直线与圆的方程

一、直线的方程

1、倾斜角：

                        L

                      

                                                   ，范围0≤＜，

                           若轴或与轴重合时，=0⁰。

2、斜率： k=tan                  与的关系：=0=0

已知L上两点P₁（x₁,y₁）                          0＜＜

P₂（x₂,y₂）                          =不存在

k=                

当=时，=90⁰，不存在。当时，=arctank，＜0时，=+arctank

3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为0。

4、直线方程的几种形式

两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。

②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p₀（x₀,y₀）为定值，k为参数y-y₀=k（x-x₀）

          特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含y轴）

（2）平行直线系：①y=kx+b，k为定值，b为参数。

②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系

③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系

（3）过L₁,L₂交点的直线系A₁x+B₁y+C₁+入（A₂X+B₂Y+C₂）=0（不含L2）

6、三点共线的判定：①，②K_AB=K_BC，

③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

二、两直线的位置关系

1、

（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）

2、L₁ 到L₂的角为0，则（）

3、夹角：

4、点到直线距离：（已知点（p₀(x₀,y₀)，L：AX+BY+C=0）

①两行平线间距离：L₁=AX+BY+C₁=0  L₂：AX+BY+C₂=0

②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±

③与AX+BY+C₁=0和AX+BY+C₂=0平行且距离相等的直线方程是

5、对称：（1）点关于点对称：p(x₁,y₁)关于M（x₀,y₀）的对称

（2）点关于线的对称：设p(a、b)

一般方法：

如图：(思路1)设P点关于L的对称点为P₀(x₀,y₀)    则   Kpp_0﹡K_L=－1

P, P₀中点满足L方程

                                                          解出P₀(x₀,y₀)

（思路2）写出过P⊥L的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P₀(x₀,y₀)的坐标。

                                    P

                         y                     L

                                            P₀

                                                   x

（3）直线关于点对称

L：AX+BY+C=0关于点P（X₀、Y₀）的对称直线：A（2X₀-X）+B（2Y₀-Y）+C=0

（4）直线关于直线对称

①几种特殊位置的对称：已知曲线f(x、y)=0

关于x轴对称曲线是f(x、-y)=0    关于y=x对称曲线是f(y、x)=0

关于y轴对称曲线是f(-x、y)=0    关于y= -x对称曲线是f(-y、-x)=0

关于原点对称曲线是f(-x、-y)=0   关于x=a对称曲线是f(2a-x、y)=0

关于y=b对称曲线是f(x、2b-y)=0

一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。

三、简单的线性规划

 

                  L      Y

                                        不等式表示的区域

                     O             X

                                     

                                AX+BY+C=0

约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。

要点：①作图必须准确（建议稍画大一点）。②线性约束条件必须考虑完整。

③先找可行域再找最优解。

四、圆的方程

1、圆的方程：①标准方程 ，c（a、b）为圆心，r为半径。

②一般方程：，

，

当时，表示一个点。

当时，不表示任何图形。

③参数方程： 

  为参数

以A（X₁，Y₁），B（X₂，Y₂）为直径的两端点的圆的方程是

（X-X₁）（X-X₂）+（Y-Y₁）（Y-Y₂）=0

2、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d，然后与r比较大小。

3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离

判定：①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：△＞0相交、△＝0相切、△＜0相离

②利用圆心c (a、b)到直线AX+BY+C=0的距离d来确定：

d＜r相交、d＝r相切d＞r相离

（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt△）

4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程

与圆相切于点（x₁、y₁）的切线方程是

与圆相切于点（x₁、y₁）的切成方程

为：

与圆相切于点（x₁、y₁）的切线是

（2）过圆外一点切线方程的求法：已知：p₀(x₀，y₀)是圆  外一点

                                   

 ①设切点是p₁(x₁、y₁)解方程组

                               

先求出p₁的坐标，再写切线的方程

②设切线是即

再由，求出k，再写出方程。

（当k值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线）

③已知斜率的切线方程：设（b待定），利用圆心到L距离为r，确定b。

5、圆与圆的位置关系

由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）

6、圆系

①同心圆系：，（a、b为常数，r为参数）

或：（D、E为常数，F为参数）

②圆心在x轴：

③圆心在y轴：

④过原点的圆系方程

⑤过两圆和

的交点的圆系方程为

（不含C₂），其中入为参数

若C₁与C₂相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。

类型一：圆的方程

例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．

例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．

例3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．

例4、 设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5　已知圆，求过点与圆相切的切线．

例6 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．

例7、过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程。

例8、求直线被圆截得的弦的长.

