北师大版八年级上册数学知识点总结

第一章   勾股定理

1、勾股定理

（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）

（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足的三个正整数a，b，c，称为勾股数。

 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……

 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……

（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1

如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……

4、常见题型应用：

  （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……

  （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……

  （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~

    判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状

  （4）构建直角三角形解题

例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。

    解：设两直角边为3x，4x，由题意知：

   

    ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。

中考突破

    （1）中考典题

    例. 如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

    思维入门指导：梯子顶端A下落的距离为AE，即求AE的长。已知AB和BC，根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。

    解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，

    ∴AC=2

    ∵BD=0.5，∴CD=2

   

    ∴EC=1.5

   

    答：梯子顶端下滑了0.5米。

点拨：要考虑梯子的长度不变。

例5. 如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

    思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD，似乎不

    解：连结AC，在Rt△ADC中，

   

   

    在△ABC中，AB2=1521

   

   

   

   

    答：这块地的面积是216平方米。

    点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。

第二章实数

基本知识回顾

1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。

 

 

一、实数的概念及分类   

1、实数的分类        

                          正有理数

     有理数       零           有限小数和无限循环小数

实数                负有理数

                正无理数

     无理数                  无限不循环小数

                负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/3+8等；

（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数值，如sin60o等

二、实数的倒数、相反数和绝对值   

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|= -a，则a≤0。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算

利用非负数解题的常见类型

    例1.

    解：

   

   

   

   

    点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。

三、平方根、算数平方根和立方根  

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。                         

 注意的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即a≥0，          

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较   

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

（6）倒数法：设a、b是同正,如果1/a＞1/b，则a＜b;同负，如果1/a＞1/b，则a＞b

五、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2、性质：

（1）

（2）   

                        

（3） （）

（4）     （）

3、运算结果若含有“”形式，必须满足：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

六、实数的运算   

（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方  、开方

（2）实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

（3）运算律

加法交换律        

加法结合律        

乘法交换律         

乘法结合律        

乘法对加法的分配律

  例. 计算：

   

   

   

   

    通过以上计算，观察规律，写出用n（n为正整数）表示上面规律的等式___________。

    解：

    规律：

第三章图形的平移与旋转

一、平移   

1、定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2、要素（或条件）：方向，即前后对应点的射线方向；距离，即对应点之间的距离

3、性质：平移前后两个图形的形状和大小不变（即全等图形），对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。

4、平移作图：

线段的平移作法：

    作法1：将线段两端点分别平移，然后将两个平移后的点连成线段，即为原线段平移后的线段；

    作法2：将线段一端点平移，然后过平移 后的点作原线段的平行线，在该平行线适当方向截取长度为指定线段长度，则所得线段为所求.

二、旋转   

1、定义：在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、要素（或条件）：旋转中心（定点）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（0~3600）

3、性质：旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。

4、旋转作图：

（1）作图步骤：观察基本图案（确定关键点）——确定旋转的三要素——找到对应点——连接对应点——作答  

（2）旋转作图的方法：1、把各关键点依次与旋转中心连接

                     2、按要求向顺时针/逆时针旋转相应角度

                     3、截取对应线段

                     4、连接对应点

                     5、作答  

三、简单的图案设计：

第四章四边形性质探索

一、四边形的相关概念   

    1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2、四边形具有不稳定性

3、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)× 180°；

      多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

6、设多边形的边数为n，从n边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。多边形的对角线共有条。

二、平行四边形   

    1、平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线之间的距离（平行线间的距离处处相等）

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

5、平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah

三、菱形   

    1、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行

（2）菱形的相邻的角互补，对角相等

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

四、矩形   

    1、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）矩形的对边平行且相等

（2）矩形的四个角相等，都是直角

（3）矩形的对角线相等且互相平分

（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab

五、正方形    （3~10分）

    1、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）正方形四条边都相等，对边平行

（2）正方形的四个角都是直角

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证它是菱形。

先证它是菱形，再证它是矩形。

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

S正方形=

例1. 菱形的周长为20cm，相邻两内角的比为1：2，求菱形的面积？

    解：如图所示，菱形ABCD，由于周长为20cm，∴AB=5cm

   

   

    过点A作BC的垂线，垂足为E，则∠BAE=30°

   

   

   

    另一种解法：如图所示，连结AC、BD，相交于点O。

   

   

    ∴△ABC是等边三角形，∴AC=5

   

   

   

   

   

    点拨：菱形的两种求面积的方法都比较常用，注意根据题中所给的条件灵活选择。有时要与一些特殊角，比如30°、60°角的特殊性质联系起来。

六、梯形   

   （一） 1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

2、梯形的判定

（1）定义法：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

         一般梯形

梯形                 直角梯形

        特殊梯形

                     等腰梯形

（三）等腰梯形

1、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补,不同底的两个角互补。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）

（四）梯形的面积

（1）如图，

（2）梯形中有关图形的面积：

①；

②；

③

七、有关中点四边形问题的知识点：

（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；

（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；

（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；

（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；

八、中心对称图形  

    1、定义

在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

2、性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

例. 作图，作出△ABC绕O点旋转180°后的图形。

    解：作法：

    （1）连结AO并延长在延长线上截取A’O=AO

    （2）连结BO并延长在延长线上截取B’O=BO

    （3）连结CO并延长在延长线上截取C’O=CO

    （4）顺次连结A’B’，B’C’，C’A’。

    △A’B’C’即为所求。

九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系：

  

例. 如图所示，梯形ABCD，AC=BD，这个梯形是等腰梯形吗？说明理由。

    解：是等腰梯形，理由如下：

    把AC平移到DE的位置，则四边形ACED是平行四边形

    ∵DE=BD，∠1=∠2

    ∴∠2=∠3，∴∠1=∠3

    在△DBC和△ACB中，DB=AC，∠1=∠3，BC=CB

    ∴△DBC≌△ACB（SAS）

    ∴DC=AB

    ∴梯形ABCD是等腰梯形。

例1. 如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，则重叠部分△AEC的面积为多少？

    解：∵CD’=CD=AB，∠CED’=∠AEB，∠D’=∠B=90°

   

   

   

   

   

   

   

   

    点拨：设未知数列方程有时是解决几何问题的重要方法。