数列知识点总结

第一部分 等差数列

一 定义式：

一个数列是等差数列的等价条件： (a，b为常数)，即是关于n的一次函数，因为，所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。

二 通项公式：

三 性质结论

1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d

2.与的等差中项；

在等差数列中，若，则；若，则；

3.若等差数列的项数为2，则；

若等差数列的项数为，则，且，

4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设，，则有；

5., ,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大

第二部分 等比数列

一 定义：成等比数列。

二 通项公式：，

数列{an}是等比数列的一个等价条件是：当且时，关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。

三 性质结论：

1.与的等比中项 (同号)；

2.在等比数列中，若，则；若，则；

3.设，，， 则有

第三部分 求递推数列通项公式

类型一：累加法 形如a＝a+ f (n)， 其中f (n) 为关于n的多项式或指数形式（a）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．

类型二： 累积法 形如.其中f (n) = （p≠0，m≠0,b –c = km,k∈Z）或=kn（k≠0）或= km ( k ≠ 0, 0＜m且m ≠ 1)．

类型三：形如=，（pq ≠ 0）．且的数列，——可通过倒数变形为基本数列问题．

当p = －q时，则有： 转化为等差数列；

当p ≠ －q时，则有：．同类型五转化为等比数列．

类型四：特征根法 形如a＝pa+ q ,pq≠0 ，p、q为常数．

当p ＝1时，为等差数列；

当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x，即a+ x = pa+ q + x

a+ x = p(a+)， 令x = ∴x = 时，有a+ x = p(a+ x )，从而转化为等比数列 {a+ } 求解．

类型五：形如a＝pa+ f (n)，p≠0且 p为常数，f (n)为关于n的函数．

当p ＝1时，则 a＝a+ f (n) 即类型一．

当p ≠1时，f (n)为关于n的多项式或指数形式（a）或指数和多项式的混合形式．

⑴若f (n)为关于n的多项式（f (n) = kn + b或kn+ bn + c，k、b、c为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．

⑵若f (n)为关于n的指数形式（a）．

①当p不等于底数a时，可转化为等比数列；

②当p等于底数a时，可转化为等差数列．

第四部分 求前n项和

一：公式法求和直接用等差、等比数列的求和公式求和。

公比含字母时定要讨论

二.裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] （4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!（6）c/(（n+a）（n+b）)=(c/(a-b))*(1/( n+a)-1/(n+b))

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。

三.错位相减 如：

说明 求形如{an·bn}的数列的前n项和，若其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想．

四：分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和

五：合并求和：当通项公式中含有(-1)n,求和时可以对n的奇偶进行讨论,然后分情况求和.

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

可以先求出奇数项和偶数项的和，再相减。

但更好的方法是：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

8．其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等