（一）椭圆的定义：

1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明：

（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；

（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；

（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F₁F₂|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F₁F₂|时，我们得到的是线段F₁F₂；当这个“常数”小于| F₁F₂|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A₁， A₂， B₁， B₂，于是我们易得| A₁A₂|的值就是那个“常数”，且|B₂F₂|+|B₂F₁|、|B₁F₂|+|B₁F₁|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：

相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c）和（0，c）。椭圆的焦点在 x 轴上标准方程中x²项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y²项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。总结如下：

几点说明：

（1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。

（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0<e<1，离心率反映了椭圆的扁平程度。

由于，所以越趋近于1，越趋近于，椭圆越扁平；越趋近于0，越趋近于，椭圆越圆。

（3）观察下图，，所以，所以椭圆的离心率e = cos∠OF₂B₂

（三）直线与椭圆：

    直线：（、不同时为0）

    椭圆：

那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：

           消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下

， 

    （1）当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；

    （2）当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）；

    （3）当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度（即弦长）为，设直线的斜率为，

可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。

典型例题一

例1  椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当为长轴端点时，，，

椭圆的标准方程为：；

（2）当为短轴端点时，，，

椭圆的标准方程为：；

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

解：   ∴，

∴．

说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可．

典型例题三

例3  已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为，

由，得，

∴，，

，∴，

∴为所求．

说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

例4椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．

（1）求证；

（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．

证明：（1）由椭圆方程知，，．

由圆锥曲线的统一定义知：，

∴   ．

同理   ．

∵   ，且，

∴   ，

即   ．

（2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为

          ．

又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得

     

又∵点，都在椭圆上，

∴ 

   

∴  ．

将此式代入①，并利用的结论得

       

   ∴  ．

典型例题五

例5 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设存在，设，由已知条件得

，，∴，．

∵左准线的方程是，

∴．

又由焦半径公式知：

，

．

∵，

∴．

整理得．

解之得或．                          ①

另一方面．                               ②

则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．

说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

典型例题六

例6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．

解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得

．

由韦达定理得．

∵是弦中点，∴．故得．

所以所求直线方程为．

分析二：设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：．

解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得

①－②得．                ⑤

将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．

所求直线方程为．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

典型例题七

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；

（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由求出，，在得方程后，不能依此写出另一方程．

解：（1）设椭圆的标准方程为或．

由已知．                                ①

又过点，因此有

或．                ②

由①、②，得，或，．故所求的方程为

或．

（2）设方程为．由已知，，，所以．故所求方程为．

说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程或．

典型例题八

例8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．

解：由已知：，．所以，右准线．

过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．

说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．

典型例题九

例9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为

．

当时，．

说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

典型例题十

例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标．

分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求的最大值时，要注意讨论的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定．

由可得

，即．

设椭圆上的点到点的距离是，则

  

其中．

如果，则当时，（从而）有最大值．

由题设得，由此得，与矛盾．

因此必有成立，于是当时，（从而）有最大值．

由题设得，可得，．

∴所求椭圆方程是．

由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是．

解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，，为参数．

由可得

，即．

设椭圆上的点到点的距离为，则

  

  

如果，即，则当时，（从而）有最大值．

由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立．

于是当时（从而）有最大值．

由题设知，∴，．

∴所求椭圆的参数方程是．

由，，可得椭圆上的是，．

典型例题十一

例11 设，，，求的最大值和最小值．

分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致．设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

解：由，得

      

可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．

设，则

 

它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即，此时；当圆过（3，0）点时，半径最大，即，∴．

∴的最小值为0，最大值为15．

典型例题十二

例12 已知椭圆，、是其长轴的两个端点．

（1）过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不论、如何变化，．

（2）如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围．

分析：本题从已知条件出发，两问都应从和的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：，，根据得到，将代入，消去，用、、表示，以便利用列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

解：（1）设，，．

    

