第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的
半径。
2
(1222 点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系:
当(x0?a)?(y0?b)>r2,点在圆外
当(x0?a)?(y0?b)=r2,点在圆上
2当(x0?a)
?(y0?b)<r,点在圆内 222222
(21DE?,半径为当D?E?4F?0时,方程表示圆,此时圆心为?r?D2?E2?4F ??,???22?2
?E2?4F?0时,表示一个点;
22当D?E?4F?0时,方程不表示任何图形。 当D
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线l:Ax?By?C?0,圆C:?x?a?2??y?b?2?r2,圆心C?a,b?到l的距离
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圆与方程
1. 圆的标准方程:以点为圆心,为半径的圆的标准方程是.
特例:圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是:.
2. 点与圆的位置关系:
(1). 设点到圆心的距离为d,圆半径为r:
a.点在圆内 d<r; b.点在圆上 d=r; c.点在圆外 d>r
(2). 给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
(3)涉及最值:
① 圆外一点,圆上一动点,讨论的最值
② 圆内一点,圆上一动点,讨论的最值
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高中数学必修2知识点总结
第四章圆与方程
4.1.1圆的标准方程
1、圆的标准方程:
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点与圆的关系的判断方法:
(1)>,点在圆外 (2)=,点在圆上
(3)<,点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线:,圆:,圆的半径为,圆心到直线的距离为,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当时,直线与圆相离;(2)当时,直线与圆相切;
(3)当时,直线与圆相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
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圆与方程
2、1圆的标准方程:以点为圆心,为半径的圆的标准方程是.
特例:圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是:.
2、2点与圆的位置关系:
1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r:
(1)点在圆上 d=r; (2)点在圆外 d>r; (3)点在圆内 d<r.
2.给定点及圆.
①在圆内 ②在圆上
③在圆外
2、3 圆的一般方程: .
当时,方程表示一个圆,其中圆心,半径.
当时,方程表示一个点.
当时,方程无图形(称虚圆).
注:(1)方程表示圆的充要条件是:且且.
圆的直径或方程:已知
2、4 直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种
(1)若,;
(2); (3)。
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解,通过解的个数来判断:
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圆与方程
1. 圆的定义:到定点(a,b)距离等于定长r的点的轨迹是圆。
圆的标准方程:以点为圆心,为半径的圆的标准方程是.
特例:圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是:.
2. 点与圆的位置关系:
(1)设点到圆心的距离为d,圆半径为r:
a.点在圆内 d<r; b.点在圆上 d=r; c.点在圆外 d>r
(2)给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
(3)涉及最值:
① 圆外一点,圆上一动点,讨论的最值
② 圆内一点,圆上一动点,讨论的最值
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关于圆与方程的知识点整理
一、标准方程
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径
①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交
相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理
2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解)
条件 方程形式
圆心在原点
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第四章圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;
点与圆的位置关系:
当>,点在圆外
当=,点在圆上
当<,点在圆内
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;
当时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线,圆,圆心到l的距离为 ,则有;;
(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
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第四章 圆 与 方 程
★1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 设M(x,y)为⊙A上任意一点,则圆的集合可以写作:P = {M | |MA| = r }
★2、圆的方程
(1
点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系:
当(x0?a)?(y0?b)>r,点在圆外; 当(x0?a)?(y0?b)=r,点在圆上
当(x0?a)?(y0?b
)<r,点在圆内;
(2 (x+D/2)+(y+E/2)=(D+E-4F)/4 (D?E?4F?0)
22DE?,半径为r?1 当D?E?4F?0时,方程表示圆,此时圆心为???,??22222222222222?22?2D2?E2?4F
当D?E?4F?0时,表示一个点;
当D?E?4F?0时,方程不表示任何图形。
(3)求圆的方程的方法:
?待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
?直接法:直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。 2222
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