高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性如：世界上最高的山

(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰

洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c……}

2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4） Venn图:

4、集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

2(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝

二、集合间的基本关系

1.?包含?关系—子集

注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

2实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等?

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或B③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

nn-1? 有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集

第 1 页 共 8 页 A)

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a，b，c }的真子集共有 个

3.若集合M={y|y=x-2x+1,x?R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .

2

4.设集合A=x?x?2，B=xx?a，若A?B，则a的取值范围是

??

?

?

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .

7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若∩C=Φ，求m的值

2

2

2

2

学实验做得

B∩C≠Φ，A

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

? ；

②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、 描点法：

B、 图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换

2) 伸缩变换

3) 对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f（对应关系）：A（原象）?B（象）?

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x，x∈D，且x<x； ○1212

2 作差f(x)－f(x)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）； ○

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○1212

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：?同增异减?

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函○

数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法

2) 待定系数法

3) 换元法

4) 消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴y?

⑵y2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _

3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是

?x?2(x??1)?4.函数 ，若f(x)?3，则x= f(x)??x2(?1?x?2)

?2x(x?2)?

5.求下列函数的值域：

⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2]

(3)y?x

y6.已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数

7.已知函数f(x)，f(2x?1)的解析式 f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。

8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时

,f(x)?x(1,则当x?(??,0)时 f(x)在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴ y?x2?2x?3

⑵f(x)= y?⑶ y?x2?6x?1

10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论．

11.设函数f(x)?1?x2

判断它的奇偶性并且求证：1f()??f(x)． 21?xx

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。 n

?a(a?0)当n是奇数时，a?a，当n是偶数时，a?|a|?? ?a(a?0)?nn

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)

a?m

nmn，?1

a

rmn?1am(a?0,m,n?N*,n?1) ? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）a〃a?a

(a?0,r,s?R)；

rsrs(a)?a（2） rr?s

(a?0,r,s?R)；

rrs(ab)?aa （3）

(a?0,r,s?R)．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2

（1）在[a，b]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

（2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R；

（3）对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1)，总有f(1)?a；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式） 说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1；

2 ax?N?logaN?x； ○

3 注意对数的书写格式． ○

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

x

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么：

1 loga(M〃N)?logaM＋logaN； ○

M

?logaM－logaN； N

3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○

2 loga○

注意：换底公式

logab?

logcb

（a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）．

logca

1n

（2）logab?． logab；

mlogba

利用换底公式推导下面的结论 （1）logambn?

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+≦）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

y?2log2x，y?log5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

5

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

2

?

1、幂函数定义：一般地，形如y?x(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+≦）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

例题1. 已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

log27?2log52

2.计算： ①log32? ;②24?log23= ；5= ;

log2764

1

③0.064??(?7)0?[(?2)3]??16?0.75?0.01 = 1

418

3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为 2

2

4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

f(x)?0的5.已知f(x)?log1?x(a?0且a?1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使

a1?xx的取值范围

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?○

系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．

（1）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

222f(x)的图象联

 

第二篇：高中数学人教版必修一知识点总结归纳

第一章 集合与函数概念

一：集合的含义与表示

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

3、集合的表示：{?}

（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c??}

b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合

（2）无限集：含有无限个元素的集合

（3）空集：不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系：

（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A

（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A

? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

6、集合间的基本关系

（1）.“包含”关系（1）—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合

A是集合B的子集。记作：A?B（或B?Ａ）

注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分；

（2）A与B是同一集合。

?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

（2）.“包含”关系（2）—真子集

如果集合A?B，但存在元素x?B且x￠A，则集合A是集合B的真子集

如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A

（3）．“相等”关系：A=B

“元素相同则两集合相等”

如果A?B 同时 B?A 那么A=B

（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

第 1 页 B(或BA)读作A真含与B

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 （5）集合的性质

① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C

③如果AB且BC，那么AC

④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 7

1． 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任

意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．

（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

2． 函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3． 函数的表示方法： （1）解析法：明确函数的定义域

（2）图像法：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲

线、直线、折线、离散的点等等。

（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标

的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

第 2 页

(2) 画法

A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。

（3）函数图像平移变换的特点：

1）左加右减——————只对x

2）上减下加——————只对y

3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)

4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)

5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)

6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得

函数y=| f(x)|

7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

三、函数的基本性质

1、函数解析式子的求法

（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它

们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）、求函数的解析式的主要方法有：

1）代入法：

2）待定系数法：

3）换元法：

4)拼凑法：

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义

的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两

点必须同时具备)

4、区间的概念：

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

5、值域 （先考虑其定义域）

（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

（2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X

的范围类似求Y的范围。

(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。

(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

6.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

第 3 页

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

7．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，

而映射不一定的函数

8、函数的单调性(局部性质)及最值

（1）、增减函数

（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，

x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间称为y=f(x)

的单调增区间.

（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就

说f(x)在这个区间上是减函数.区间称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种

（2）、 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）、函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x，x∈D，且x<x； ○

2 作差f(x)－f(x)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）； ○

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○12121212

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 9：函数的奇偶性（整体性质）

（1）、偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）、奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇

第 4 页

函数．

（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；

b、确定f(－x)与f(x)的关系；

c、作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；

奇函数的加减仍为奇函数；

奇数个奇函数的乘除认为奇函数；

偶数个奇函数的乘除为偶函数；

一奇一偶的乘积是奇函数；

a、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

(1)再根据定义判定;

(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

10、函数最值及性质的应用

（1）、函数的最值

a 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

b 利用图象求函数的最大（小）值

c 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（2）、函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

（3）、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商

法是与1作比较。

（4）、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。

（5）、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判

断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0）。

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数

第 5 页

1、 指数与指数幂的运算：

复习初中整数指数幂的运算性质：

am*an=am+n

(am)n=amn

(a*b)n=anbn

2、根式的概念：一般地，若xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号 表示。

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用

符号 表示，负的n的次方根用符号 表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成 （a>0）。

注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。

?a(a?0)当n是奇数时，an?a，当n是偶数时，an?|a|?? ??a(a?0)

式子a 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。

3、 分数指数幂

正数的分数指数幂的

mm?11m*(a?0,m,n?N*,n?1) an?a(a?0,m,n?N,n?1)，an?m?am

na

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

4、 有理数指数米的运算性质

rrr?saa?a（1）· (a?0,r,s?R)；

rsrs(a)?a（2）

rrs(ab)?aa （3）(a?0,r,s?R)； (a?0,r,s?R)．

5、无理数指数幂

一般的，无理数指数幂aa（a>0,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

（二）、指数函数的性质及其特点

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的

定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？

2

第 6 页

（1）在[a，b]上，值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

（2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R；

（3）对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1)，总有f(1)?a；

（4）当a>1时，若X1<X2 ,则有f(X1)<f(X2)。

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果ax?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以记作：x?logaN．a为底．．N的对数，

（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式）

说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1；

2 a?N?logN?x； ○

3 注意对数的书写格式：log○xa

aN

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么：

1 log(M·N)?logM＋logN； ○

M?logM－logN； 2 log○Naaaaaa

3 log○aMn?nlogaM (n?R)． 注意：换底公式

logcb （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）． logab?logca

利用换底公式推导下面的结论

1n（1）logabn?logab；（2）logab?． mlogbam

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义

域是（0，+∞）．

第 7 页

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log2x，y?log5都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

2

x 5

三、幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，

图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

第三章 函数的应用

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点． 3、函数零点的求法：

（1）（代数法）求方程 的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

第 8 页