于是，．

∵是到的角．

∴

∵

∴

故          ∴．

（2）设，则，．

由于对称性，不妨设，于是是到的角．

∴

∵，   ∴

整理得

∵

∴

∵，   ∴

∵，   ∴

，

∴，

∴或（舍），∴．

典型例题十三

例13 已知椭圆的离心率，求的值．

分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．

当椭圆的焦点在轴上时，，，得．

由，得，即．

∴满足条件的或．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．

典型例题十四

例14 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．

分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．

解法一：由，得，，．

由椭圆定义，，得

．

由椭圆第二定义，，为到左准线的距离，

∴，

即到左准线的距离为．

解法二：∵，为到右准线的距离，，

∴．

又椭圆两准线的距离为．

∴到左准线的距离为．

说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．

椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．

典型例题十五

例15 设椭圆(为参数)上一点与轴正向所成角，求点坐标．

分析：利用参数与之间的关系求解．

解：设，由与轴正向所成角为，

∴，即．

而，，由此得到，，

∴点坐标为．

典型例题十六

例16 设是离心率为的椭圆 上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证：，．

分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．

解：点到椭圆的左准线的距离，，

由椭圆第二定义，，

∴，由椭圆第一定义，．

说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在轴上的焦半径公式．

典型例题十七

例17　已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．

(1)　求的最大值、最小值及对应的点坐标；

(2)　求的最小值及对应的点的坐标．

分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：(1)如上图，，，，设是椭圆上任一点，由，，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．

由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．

建立、的直线方程，解方程组得两交点

、．

综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值．

(2)如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，，∴．由椭圆第二定义知，∴，∴，要使其和最小需有、、共线，即求到右准线距离．右准线方程为．

∴到右准线距离为．此时点纵坐标与点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点坐标．

说明：求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段．巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段．

典型例题十八

例18　 (1)写出椭圆的参数方程；

(2)求椭圆内接矩形的最大面积．

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

解：(1) ．

(2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，，

则

故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

典型例题十九

例19 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．

(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证的面积与椭圆短轴长有关．

分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

（），（）．

思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即，设，，，化简可得．又，两方程联立消去得，由，可以确定离心率的取值范围；解出可以求出的面积，但这一过程很繁．

思路二：利用焦半径公式，，在中运用余弦定理，求，再利用，可以确定离心率的取值范围，将代入椭圆方程中求，便可求出的面积．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合求解．

解：(法1)设椭圆方程为（），，，，，

则，．

在中，由余弦定理得

，

解得．

(1)∵，

∴，即．

∴．

故椭圆离心率的取范围是．

(2)将代入得

，即．

∴．

即的面积只与椭圆的短轴长有关．

(法2)设，，，，

则．

(1)在中，由正弦定理得

．

∴

∵，

∴，

∴

．

当且仅当时等号成立．

故椭圆离心率的取值范围是．

(2)在中，由余弦定理得：

∵，

∴，即．

∴．

即的面积与椭圆短轴长有关．

说明：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路．

典型例题二十

例20　椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．

分析：∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是，

则椭圆上的点，，

∵，∴，

即，解得或，

∵　∴（舍去），，又

∴，

∴，又，∴．

说明：若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使．如何证明？

［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－，）；

（3）焦点在坐标轴上，且经过点A（，－2）和B（－2，1）

分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可。若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。

解析：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1（a＞b＞0）

∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4

∴b²＝a²－c²＝5²－4²＝9

所以所求的椭圆的标准方程为＝1

（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1（a＞b＞0）

由椭圆的定义知，

2a＝

又c＝2，∴b²＝a²－c²＝10－4＝6

所以所求的椭圆的标准方程为＝1

（3）解法一：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＝1（a＞b＞0）

由A（，－2）和B（－2，1）两点在椭圆上可得：

解之得

若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＝1（a＞b＞0），同上可解得，不合题意，舍去。

故所求的椭圆方程为＝1

解法二：设所求椭圆方程为mx²＋ny²＝1（m＞0，n＞0且m≠n）。

由A（，－2）和B（－2，1）两点在椭圆上可得

即，解得

故所求的椭圆方程为＝1

点评：（1）求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b。

（2）第（3）小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx²＋ny²＝1（m＞0，n＞0），不必考虑焦点位置，直接可求得方程．想一想，为什么？

［例2］已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。

分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如图所示，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|＝16－6＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。

解析：如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B、Ｃ，原点Ｏ与BC的中点重合。

由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c＝6，2a＝10，

∴c＝3，a＝5，b²＝5²－3²＝16。

由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是＝1（y≠0）。

点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明。

［例3］一动圆与已知圆O₁：（x＋3）²＋y²＝1外切，与圆O₂：（x－3）²＋y²＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程。

