高中空间点线面之间位置关系知识点总结

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1 平面含义：平面是无限延展的

2 平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3  三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

   

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线 =＞ 有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

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点、直线、平面之间的位置关系

一、空间图形的基本关系与公理

1.平面：平面是空间的一个重要元素，它是一个抽象的概念，是无限延展的，无 、 无 、无 .

2.平面公理

公理1：如果一条直线上的； 公理2；

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 ； 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ，通常叫做空间平行直线

的 ；

3.；

4.点、线、面之间的位置关系

（1）点A在直线l上，记作 ，点A不在直线l上，记作 ；

（2）点A在平面?内，记作 ，点A不在平面?内，记作 ；

（3）直线l在平面?内，记作，直线l不在平面?内，记作

（4）直线l与平面?相交，记作，直线l与平面?平行，记作

（5）平面?与平面?平行，记作，平面?与平面?相交，记作.

5.空间四边形：四个顶点不在同一个平面内的四边形.

二、空间中直线与直线的位置关系

1.的两条直线叫做异面直线；

2.空间中直线与直线的位置关系

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用真心感受学生 用真情感动学生

一、四个公理：1；两点在平面内，直线在平面内；两点决定一条直线

2：两平面有交点，必有交线，所有交点（公共点）在交线上

3：不共线三点决定一个平面：a直线和线外一点b两条相交直线c两条平行直线 决定一个平面 4：两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

二、异面直线的定义：不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不同在任何一个平面内的两条直线

除定义外，还可以用下列定理：过平面内一点和平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

三、异面直线所成角的范围：0＜?≤90度；过空间任一点o，做a1∥a，b∥b1 ，把a1、b1所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角

若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直。

通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线，在同一三角形中，求异面直线所成的角，可以选择两条异面直线上一点做另一条异面直线的平行线。所求的角为钝角时，两条异面直线所成的角应为其补角。

直线和平面所成的角范围0≤?≤90度，平行于平面或在平面内为0度，垂直于平面为90度

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空间点线面位置关系 练习题

1. 已知l、m是不同的两条直线，?、?是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是

A．若l??,???，则l//? B．若l//?,???，则l//?

C．若l?m,?//?,m??，则l?? D．若l??,?//?,m??，则l?m

2. 设?表示平面，a,b表示直线，给定下列四个命题：

①a//?,a?b?b??； ②a//b,a???b??;

③a??,a?b?b//?; ④a??,b???a//b.

其中正确命题的个数有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5．若m、n为两条不重合的直线，?、?为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ）

①若m、n都平行于平面?，则m、n一定不是相交直线；

②若m、n都垂直于平面?，则m、n一定是平行直线；

③已知?、?互相垂直，m、n互相垂直，若m??，则n??；

④m、n在平面?内的射影互相垂直，则m、n互相垂直.

A．1 B．2 C．3 D．4

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点、线、面位置关系总结

一、空间点、直线、平面之间的位置关系

判定直线在平面内：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这两条直线在此平面内。

确定一个平面：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 推论1：一个直线外的点与一条直线确定一个平面 推论2：两条相交直线确定一个平面 推论3：两条平行直线确定一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

二、证明线线平行的方法：

1、平行的传递性：平行于同一条直线的两直线互相平行

2、线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与此直线平行。

3、线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行

4、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。

三、证明直线与平面平行

1、平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2、若两个平面平行，则其中一个面的任意一条直线与另一个面平行。

四、证明平面与平面平行的方法

1、一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 2、若两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，则这两个平面平行 3、线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面互相平行 4、平行于同一平面的两个平面互相平行

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点线面位置关系复习

? 知识梳理

一、直线与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点。

a??（2）判定定理： b??a//? a//b

（3）其他方法：?//?

a//?a??

a//?2.性质定理：a?? a//b

????b二、平面与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：两平面无公共点。

a//?

b//?

（2）判定定理：a?? ?//?

b??

a?b?P

（3）其他方法：a??

a?? ?//?; a//?

?//? ?//?

?//?

2.性质定理：????a a//b

????b

三、直线与平面垂直

（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法

① 用定义.

a?b

a?c

② 判定定理:b?c?Aa??

b??

c??

③ 推论:a??

a//b b??

1

（3）性质

①a??

b?? a?b

②a??

b?? a//b

四、平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

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点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习

1、 平面????L，点A??,B??,C??，且C?L，又AB?L?R，过

A、B、C三点确定的平面记作?，则???是（ ）

A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．以上都不对

2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）

A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定

3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有

4、正方体ABCD?A1B1C1D1中，P、Q分别为AA1,CC1的中点，则四边形D1PBQ是（ ）

A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．空间四边形

5、在空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD， 且AC?BD，则四边形EFGH为6、下列命题正确的是（ ）

A． 若a??,b??，则直线a,b为异面直线

B． 若a??,b??，则直线a,b为异面直线

C． 若a?b??，则直线a,b为异面直线

D． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

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理 1

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7

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