（一）椭圆的定义：

1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明：

（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；

（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；

（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F₁F₂|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F₁F₂|时，我们得到的是线段F₁F₂；当这个“常数”小于| F₁F₂|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A₁， A₂， B₁， B₂，于是我们易得| A₁A₂|的值就是那个“常数”，且|B₂F₂|+|B₂F₁|、|B₁F₂|+|B₁F₁|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：

相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，。

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例1  椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当为长轴端点时，，，

椭圆的标准方程为：（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：   ∴，∴．

例3  已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为，由，得，

∴，，，∴，∴为所求．

例4椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．

（1）求证；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．

证明：（1）由椭圆方程知，，．由圆锥曲线的统一定义知：，

∴   ．同理   ∵   ，且，

∴   ，即   ．

（2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为．

又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得 又∵点，都在椭圆上，∴      

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8.2　椭圆的简单几何性质

一、知识点

通过对椭圆标准方程的讨论，掌握椭圆的性质（范围、对称性、顶点、离心率），并能正确画出椭圆的图形。

二、能力训练点

结合对椭圆几何性质的讨论，掌握利用方程研究曲线的基本方法，加深对曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题、解决问题的能力。

三、德育渗透点

由于通过方程研究曲线，以初中代数中数与式的知识为基础研究几何问题，综合运用方程（组）理论，提高代数运算能力，提高综合分析能力，揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。

四、美育渗透点

用美学的眼光审视数学，数学中处处闪耀着美的光彩，椭圆代数方程闪耀着数学的简约美、方程形式的对称性显现数学的对称、均衡美.用数学的简约美去研究曲线几何性质的形象美，是学数学、用数学的重要目标。

五、学法指导

根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并能正确画出它的图形，是解析几何的基本问题之一.根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质，画图就可以说是解析几何的目的，通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质这是第一次系统地用代数方法研究曲线。

研究椭圆的范围，意在考察方程中x、y的取值范围；讨论椭圆的对称性，应明确初中学过的对称概念和关于x轴、y轴、原点对称点坐标之间的关系，然后说明以－x代x，或以－y代y方程不变，则图形关于x轴、y轴、原点对称的道理；关于曲线的截距，相当于求曲线与坐标轴的交点；离心率的概念比较抽象，它是焦距与长轴长的比值，它反映了椭圆的圆扁程度，这是圆锥曲线的重要性质。

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[学业水平训练]

1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(　　)

A.　　　                                                B.

C.                                                          D.

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《椭圆的简单几何性质》教学反思

椭圆的简单几何性质的重点是性质，难点是应用。椭圆的简单几何性质的知识是解析几何中一个重要内容，是训练学生逻辑思维，发展空间想像能力，提高分析和解决问题能力等的又一重要素材。 新课开始，先复习椭圆定义和方程，然后结合图形观察分析得出椭圆有性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)。

当然，要真正掌握性质并灵活应用，适当的训练是必不可少的。由于椭圆的简单几何性质安排了六节数学课，还有足够的时间来开展反馈环节。课本后面的练习及习题比较多，其中习题的第５题及９题难度较大。对于比较简单的习题，基本上由学生独立完成，当然学生解题的时间必须要保证。而对于比较难的第５及９题，采取创设问题情境，注重启发艺术，体现“低起点、小步子、及时反馈”的教学原则，让尽可能多的学生思维和积极性得到最大的挑战和提高。当然，教学永远是一门遗憾的艺术，教学境界是无止境的，“启而不发，引而不导”是一个不断完善的操作过程。

对于习题的教学，如何提升习题的潜在价值，如何让学生得到最大的收获，这是我们每天面对和思考的焦点。在教学过程中几乎花了一节课的时间开展习题教学，由于自己一直担心时间的紧张，学生的主体性没有得到有效体现，进而数学思维及能力缺少了锤炼的机会。这部分的缺陷，将在今后的教学中找时间来给学生补上，不过这是在教学中应注意的，将要要求自己在今后的教学中尽量做到最好。

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椭圆的几何性质

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.       设定点，，动点满足条件＞，

则动点的轨迹是                                           （   ）                                                         

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椭圆的几何性质教学案例

一、教案背景

1.面向对象：高二学生      

2.学科：数学

3.课题：椭圆的几何性质

4.课时：3课时        

5.课前准备：

（1）学生预习本节内容，了解椭圆的范围、对称性和顶点。

（2）教师准备课件。

二、教材分析

《椭圆的几何性质》是苏教版选修1-1的内容。本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。 

三、教学目标                                          

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2.1.2 椭圆的简单几何性质（第一课时）

教学目标

（一）教学知识点

椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点.

（二）能力训练要求

1.使学生了解并掌握椭圆的范围.

2使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心.

3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a、b、c的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距.

4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义.

教学重点

椭圆的简单几何性质.

教学难点

椭圆的简单几何性质.

（这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）

教学方法

师生共同讨论法.

通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质.

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程，（焦点在x轴上）或

（焦点在y轴上）（板书）

那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？

同学们知道，20##年的8月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的9月25日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？

（出示神七发射画片并解说）：20##年9月25日21时，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问： “神舟七号”载人飞船的运行轨道是什么？——对，是椭圆。

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