例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为   

例10、求两圆和的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系

例11、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

例12、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

例13 圆上到直线的距离为1的点有几个？

例14、判断圆与圆的位置关系，

例15：圆和圆的公切线共有       条。

类型六：圆中的对称问题

例16、圆关于直线对称的圆的方程是     

例17　自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切

（1）求光线和反射光线所在的直线方程．

（2）光线自到切点所经过的路程．

类型七：圆中的最值问题

例18：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是    

例19　(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．

(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．

例20：已知，，点在圆上运动，则的最小值是        .

类型八：轨迹问题

例21、基础训练：已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

例22、已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

例23 如图所示，已知圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹．

类型九：圆的综合应用

例24、 已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．

例25、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．

例26 有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍．已知、两地距离为10公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．

 

第二篇：高中数学知识点总结 第七章直线和圆的方程

高中数学第七章-直线和圆的方程

考试内容：
数学探索©版权所有www.delve.cn直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
数学探索©版权所有www.delve.cn两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
数学探索©版权所有www.delve.cn用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
数学探索©版权所有www.delve.cn曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．
数学探索©版权所有www.delve.cn圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）了解二元一次不等式表示平面区域．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
数学探索©版权所有www.delve.cn（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．

§07. 直线和圆的方程  知识要点

一、直线方程.

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.

注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.

2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.

特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.

注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.

附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.

3. ⑴两条直线平行：

∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）

推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.                   

⑵两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）

4. 直线的交角：

⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.

⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.

5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）

6. 点到直线的距离：

⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.

注：

1.       两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)的距离公式：.

特例：点P(x,y)到原点O的距离：

2.        定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂).则 

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3.       直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:

4.       过两点.

当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.

注；直线系方程

1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).

2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)

3. 过定点（x₁,y₁）的直线系方程是：   A(x-x₁)+B(y-y₁)=0  (A,B不全为0)

4. 过直线l₁、l₂交点的直线系方程：（A₁x+B₁y+C₁）+λ( A₂x+B₂y+C₂）=0 (λ?R）   注：该直线系不含l₂.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.

⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.

②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.

二、圆的方程.

1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.

注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P₀(x₀ ,y)线C上的充要条件是f(x₀ ,y₀)=0

2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.

特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.

注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程  

②与轴相切的圆方程         

③与轴轴都相切的圆方程     

3. 圆的一般方程： .

当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形（称虚圆）.

注：①圆的参数方程：（为参数）.

②方程表示圆的充要条件是：且且.

③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.

4. 点和圆的位置关系：给定点及圆.

①在圆内

②在圆上

③在圆外

5. 直线和圆的位置关系：

  设圆圆：；    直线：；

  圆心到直线的距离.

①时，与相切；

附：若两圆相切，则相减为公切线方程.

②时，与相交；

附：公共弦方程：设

有两个交点，则其公共弦方程为.

③时，与相离.

附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.

  由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：

与相切；

与相交；

与相离.

注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.

6. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆

上一点的切线方程为：.

①一般方程若点(x₀ ,y₀)在圆上，则(x – a)(x₀ – a)+(y – b)(y₀ – b)=R². 特别地，过圆上一点的切线方程为.

②若点(x₀ ,y₀)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.

7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD为圆为方程为…②

…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.

三、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；

2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。

2.求曲线方程的方法：.

1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;    2）参数法;    3）定义法，    4）待定系数法.