滤波孔位置，改变输出图像的色彩，这说明色彩是人为指定的而非天然色．

在实验过程中还有两点须注意：

第一，溴钨灯额定电压为12V，因此为延长使用寿命在调整光路时电压只放在6V左右，在上述第3项调整成功后，才把电压调整到lOV，以观察输出彩色效果，观察后随即把电压调低至6V然后再关电源．电压始终不得超过12V，并不准在12V时关掉电源，否则下次开电源的瞬间，极易烧断灯丝．

第二，光源S的开孔较大，射出的灯光经过光具座的反射，易在输出面Q处增添杂散光，干扰对彩色像的观察，可在P、F各屏的下方用黑纸挡去这些杂光．

【复习思考题】

1．从阿贝成像原理出发，要获得较高的成像分辨率可以采用什么办法?如在照明光波长、物镜孔径已确定后，增大目镜的放大率能否提高分辨率?

2．用惠更斯原理解释低通空间滤波实验中频谱上各次极大亮点均带有“光”字的频谱．在本实验中如滤波孔直径从0.5减小到5，试设想输出图像是什么样的?

3．在调制实验中，物面上没有光栅处原是透明的，像面上相应部位却是暗的，为什么?如果要让这些部位也是亮的，该怎么办，此时还能进行假彩色编码吗?

4．对透镜的功能有何新认识?