五、数列

一、数列定义：

数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3,?,n}）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为 通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,?或简记为{an}，f(1),f(2),?；

其中an表示数列{an}的通项。

注意：（1）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,?，而an表示的是数列的第n项；

（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，

它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 S1(n?1)?

（3）anSnan??

S?S(n?2)n?1?n

*

如：已知{an}的Sn满足lg(Sn?1)?n(n?N)，求an。

二、等差数列、等比数列的性质：

- 1 -

- 2 -

如：（1）在等差数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n?

（2）在等比数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n? 另外，等差数列中还有以下性质须注意：

（1）等差数列{an}中，若an?m,am?n(m?n)，则am?n? （2）等差数列{an}中，若Sn?m,Sm?n(m?n)，则Sm?n?

（3）等差数列{an}中，若Sn?Sm(m?n)，则am?1?am?2???an?；Sm?n? ； （4）若SP?Sq，则n? 时，Sn最大。 （5）若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，

则

ambm

?S______T______

；

ambn

??

S______T______

（6）项数为偶数2n的等差数列{an}，有S2n?

间的两项）

S偶?S奇?n(a1?a2n)

2

?

n2

(an?an?1)（an与an?1为中

S奇S偶

?

项数为奇数2n?1的等差数列{an}，有S2n?1?(2n?1)an（an为中间项）

S奇?S偶?S奇S偶

?S奇?S偶?

等比数列中还有以下性质须注意：

（1）若{an}是等比数列，则{?an}(??0)，{|an|}也是等比数列，公比分别

- 3 -

（2）若{an}是等比数列，则{三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

1an

，{an}也是等比数列，公比分别 ； ；

2

①定义法：an?1?an?d或an?an?1?d(n?2)（d为常数）?{an}是等差数列 ②中项公式法：2an?1?an?an?2?{an}是等差数列

③通项公式法：an?pn?q（p,q为常数）?{an}是等差数列 ④前n项和公式法：Sn?An2?Bn（A,B为常数）?{an}是等差数列 注意：①②是用来证明{an}（2）等比数列的判定方法：

①定义法：

an?1an

?q或

anan?1

?d(n?2)（q是不为零的常数）?{an}是等比数列

②中项公式法：an?1?an?an?2(anan?1an?2?0)?{an}是等差数列

n

③通项公式法：an?cq（c,q是不为零常数）?{an}是等差数列

2

2

④前n项和公式法：Sn?kq?k（k?

a1q?1

是常数）?{an}是等差数列

注意：①②是用来证明{an}四、数列的通项求法： （1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，…… （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为an?1?an?d及an?1?qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。 ②递推式为an?1?an?f(n)：迭加法 如：已知{an}中a1?

12

，an?1?an?

14n?1

2

，求an

③递推式为an?1?f(n)an：迭乘法 如：已知{an}中a1?2，an?1?

n?1n

an，求an

④递推式为an?1?pan?q（p,q为常数）：

- 4 -

?an?1?pan?q

构造法：Ⅰ、由?相减得(an?2?an?1)?p(an?1?an)，则

a?pa?qn?1?n?2

{an?1?an}为等比数列。

Ⅱ、设(an?1?t)?p(an?t)，得到pt?t?q，t?

为等比数列。

如：已知a1?1,an?1?2an?5，求an ⑤递推式为an?1?pan?qn（p,q为常数）：

两边同时除去qn?1得再用④法解决。 如：已知{an}中，a1?

56

qp?1

，则{an?

qp?1

an?1q

n?1

?

pq

?

anq

n

?

1q

，令bn?

anq

n

，转化为bn?1?

pq

bn?

1q

，

，an?1?

1

1n?1

an?()，求an 32

⑥递推式为an?2?pan?1?qan（p,q为常数）：

将an?2?pan?1?qan变形为an?2?tan?1?s(an?1?tan)，可得出?

s,t，于是{an?1?tan}是公比为s的等比数列。

?s?t?p?st??q

解出

如：已知{an}中，a1?1,a2?2，an?2?

S1,n?1?

（3）公式法：运用an??

?Sn?Sn?1,n?2

23

an?1?

13

an，求an

2

①已知Sn?3n?5n?1，求an；②已知{an}中， Sn?3?2an，求an；

③已知{an}中，a1?1,an?五、数列的求和法：

2Sn

2

2Sn?1

(n?2)，求an

（1）公式法：

①等差（比）数列前n项和公式：②1?2?3???n? ；

③1?2?3???n?（2）倒序相加（乘）法：

012n

如：①求和：Sn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn；

2222

n(n?1)(2n?1)

6

；④1?2?3???n?[

3333

n(n?1)

2

]

2

- 5 -

②已知a,b为不相等的两个正数，若在a,b之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积Pn；

（3）错位相减法：如：求和：S?x?2x2?3x3???nxn （4）裂项相消法：an?

11?211?3

1n(n?k)12?312?41n?

n?1

?；an?

1n?k?

n

?；

如：①S???

13?413?5

???

1n?(n?1)

1n?(n?2)

?

②S???????

③若an?，则Sn?

（5）并项法：如：求S100?1?2?3?4???99?100

n

（6）拆项组合法：如：在数列{an}中，an?10?2n?1，求Sn，

六、数列问题的解题的策略：

（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用前n项和公式时，要对公比q进行讨论；只有q?1

时才能用前n项和公式，q?1时S1?na1

②已知Sn求an时，要对n?1,n?2进行讨论；最后看a1满足不满足

an(n?2)，若满足an中的n扩展到N，不满足分段写成an。

*

（2）设项的技巧：

①对于连续偶数项的等差数列，可设为?,a?3d,a?d,a?d,a?3d,?，公差为2d； 对于连续奇数项的等差数列，可设为?,a?2d,a?d,a,a?d,a?2d,?，公差为d；

aq

3

②对于连续偶数项的等比数列，可设为?,,

aqaq

,aq,aq,?，公比为q；

32

对于连续奇数项的等比数列，可设为?,

aq

2

,,a,aq,aq,?公比为q；

2

- 6 -

- 7 -

- 8 -

 

第二篇：高中数学知识点总结之不等式与数列篇

34. 不等式的性质有哪些？

   

   

   

   

   

   

   

   

   

    答案：C

  35. 利用均值不等式：

   

值？（一正、二定、三相等）

    注意如下结论：

   

   

   

   

   

    

   

   

   

   

   

  36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

    （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

    并注意简单放缩法的应用。

   

   

   

 

    （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

  38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

   

  39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

   

  40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

    （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

   

   

 

   

   

    证明：

        

   

   

   （按不等号方向放缩）

  42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

   

        

        

   

    

   

   

  43. 等差数列的定义与性质

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

0的二次函数）

   

项，即：

   

   

   

   

   

   

   

  44. 等比数列的定义与性质

   

   

   

   

   

   

 

   

  46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

    例如：（1）求差（商）法

   

    解：

   

   

   

   

［练习］

   

   

   

   

    （2）叠乘法

   

    解：

   

    （3）等差型递推公式

   

   

   

   

［练习］

   

   

    （4）等比型递推公式

   

   

   

   

   

   

   

［练习］

   

   

    （5）倒数法

   

   

   

   

   

   

  47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

    例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

   

    解：

   

               

［练习］

   

   

    （2）错位相减法：

   

   

        

   

   

   

    （3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

   

   

［练习］