分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。

解析：两定圆的圆心和半径分别为O₁（－3，0），r₁＝1；O₂（3，0），r₂＝9

设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO₁|＝1＋R，|MO₂|＝9－R

∴|MO₁|＋|MO₂|＝10

由椭圆的定义知：M在以O₁、O₂为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3。

∴b²＝a²－c²＝25－9＝16

故动圆圆心的轨迹方程为＝1。

点评：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

［例4］已知P是椭圆＝1上的一点，F₁、F₂是两个焦点，且∠F₁PF₂＝30°，求△PF₁F₂的面积。

分析：如图所示，已知∠P＝30°，要求△PF₁F₂的面积，如用|F₁F₂|·|y_P|，因为求P点坐标较繁，所以用S_△＝|PF₁|·|PF₂|·sin30°较好，为此必须先求出|PF₁|·|PF₂|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积。

解析：由方程＝1，得a＝5，b＝4，

∴c＝3，∴|F₁F₂|＝2c＝6

|PF₁|＋|PF₂|＝2a＝10

∵∠F₁PF₂＝30°

在△F₁PF₂中，由余弦定理得|F₁F₂|²＝|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|·cos30°

即6²＝|PF₁|²＋2|PF₁|·|PF₂|＋|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|－·|PF₁|·|PF₂|

（2＋）|PF₁|·|PF₂|＝（|PF₁|＋|PF₂|）²－36＝100－36＝64，

∴|PF₁|·|PF₂|＝＝64（2－）

∴＝|PF₁|·|PF₂|·sin30°＝·64（2－）·＝16（2－）

［例5］椭圆ax²＋by²＝1与直线x＋y＝1相交于P、Q两点，若|PQ|＝2，且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆方程。

分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、b之值即可

解析：由得（a＋b）x²－2bx＋b－1＝0

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x₁＋x₂＝，x₁x₂＝

∴|PQ|＝·

＝

∴＝a＋b      ①

又PQ的中点C（，1－），即C（，）

∴k_OC＝   ②  由①②得a＝，b＝

∴所求椭圆方程为＝1

［例6］中心在原点的椭圆C的一个焦点是F（0，），又这个椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标是，求该椭圆方程。

分析：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”。

解析：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为＝1（a＞b＞0）

设直线l与椭圆C的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有：

＝1，

两式相减得：＝0

∴

即3＝  ∴a²＝3b²    ①

又因为椭圆焦点为F（0，）  ∴c＝

则a²－b²＝50    ②

由①②解得：a²＝75，b²＝25

∴该椭圆方程为＝1

［例7］设P是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F₁、F₂是椭圆的焦点，且∠F₁PF₂=90°，求证：椭圆的离心率e≥

证明：∵P是椭圆上的点，F₁、F₂是焦点，由椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a        ①

在Rt△F₁PF₂中，

由①²，得

∴|PF₁|·|PF₂|=2（a²－c²）                    ②

由①和②，据韦达定理逆定理，知|PF₁|·|PF₂|是方程z²－3az+2（a²－c²）=0的两根，

则△=4a²－8（a²－c²）≥0，

∴（）²≥，即e≥

1. 如果方程x²＋ky²＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是

A. （0，＋∞）          B. （0，2）

C. （1，＋∞）          D. （0，1）

2. 已知椭圆＝1，F₁、F₂分别为它的两焦点，过F₁的焦点弦CD与x轴成α角（0＜α＜π＝，则△F₂CD的周长为

A. 10       B. 12       C. 20       D. 不能确定

3. 椭圆＝1的一个焦点为F₁，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是

A. ±             B. ±             C. ±            D. ±

4. 设椭圆＝1的两焦点分别是F₁和F₂，P为椭圆上一点，并且PF₁⊥PF₂，则||PF₁|－|PF₂||等于

A. 6        B. 2        C.          D.       

5. 直线y＝x与椭圆＋y²＝1相交于A、B两点，则|AB|等于

A. 2        B.               C.             D.

6. 点P是椭圆＝1上一点，F₁、F₂是其焦点，且∠F₁PF₂＝60°，则△F₁PF₂的面积为___________。

7. △ABC的两顶点B（－8，0），C（8，0），AC边上的中线BM与AB边上的中线CN的长度之和为30，则顶点A的轨迹方程为___________。

8. F₁、F₂为定点，|F₁F₂|＝6，动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝6，则M点的轨迹是___________。

9. 以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，－4）和Q（－，3），则此椭圆的方程是___________。

