分段函数常见题型及解法

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数， 它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.

与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．

1．求分段函数的定义域和值域

例1.求函数的定义域、值域.

解析：作图,  利用“数形结合”易知的定义域为,  值域为（-1，2]U｛3｝.

例2.求函数的值域.

解析：因为当x≥0时，x²+1≥1；当x<0时，-x²<0.所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).
2．求分段函数的函数值

例1.已知函数求.

解析：因为,  所以.

例2.已知函数 ，求f{f[f(a)]} (a<0)的值.

分析: 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1, ,
　，所以，.
    注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．

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抽象函数常见题型及解法

没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。常见题型及其解法如下：

一、函数性质法

1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.

二、特殊模型和抽象函数

三、常用变换技巧

四、经典例题及易混易错题型

 (一)定义域问题

这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解.

例1. 函数的定义域为，则函数的定义域是___.

分析：因为相当于中的x，所以，解得或.

例2. 已知函数的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域.

分析：已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数的值域.的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足,从而函数f（x）的定义域是［1，4］

例3.若函数的定义域为，求函数的定义域.

解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：.

所以函数的定义域为

例4.已知的定义域为，则的定义域是______.

分析：因为及均相当于中的x，所以

(1)当时，则

(2)当时，则

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高考函数题型方法总结(函数)

题型一：函数求值问题

★（1）分段函数求值→“分段归类”

例1．已知函数?log3x,x?01f(x)??x，则f(f())?( ) 9?2,x?0

B. A.4 1 4 C.-4 D-14

Ex1若?tanx,x?0?f(x?2)??，则f(?2)?f(?2)?（ ） 4?log2(?x),x?0

C．2 D．?2 A．?1 B．1

x?0?log2(4?x),Ex2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)=?，则f（2013）的值为( ) f(x?1)?f(x?2),x?0?

A.-1 B. -2 C.1 D. 2

（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转化”

例2．已知函数1f(x)满足：x≥4,则f(x)＝()x；当x＜4时f(x)＝f(x?1)，则f(2?log23)＝（ ） 2

1113（A） （B） （C） （D）241288

，则f(?1)?（ ） f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2x?2x?b（b 为常数）ex设

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函数综合题分类复习

题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立。

1

例1.已知函数f(x)?x3?bx2?2x?a，x?2是f(x)的一个极值点．

3

2

（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）若当x?[1, 3]时，f(x)?a2?恒成立，求a的取值范围．

3

例2.已知函数f(x)?x3?ax2?ax?b的图象过点P(0,2).

（1）若函数f(x)在x??1处的切线斜率为6，求函数y?f(x)的解析式；（2）若a?3，求函数y?f(x)的单调区间。

2x2

,g(x)?ax?5?2a(a?0)。 例3.设f(x)?

x?1

（1）求f(x)在x?[0,1]上的值域；

（2）若对于任意x1?[0,1]，总存在x0?[0,1],使得g(x0)?f(x1)成立,求a的取值范围。

例4.已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)的切线斜率为?3，

t?62

g(x)?x3?x?(t?1)x?3(t?0)

2

（Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域； （Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

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                        对数极对数函数题型总结

例题讲解
一、利用对数恒等式化简求值

1．求值： 　　

　
　　2．求的值(a，b，c∈R⁺，且不等于1，N>0)
　　 

二、积、商、幂的对数
　　3．求值
　　(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)²   (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)²
　　
　　4．已知3^a=5^b=c，，求c的值.
　
　　5．设a、b、c为正数，且满足a²+b²=c².求证：.
　　6．已知：a²+b²=7ab，a>0，b>0. 求证：.
　　
三、换底公式的运用
　　7．(1)已知log_xy=a， 用a表示；
　　　 (2)已知log_ax=m， log_bx=n， log_cx=p， 求log_abcx.
　　

8．求值：(1)；(2)；(3).
　　

四、对数运算法则的应用
　　9．求值
　　(1) log₈9·log₂₇32
　　(2)
　　(3)
　　(4)(log₂125+log₄25+log₈5)(log₁₂₅8+log₂₅4+log₅2)
　　
　　10．求值：
　　

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1.集合基本运算，数轴应用

已知全集，则集合

A．   B．   C．   D．

2.集合基本运算，二次函数应用

已知集合，则（   ）

A．        B．      C.．          D．

3.集合基本运算，绝对值运算，指数运算

设集合，则（  ）

   A.        B.      C.           D.

4.集合基本性质，分类讨论法

已知集合A= ，且-3 A，求a的值

5.集合基本性质，数组，子集数量公式

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集合与函数知识点讲解

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

 

中元素各表示什么？

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

    空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

   

   

 3. 注意下列性质：

   

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

   

的取值范围。

补充：数轴标根法解不等式

5. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

   （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

6 . 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

   （定义域、对应法则、值域）

7. 求函数的定义域有哪些常见类型？

   

8. 如何求复合函数的定义域？

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函数、基本初等函数的图象与性质

　1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大．

1． 函数的概念及其表示

两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．

2． 函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．

(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.

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