空间向量立体几何知识点填空

一、空间向量的加法和减法：

求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则-=    ．

求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则+=     ，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

二、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的     倍．

三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都    ．

四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是                     ．

五、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

六、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使                    ；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则                                    ．

七、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则      称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：      ．

八、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作        ．

九、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即=          ．零向量与任何向量的数量积为     ．

十、等于的长度与在的方向上的投影       的乘积．

十一、若，为非零向量，为单位向量，则有；

      ；，   ，     ；

；     ．

十二、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得                                ．

十三、若三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是．这个集合可看作是由向量，，生成的，称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

十四、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．

十五、设，，则                       ．

                  ．                     ．

                ．若、为非零向量，则                       ．

若，则                   ．              ．

                         ．

，，则                       ．

十六、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点．

十七、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．

十八、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．

十九、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则                

，                       ．

二十、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且          ，则                   

，         ．

二十一、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则       

，                   ．

二十二、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有              ．

二十三、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，

则有=        =                  ．

二十四、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则             ．

二十五、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为

       =            ．

二十六、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

二十七、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为

       =            ．

 

第二篇：高三空间向量与立体几何知识点归纳总结

高三空间向量与立体几何知识点归纳总结

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

           

;;

运算律：⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶数乘分配律：

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

（3）三点共线：A、B、C三点共线<=><=>

（4）与共线的单位向量为

4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>  <=>

5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若，，则 ，，

，

，

。

②若，，则。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

③中点公式：若，当P为AB中点时，

④，三角形重心P坐标为

⑤ΔABC的五心：

内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）

外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。

垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）

重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）

中心：正三角形的所有心的合一。

（4）模长公式：若，，

则，

（5）夹角公式：。

ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ

（6）两点间的距离公式：若，，

则，

或 

7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。

（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。

（4）空间向量数量积的性质：不满足乘法结合率：

二．空间向量与立体几何1．线线平行两线的方向向量平行

1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直

1-2面面平行两面的法向量平行

2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直

2-1线面垂直线与面的法向量平行

2-2面面垂直两面的法向量垂直

3线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，

3-1线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.

3-2面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.

4．点面距离 ：求点到平面的距离： 在平面上去一点，得向量;； 计算平面的法向量;.

4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离

4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离