高中数学之直线与圆的方程

一、概念理解：

1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；

           ②平行：α=0°；

           ③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tanα  （α≠90°）；

         ②垂直：斜率k不存在；

         ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：

         ①构造直角三角形（数形结合）；

         ②斜率k值于两点先后顺序无关；

         ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：

         ①相交：斜率（前提是斜率都存在）

                 特例----垂直时：<1> ；

                                  <2> 斜率都存在时： 。

        ②平行：<1> 斜率都存在时：；

                <2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。

        ③重合： 斜率都存在时：；

二、方程与公式：

1、直线的五个方程：

    ①点斜式：     将已知点直接带入即可；

    ②斜截式：            将已知截距直接带入即可；

    ③两点式： 将已知两点直接带入即可；

     ④截距式：             将已知截距坐标直接带入即可；

     ⑤一般式： ，其中A、B不同时为0

       用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3、距离公式：

 ①两点间距离：        

 ②点到直线距离：        

  ③平行直线间距离：        

4、中点、三分点坐标公式：已知两点

       ①AB中点：       

       ②AB三分点： 靠近A的三分点坐标

                                  靠近B的三分点坐标

中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。

5.直线的对称性问题

  已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x₀，y₀）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。

三、解题指导与易错辨析：

1、解析法（坐标法）：

       ①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；

       ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；

       ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。

2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：

       ①的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：

       ②的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；

       ③的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1  =>  y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0  =>  必过点(-2,3)

               ②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0  =>  m(3x+y)+n(2y-x-1)=0

                  令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解  =>  必过点(-1/7,3/7)

4、易错辨析：

       ① 讨论斜率的存在性：

          解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意；

                                              <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。

       ② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；

         （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）

       ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：

          <1> 直线与两定点所在直线平行；

          <2> 直线过两定点的中点。

圆的方程

1.  定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.

2.  圆的方程表示方法：

第一种：圆的一般方程——   其中圆心，半径.

当时，方程表示一个圆，

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形. (同一元二次方程有无解的情况

第二种：圆的标准方程——.其中点为圆心，为半径的圆

第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：（为参数）

注：圆的直径方程：已知

3. 点和圆的位置关系：给定点及圆.

①在圆内

②在圆上

③在圆外

4. 直线和圆的位置关系：

 设圆圆：；    直线：；

 圆心到直线的距离.

①时，与相切；

②时，与相交；，

③时，与相离.

5、圆的切线方程：

 ①一般方程若点(x₀ ,y₀)在圆上，则(x – a)(x₀ – a)+(y – b)(y₀ – b)=R². 特别地，过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)

②若点(x₀ ,y₀)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。）

6.圆系方程：

过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C₁:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0  C₂:x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0则过两圆的交点圆方程可设为：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ（x²+y²+D₂x+E₂y+F₂）=0

过两圆的交点的直线方程：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁- x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）

7.与圆有关的计算：

弦长的计算：AB=2*√R²-d² 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

AB=（√1+k²）*∣X₁-X₂∣  其中k是直线的斜率，X₁与X₂是直线与圆的方程联

立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线

圆内的最长弦是直径

8.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径

②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径

③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。

9.圆的对称问题

①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆

的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。

②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆

心坐标

 

第二篇：高中数学直线和圆知识点总结

直线和圆

一．直线

1．斜率与倾斜角：，

（1）时，；（2）时，不存在；（3）时，

（4）当倾斜角从增加到时，斜率从增加到；

当倾斜角从增加到时，斜率从增加到

2．直线方程

（1）点斜式：

（2）斜截式：

（3）两点式：

（4）截距式：

（5）一般式：

3．距离公式

（1）点，之间的距离：

（2）点到直线的距离：

（3）平行线间的距离：与的距离：

4．位置关系

（1）截距式：形式

重合：　　　　 相交：

平行：         垂直：

（2）一般式：形式

重合：且且

平行：且且

垂直：         相交：

5．直线系

表示过两直线和交点的所有直线方程（不含）

二．圆

1．圆的方程

（1）标准形式：（）

（2）一般式：（）

（3）参数方程：（是参数）

【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.

（4）以,为直径的圆的方程是：

2．位置关系

（1）点和圆的位置关系：

当时，点在圆内部

当时，点在圆上

当时，点在圆外

（2）直线和圆的位置关系：

判断圆心到直线的距离与半径的大小关系

当时，直线和圆相交（有两个交点）；

当时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；

当时，直线和圆相离（无交点）；

3．圆和圆的位置关系

判断圆心距与两圆半径之和，半径之差（）的大小关系

当时，两圆相离，有4条公切线；

当时，两圆外切，有3条公切线；

当时，两圆相交，有2条公切线；

当时，两圆内切，有1条公切线；

当时，两圆内含，没有公切线；

4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减

5．弦长公式：