高一必修一函数知识点（12.1）

〖1.1〗指数函数

（1）根式的概念

①叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．

②当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．

③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．  注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①   ② ③

（4）指数函数

例：比较

〖1.2〗对数函数

（1）对数的定义

①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②对数式与指数式的互化：．

（2）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．

（3）几个重要的对数恒等式:　　 ，，．

（4）对数的运算性质   如果，那么

①加法：        ②减法：

③数乘：       ④

⑤    ⑥换底公式：

（5）对数函数

(6) 反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；

③将改写成，并注明反函数的定义域．

（7）反函数的性质

①原函数与反函数的图象关于直线对称．

即，若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．

②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．

〖1.3〗幂函数

（1）幂函数的图象(需要知道x=,1,2,3与y=的图像)

（2）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．  

②过定点：图象都通过点．

〖1.4〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：

②顶点式：

③两根式：

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．

（3）二次函数图象的性质

①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为         ，顶点坐标是              。

②在二次函数中

当时，图象与轴有     个交点．

当                  时，图象与轴有1个交点．

当                  时，图象与轴有没有交点．

③当       时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，f(x)min=           ；

当      时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，f(x)max=           ．

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

     设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号．

①k＜x₁≤x₂     

        

②x₁≤x₂＜k     

        

③x₁＜k＜x₂      af(k)＜0

        

④k₁＜x₁≤x₂＜k₂    

        

⑤有且仅有一个根x₁（或x₂）满足k₁＜x₁（或x₂）＜k₂      f(k₁)f(k₂)0，并同时考虑f(k₁)=0或f(k₂)=0这两种情况是否也符合

        

⑥k₁＜x₁＜k₂≤p₁＜x₂＜p₂      

此结论可直接由⑤推出．

 

第二篇：第二章_基本初等函数知识点总结

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。 当n是奇数时，an?a，当n是偶数时，an?|a|??2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

n

?a(a?0)

?a(a?0)?

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a

?m

n

mn

，

?

1a

r

mn

?

1

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）a〃a?a

r

r?s

(a?0,r,s?R)；

rsrs

(a)?a（2） (a?0,r,s?R)；rrs

(ab)?aa(a?0,r,s?R)． （3）

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2

x

（1）在[a，b]上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a； 二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N

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x

x

的对数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式） 说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1； 2 ax?N?logaN?x； ○

3 注意对数的书写格式． ○

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M〃N)?logaM＋logaN； ○

M

?logaM－logaN； N

3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○

2 loga○

注意：换底公式

logab?

logcb

（a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）．

logca

1n

（2）logab?． logab；

mlogba

利用换底公式推导下面的结论 （1）logambn?

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

y?2log2x，y?log5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

5

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

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（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）??0

时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

例题：

1. 已知a>0，a

0，函数y=a与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

x

log27?2log52

2.计算： ①log32?②24?log23= ；255= ;

log2764

1

③0.064??(?7)0?[(?2)3]??16?0.75?0.01 =

1418

3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为

2

2

4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,

2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

f(x)?0的

5.已知f(x)?log1?x(a?0且a?1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使

a

1?x

x的取值范围

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第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数

y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?○

系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点：

二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．

（1）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 5.函数的模型

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f(x)的图象联

2