第三章 空间向量 总结

空间向量定义及运算 直角坐标运算

概念： 向量

模 _________________________________________________

基线

零向量

相等向量

相反向量

共线向量 ________________________________________________

运算： 加法 ________________________________________________

减法 ________________________________________________

数乘向量 ________________________________________________

数量积 ：定义 ________________________________________________

性质

运算律

基本定理：

共线

共面

空间分解

空间向量在立体几何中应用

概念： 直线的参数方程 平行：

垂直：

夹角：

距离：平面的向量表示式 方向向量 法向量 三垂线定理 三余弦定理 结论 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 异面直线成角 线面成角 二面角 点面距离

异面直线 取值范围取值范围取值范围

 

第二篇：空间向量总结

空间向量的应用

一．基本概念

1．（1）用空间向量处理“平行”问题         

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

线线平行∥∥；  线面平行∥；

面面平行∥∥

（2）用空间向量处理“垂直”问题         

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

线线垂直⊥∥；

线面垂直⊥⊥，⊥（是两条相交的直线）；

线面垂直⊥∥； 面面垂直 ⊥⊥

（3）设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

异面直线所成角：

直线与平面所成角：

两个平面的夹角（平面的法向量分别为）：

（4）异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l₁、l₂，AB为其公垂线段，C、D分别为l₁、l₂上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.

（5）设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且P_o∈α，则点P到平面α的距离是d＝.

2．当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)（化为向量问题或向量的坐标问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之间距离和夹角等问题（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形）

 

第三篇：空间向量知识点整理

专题二空间向量

第一节  什么是空间向量

教学过程

（一）简单回顾平面向量

（二）引入空间向量，并准确理解空间向量

1．空间向量的一般运算

1）空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量

注：向量一般用有向线段表示；同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

2）空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：

；；

运算律：⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶数乘分配律：

⑷数乘结合律：

3）平行六面体：

平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－. 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱.

4）共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量. 平行于记作.

当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.

共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.

推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式

……①．其中向量叫做直线的方向向量.

在上取，则①式可转化为……②，①②两式都称为空间直线的向量表示式.

5）共面向量

向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

说明：空间任意的两向量都是共面的.

共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在惟一实数使.

推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使……①   或对空间任一点，有……②

或……③

上面①式叫做平面的向量表达式.

6）空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个惟一的有序实数组，使.

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使

7)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.

8）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.

9）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．

已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，

作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影. 可以证明的长度．

10）空间向量数量积的性质：    

（1）．（2）．（3）．

11）空间向量数量积运算律：

（1）．（2）（交换律）．

（3）（分配律）.

12）讲解范例：

例1.已知线段在平面内，，线段，若，求间的距离.

例2．已知平行六面体中，，

，求的长.

例3．已知是边长为的正三角形所在平面外一点，且，分别是，的中点，求异面直线与所成角的余弦值.

例4．如图，长方体中，，为与的交点，

为与的交点，又，求长方体的高．

同步练习：

1．设，，且，求向量的模.

2．已知，，，，问实数取何值时与垂直.

3．若，且，求的值.

4．在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，

（1）求证：；

（2）求所成角的余弦；

（3）求的长

2．空间向量的坐标运算

1）简单回顾空间直角坐标系的建立及点的坐标表示

2）（1）若，，

则，

，，

，

（2）若，，则．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

（3）

3）直线的方向向量及平面的法向量

（1）直线的方向向量：我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量

（2）平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量.

注：①若，则称直线为平面的法线；

②平面的法向量就是法线的方向向量.

③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面.

（3）在空间求平面的法向量的方法：

（i）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量.

（ii）待定系数法：建立空间直接坐标系

①设平面的法向量为

②在平面内找两个不共线的向量和

③建立方程组：

④解方程组，取其中的一组解即可.

第二节 利用空间向量解决立体几何问题

应用1：量的计算

1）计算角度大小

（1）求两异面直线所成的角

点，直线，，直线，构成向量，，. 设直线与直线所成的角为，则，即或其补角为直线与所成的角.

例5. 如图，已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁，在中，CA=CB=1，，棱AA₁=2，求异面直线BA₁，CB₁所成的角.

（2）求直线和平面所成的角

已知，为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成的角为:

（1）当时，；

（2）当时，.

例6. 棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为C₁D₁、B₁C₁的中点，

（1）求证：E、F、B、D共面；（略，不用做了）

（2）求点A₁D与平面EFBD所成的角的余弦值.

（3）求二面角

已知二面角，，分别为面，的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补. 即或.

注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系？

①通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之.

②通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补.

 

例7. 在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的余弦值的大小

2）计算空间距离

（1）求两条异面直线的距离

已知两条异面直线，，是与两直线都垂直的向量, ，则两条异面直线的距离.

例8. 长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=2，AD=4，AA₁=6，E是BC的中点，F是CC₁的中点，建立空间坐标系，求

（1）异面直线D₁F与B₁E所成角的余弦值；

（2）二面角D₁-AE-D的余弦值；

（3）异面直线B₁E与D₁F的距离.

（2）求点到面的距离（注：线到面和面到面的距离均可转化为点到面的距离进行求解）

已知平面和点，且，，为平面的法向量，则点到平面的距离.

例9. 如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, 底面, ,为的中点，为的中点.

（1）证明：直线平面；

（2）求异面直线与所成角的大小；

（3）求点到平面的距离.

应用2：证明线与线、线与面和面与面的平行与垂直关系（略）

第三节 专题训练

1．如右下图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB= 4， AD =3， AA₁= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．

（1）求二面角C-DE-C₁的正切值；

       （2）求直线EC₁与FD₁所成的余弦值．

2．如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

（1）求证：AB平面PCB；

（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；

（3）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

3．在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

（1）求证：平面⊥平面；            

（2）求直线与平面所成的角的大小；

（3）求点到平面的距离.

4．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．

（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；

（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，

使得PQ⊥QD？

（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，

求二面角Q-PD-A的大小．

5. 如题（19）图，在中，，,、两点分别在、上. 使，. 现将沿折成直二面角，求：

（1）异面直线与的距离；

（2）二面角的正切值.