〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．

（2）打“√”函数的图象与性质

分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．

（3）最大（小）值定义

     ①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；

      （2）存在，使得．那么，我们称是函数       的最大值，记作．

②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．

【1.3.2】奇偶性

（4）函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数为奇函数，且在处有定义，则．

③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域；                        ②化解函数解析式；

③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；         ④画出函数的图象．

利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换

②伸缩变换

 

③对称变换

             

           

（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（3）用图

     函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

 

第二篇：高一数学必修(1)复习：第二章函数知识点总结

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第二章 函数知识点归纳

总论：

知识网络结构图

一、函数的概念与图像

设D是一个非空的实数集，如果有一个对应规则f，对每一个x?D，都能对应唯一的一个实数y，则这个对应规则f称为定义在D上的一个函数，记以y?f?x?，称x为函数的自变量，y为函数的因变量或函数值，D称为函数的定义域，并把实数集 Z?yy?f?x?,x?D 称为函数的值域。

注意点：①定义域 ②对应规则 ③所谓同一函数必须要定义域和对应规则完全一致。

1、求定义域的主要依据：

（1）若函数y?f?x?为整式，则定义域为实数集R；

（2）分式的分母不为零；

（3）偶次方根的被开方数不小于零；

（4）对数函数的真数必须大于零；

（5）若函数f???x?由几个部分的数学式子构成的，定义域为使各个式子有意义的实数的集合的交集；

x?1,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1) x?1（6）如果函数由解决实际问题列出，定义域为符合实际意义的实数集。 例1、下列各对函数中，相同的是（ ） 2A、f(x)?lgx,g(x)?2lgx B、f(x)?lg

1?u?v D、f（x）=x，f(x)?x2 ,g(v)?1?u1?v

例2、M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）

A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 C、 f(u)?

例3、（05

江苏卷）函数y?________________________

2、求函数值域的主要方法：

（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；

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（2）换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

（3）利用对勾函数；

（4）分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

（5）单调性法：利用函数的单调性求值域；

（6）几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

例1、y?1 ；

f(x)?22x?2x?3

例2、y??x?2x?1

8(x?4) x

x3x?1(?2?x?4) 例4、y? ；y?x?12x?1

3(x?[?1,3]) 例5、y?2x例3、y?2x?

例6、y?x?2?x?1

3、重要函数图像

（1）一次函数（正比例函数）图像及其性质：

（2）反比函数图像及其性质：

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（3）二次函数图像及其性质：

?bb4ac?b2

,) ①二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴x?，顶点坐标(?2a2a4a2

②二次函数与一元二次方程关系：

③闭区间上二次函数的最值问题：

是分类讨论，数形结合，函数方程，转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的区间最值问

题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般来说首先考虑开口方向。

设f(x)?ax?bx?c(a?0)，求f(x)在x?[m，n]上的最大值与最小值。将f(x)配方，得顶点为2

b4ac?b2b(?,)、对称轴为x?? 2a2a4a

当a?0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f(x)的最值：

最小值：对称轴与区间端点大小比较进行分类讨论

bb4ac?b2

（1）当? ?m，n时，f(x)的最小值是f(?)?2a4a2a??

b?m，n时， 2a

b?m，由f(x)在m，n上是增函数则f(x)的最小值是f(m)； （2）若?2a

b?m，由f(x)在m，n上是减函数则f(x)的最小值是f(n)。 （3）若?2a当???????

最大值：对称轴与区间中点比较进行分类讨论

bm?n?时，f(x)的最大值是f(n)； 2a2

bm?n?（2）当?时，f(x)的最大值是f(m)； 2a2

当a?0时，可类比得结论。 （1）当?

2例1、设f(x)?x?4x?4,x?[t,t?1](t?R),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。

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例2、已知二次函数f(x)?ax2?(2a?1)x?1在区间???3?,2?上的最大值为3，求实数a的值。 2??

x2

?x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值 例3、已知函数f(x)??2

④二次方程根分布问题：

点拨：从三个方面进行分析：（1）??0（有不等实数根）；（2）对称轴；（3）端点的函数值

例1、已知方程2x2??m?1?x?m?0有两个不等正实根，求实数m的取值范围.

例2、方程mx?2mx?1?0有一根大于1，另一根小于1，求实根m的取值范围是

例3、已知关于x的方程(m?2)x2?2x?2m?1?0至少有一个根在区间(1, 2)内，求实数m的取值范围.

（4）对勾函数图像：

2

二、函数的表示方法与表达形式

1、函数表示的三大方法：列表法、解析法、图像法

例1、购买某种笔x支，所需花y元，若每支笔需2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x（x?1,2,3,4?）的函数，并指出函数的值域。

2、函数的表达形式：

（1）一般表达形式：y?f?x?

（2）分段函数：如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。 ?

x??1?x?1?2?1?x?1 例如 y?f?x???x

?5xx?1?

（3）复合函数：设y?f?u? 定义域U， u?g?x? 定义域X，值域U*。 如果U*?U，则y?f?g?x??是定义在X上的一个复合函数。其中u称为中间变量。

例2、已知f?x??x，求x?1?1?f?? fx?1??

例3、已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

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晧略教育 明德至善 知行合一 练习：①已知f(2x－1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域。 2?xx2，则f()?f()的定义域为__________ 2?x2x

三、函数的简单性质 ②设f(x)?lg

1、函数表示法的“无关性”：

函数的表示法只与定义域和对应规则有关，而与用什么字母表示无关，即

，

简称函数表示法的“无关性”。

例1、y?2x?5 与y?2u?5 是否为同一函数？

2、函数的单调性：

如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

注意点：设y?f?g?x??是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y?f?g?x??在M上是减 函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则y?f?g?x??在M上是增函数。

例1、证明函数f(x)??x3(x?R)的单调性

例2、函数y?log0.1(6?x?2x2)的单调增区间是________

例3、已知f(x)???(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是 （ ）

?logax,x?1

1

31173（D）[,1) （A）(0,1) （B）(0,) （C）[,)

3、函数的奇偶性： 17

设区间X关于原点对称，若对x?X，都有f??x???f?x?，则称f?x?在X上是奇函数；若对x?X，都有f??x??f?x?，则称f?x?在X上是偶函数。

重要性质：（1）奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称；

（2）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

（3）奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇

判断函数奇偶性的主要方法：①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系

?2x?b例1、已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。 2?a

（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围； 例2、已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，f(x)?x?x4，则当x?(0,??)时，22f(x)?

习题：若奇函数f(x)(x?R)满足f(2)?1，f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)?_______

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