专题二  复数

一．基本知识

【1】复数的基本概念

（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + bi为实数

虚数：当时的复数a + bi为虚数；

纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：的共轭记作；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；

【2】复数的基本运算

设，

（1） 加法：；

（2） 减法：；

（3） 乘法：  特别。

（4）幂运算：

【3】复数的化简

（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：

对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解

二．     例题分析

【例1】已知，求

（1） 当为何值时z为实数

（2） 当为何值时z为纯虚数

（3） 当为何值时z为虚数

（4） 当满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。

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复  数

1．复数的概念：

（1）虚数单位i；

（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)；

（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集

3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算

    若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

（4）除法：；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① (n为整数)的周期性运算；  ②(1±i)² =±2i；

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【1】复数的基本概念

（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + bi为实数

虚数：当时的复数a + bi为虚数；

纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：的共轭记作；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；

【2】复数的基本运算

设，

（1） 加法：；

（2） 减法：；

（3） 乘法：  特别。

（4）幂运算：

【3】复数的化简

（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：

对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解

【例4】  若复数（i为虚数单位），

(1)若z为实数，求的值     (2)当z为纯虚，求的值.

【变式1】设是实数，且是实数，求的值..

【变式2】若是实数，则实数的值是                  .

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专题二  复数

一．基本知识

【1】复数的基本概念

（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + bi为实数

虚数：当时的复数a + bi为虚数；

纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：的共轭记作；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；

【2】复数的基本运算

设，

（1） 加法：；

（2） 减法：；

（3） 乘法：  特别。

（4）幂运算：

【3】复数的化简

（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：

对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解

二．     例题分析

【例1】已知，求

（1） 当为何值时z为实数

（2） 当为何值时z为纯虚数

（3） 当为何值时z为虚数

（4） 当满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。

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复数

一、复数的概念

1.   虚数单位i

（1）  它的平方等于，即 ；

（2）  实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3）  i的乘方： ，它们不超出的形式．

2.   复数的定义 

形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部

3.   复数相等 ，即，那么这两个复数相等

4.   共轭复数  时，．

性质：；；；

二、复平面及复数的坐标表示

1.   复平面 

在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2.   复数的坐标表示   点

3.   复数的向量表示   向量．

4.   复数的模

在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．

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专题二  复数

【1】复数的基本概念

（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + bi为实数

虚数：当时的复数a + bi为虚数；

纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：的共轭记作；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；

【2】复数的基本运算

设，

（1） 加法：；

（2） 减法：；

（3） 乘法：  特别。

（4）幂运算：

【3】复数的化简

（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：

对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解

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高中数学第十五章 复数

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、

除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

§15. 复 数 知识要点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1.

⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，b?R）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b?0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b?0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若z1,z2为复数，则1?若z1?z2?0，则z1??z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2?若z1?z2，则z1?z2?0.（√）

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复数

一、复数的概念

1.   虚数单位i

（1）  它的平方等于，即 ；

（2）  实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3）  i的乘方： ，它们不超出的形式．

2.   复数的定义 

形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部

3.   复数相等 ，即，那么这两个复数相等

4.   共轭复数  时，．

性质：；；；

二、复平面及复数的坐标表示

1.   复平面 

在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2.   复数的坐标表示   点      3.复数的向量表示   向量．

4.复数的模

在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．

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