数列

一、数列定义：

     数列是按照一定次序排列的一列数，是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；  通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。

注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；

（2）和之间的关系：

二、等差数列、等比数列的性质：

三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：或（为常数）是等差数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（为常数）是等差数列

④前项和公式法：（为常数）是等差数列

（2）等比数列的判定方法：

①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列

④前项和公式法：（是常数）是等差数列

四、数列的通项求法：

（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……

（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。

②递推式为：迭加法

如：已知中，，求

③递推式为：迭乘法

如：已知中，，求

④递推式为（为常数）：

构造法：Ⅰ、由相减得，则

为等比数列。

Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。

如：已知，求

⑤递推式为（为常数）：

两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。

如：已知中，，，求

⑥递推式为（为常数）：

将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。

如：已知中，，，求

（3）公式法：运用

①已知，求；②已知中， ，求；

③已知中，，求

五、数列的求和法：

（1）公式法：

①等差（比）数列前项和公式：②；

③；④

（2）倒序相加（乘）法：

如：①求和：；

②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；

（3）错位相减法：如：求和：

（4）裂项相消法：             ；             ；

如：①           ；

②           ；

③若，则               ；

（5）并项法：如：求

（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，

六、数列问题的解题的策略：

分类讨论问题：

①   在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有 时才能用前项和公式，时

②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成www.ks5u.com

 

第二篇：高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结

1.等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法或。

（2）等差数列的通项：或。

如等差数列中，，，则通项　　　　；

（3）等差数列的前和：，。

（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

2.等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

(4) 若是等差数列，则 ，…也成等差数列

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为             。

（5）若等差数列、的前和分别为、，且，

则.

如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________；

(6)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

3.等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。

（2）等比数列的通项：或。

如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比.

（3）等比数列的前和：当时，；当时，。

如等比数列中，＝2，S₉₉=77，求；

特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。

4.等比数列的性质：

（1）当时，则有，特别地，当时，则有.

如①在等比数列中，，公比q是整数，则=___；

②各项均为正数的等比数列中，若，则      。

(2) 若是等比数列，则数列 ，…也是等比数列。

如在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为___；

(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.

 (4)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

5.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

如已知数列试写出其一个通项公式：__________；

⑵已知（即）求，用作差法：。

如①已知的前项和满足，求；

②数列满足，求

⑶已知求，用作商法：。

如数列中，对所有的都有，则______    ；

⑷若求用累加法：

。

如已知数列满足，，则=________   ；

⑸已知求，用累乘法：。

如已知数列中，，前项和，若，求

⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。

如已知，求；

（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

如已知，求；

注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；

（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。

如数列满足，求；

6.数列求和的常用方法：

（1）    公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.

如等比数列的前项和S_ｎ＝2^ｎ－１，则＝_____    ；

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

如求和：

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.

 如 已知，则＝______；

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.

 如 设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.；

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①； ②；

如①求和：                         ；

②在数列中，，且S_ｎ＝９，则n＝_____               ；