10. 在椭圆＝1内，过点（2，1）且被这点平分的弦所在的直线方程是___________。

11. △ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是－，求顶点A的轨迹方程。

12. 在面积为1的△PMN中，tanM＝，tanN＝－2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点并且过点P的椭圆方程。

[参考答案]

1. 解析：将方程x²＋ky²＝2化为椭圆的标准方程为＝1，又焦点在y轴上，

∴>2，解之得0<k<1。

2. 解析：由椭圆方程知a＝5，|CF₁|＋|CF₂|＝2a＝10，|DF₁|＋|DF₂|＝2a＝10，则△F₂CD的周长|F₂C|＋|F₂D|＋|CD|＝|CF₁|＋|CF₂|＋|DF₁|＋|DF₂|＝10＋10＝20。

3. 解析：由椭圆的标准方程易知c＝3，不妨设F₁（－3，0）、F₂（3，0），因为线段PF₁的中点在y轴上，由中点坐标公式知x_P＝3，由椭圆方程＝1解得y_p＝±，故M点纵坐标为±。

4. 解析：从方程中可得a＝3，b＝2，c＝5

∵|PF₁|＋|PF₂|＝2a＝6，∴（|PF₁|＋|PF₂|）²＝180

即|PF₁|²＋|PF₂|²＋2|PF₁|·|PF₂|＝180

由已知PF₁⊥PF₂，∴|PF₁|²＋|PF₂|²＝（2c）²＝100代入上式得2|PF₁|·|PF₂|＝80

∴（|PF₁|－|PF₂|）²＝|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|＝20

∴||PF₁|－|PF₂||＝2

答案：B

5. 解析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由方程组得＝1

∴x＝±y＝±，

即A（），B（－，－）

由两点间距离公式可得|AB|＝

6. 解析：设|PF₁|＝m，|PF₂|＝n，

在△F₁PF₂中，由余弦定理有m²＋n²－2mncos60°＝|F₁F₂|²＝12²，即m²＋n²－mn＝144 ①

由椭圆定义知m＋n＝20，则m²＋n²＋2mn＝400                              ②

由②－①得，3mn＝256，故mn＝

因此，

7. 解析：如图所示，设B、C为B′C′的两个三等分点，则B′（－24，0），C′（24，0），连接AB′，AC′，设A（x，y），BM、CN又分别为△ACB′与△ABC′的中位线。

∴|AB′|＝2|BM|，|AC′|＝2|CN|

∴|AB′|＋|AC′|＝2（|BM|＋|CN|）＝60

由椭圆定义，动点A到两定点B′、C′的距离的和为定长60，所以点A在以B′、C′为焦点，中心在原点的椭圆上运动。

∵2a＝60，∴a＝30

由|B′C′|＝48，得c＝24

∴b²＝a²－c²＝900－576＝324

则点A的轨迹方程是＝1（y≠0）

8. 解析：尽管动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝2a＝6，但2a＝|F₁F₂|，∴M点轨迹应为F₁、F₂两点间的线段。

答案：F₁、F₂两点间的线段

9. 解析：设此椭圆方程为mx²＋ny²＝1（m>0，n>0，m≠n），把P（，－4），Q（－，3）代入得

解得m＝1，n＝，故椭圆方程为x²＋＝1。

10. 解析：设弦的两端点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有＝1，＝1

两式相减得

∴

即弦所在直线的斜率为－，又弦过（2，1）点，故弦所在直线的方程是x＋2y－4＝0

11. 解：设顶点A的坐标为（x，y），由题意得：

∴顶点A的轨迹方程为：＝1（y≠±6）

12. 解：以直线MN为x轴，以线段MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示。

设所求椭圆方程为＝1（a>b>0），分别记M、N、P点的坐标为（－c，0）、（c，0）和（x₀，y₀）

∵tanα＝tan（π－∠N）＝2

∴由题设知    解得即   P

在△MNP中，|MN|＝2c，MN上的高为，

∴S_△MNP＝＝1，解得c＝

即P（），由此得|PM|＝，|PN|＝

∴a＝（|PM|＋|PN|）＝，从而b²＝a²－c²＝3故所求的椭圆方程为＝1