椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
高三数学备课组
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
6. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
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高中数学圆锥曲线选知识点总结
一、椭圆
1、定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹称为椭圆.
即:|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质:
二、双曲线
1、定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于
F1F2)的点的轨迹称为双曲线.即:||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|)。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质:
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 三、抛物线
1、定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线. 2、抛物线的几何性质:
3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于?、?两点的线段??,称为抛物线的“通径”,即???2p. 4B(x2,y2),直线AB设AB为过抛物线y2?2px(p?0)焦点的弦,A(x1,y1)、
的倾斜角为?,则
p22p
⑴x1x2?,y1y2??p2;⑵AB?; 2
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椭圆的定义、标准方程、图象及几何性质:
双曲线的定义、标准方程、图象及几何性质:
抛物线的定义、标准方程、图象及几何性质:
圆锥曲线的统一定义:
若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数,则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点,定直线为准线,为离心率。
当时,轨迹为椭圆;当时,轨迹为抛物线;当时,轨迹为双曲线。
1.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:)
(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:
(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;
(2)在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。
2、焦点三角形问题(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形):常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。
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圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆
(1)椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点,则有。
椭圆的标准方程为:()(焦点在x轴上)或()(焦点在y轴上)。
注:①以上方程中的大小,其中;
②在和两个方程中都有的条件,要分清焦点的位置,只要看和的分母的大小。例如椭圆(,,)当时表示焦点在轴上的椭圆;当时表示焦点在轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
①范围:由标准方程知,,说明椭圆位于直线,所围成的矩形里;
②对称性:在曲线方程里,若以代替方程不变,所以若点在曲线上时,点也在曲线上,所以曲线关于轴对称,同理,以代替方程不变,则曲线关于轴对称。若同时以代替,代替方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于轴、轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令,得,则,是椭圆与轴的两个交点。同理令得,即,是椭圆与轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
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《圆锥曲线》知识要点及重要结论
一、椭圆
1 定义 平面内到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.若,点的轨迹是线段.若,点不存在.
2 标准方程 ,两焦点为.
,两焦点为.其中.
3 几何性质
椭圆是轴对称图形,有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形,对称中心是椭圆的中心.
椭圆的顶点有四个,长轴长为,短轴长为,椭圆的焦点在长轴上.
若椭圆的标准方程为,则;
若椭圆的标准方程为,则.
二、双曲线
1 定义 平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线. 若,点的轨迹是两条射线.若,点不存在.
2 标准方程 ,两焦点为.
,两焦点为.其中.
3 几何性质
双曲线是轴对称图形,有两条对称轴;双曲线是中心对称图形,对称中心是双曲线的中心.
双曲线的顶点有两个,实轴长为,虚轴长为,双曲线的焦点在实轴上.
若双曲线的标准方程为,则;
若双曲线的标准方程为,则.
4 渐近线
双曲线有两条渐近线和.即
双曲线有两条渐近线和.即
双曲线的渐进线是它的重要几何特征,每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线,但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.
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椭圆 必背的经典结论
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
6. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
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圆锥曲线与方程
课 题:小结与复习
教学目的:
1. 椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距,椭圆的几何性质,椭圆的画法; 双曲线的定义、标准方程、焦点、焦距,双曲线的几何性质,双曲线的画法,等轴双曲线;抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距,抛物线的几何性质,抛物线的画法,
2. 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育
教学重点:椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质;坐标法的应用.
教学难点:椭圆、双曲线的标准方程的推导过程;利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等.
授课类型:复习课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、课前预习
二、复习引入:
抛物线:
三、章节知识点回顾:
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标准方程,并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
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圆锥曲线图表总结
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