数列知识点总结                      

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），

等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.    

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有，

    ，.

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），.

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：由求时应注意什么？

时，；时，.

3．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列，，求

解 时，，∴                                     ①

时，                         ②

①—②得：，∴，∴

［练习］数列满足，求

注意到，代入得；又，∴是等比数列，

时，

（2）叠乘法

    如：数列中，，求

解 ，∴又，∴.

（3）等差型递推公式

由，求，用迭加法

时，两边相加得

∴

（4）等比型递推公式

（为常数，）

可转化为等比数列，设

令，∴，∴是首项为为公比的等比数列

∴，∴

（5）倒数法

如：，求

由已知得：，∴

∴为等差数列，，公差为，∴，

∴

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项分组法

     

 

. （2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

如：                              ①

                      ②

①—②

时，，时，；

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

两式相加可得：

［练习］已知，则     

由

∴原式

(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{a_n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

    b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和S_n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

    c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

   d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{a_n·b_n}中，{a_n}成等差数列，{b_n}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

   e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{a_n}满足a_n+1=a_n+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a_n+1-a_n=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a_n ，从而求出S_n。

f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

                                               

 

第二篇：数列知识点总结

一、基本概念

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

二、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差．

          ，或

1、若等差数列的首项是，公差是，则有 

   性质： 

2、等差数列的前项和的公式：  

等差数列的前项和的性质：

（1） 

（2）

     若等差数列,的前n项和为,,则

 （3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若，则有最大值，当n=k时取到的最大值k满足

②若，则有最小值，当n=k时取到的最大值k满足

三、等比数列：从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比．

1、通项公式及其性质

若等比数列的首项是，公比是，则．

2、前n项和及其性质

．

．

四、(1)与的关系：（检验是否满足）

(2)

五、一些方法

1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前n项和的最大值、最小值

2、求通向公式的常见方法

  （1）观察法；待定系数法（已知是等差数列或等比数列）；

  （2）累加消元;累乘消元。

（3）；

；

（4）化为构造等比

，化为，分是否等1讨论。

3、求前n项和的常见方法

   公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和

                       数列知识点巩固练习

一、选择题

1、一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么的值是（    ）

A．            B．           C．            D．不确定

2、等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则等于(      )

A         B          C            D 

3、等比数列｛a_n｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比（    ）

A．－2         B．1            C．－2或1      D．2或－1

4、等差数列中，已知前15项的和，则等于（    ）．

    A．          B．12           C．          D．6

5、等比数列中,,a₅a₆=9,则(  )

A.12             B.10             C.8              D.

6、等比数列{a_n} 的前n项和为S_n ， 若S₄=1，S₈=4，则a₁₃+a₁₄+a₁₅+a₁₆=（    ）．

    A．7            B．16           C．27           D．64

7、数列的通项公式，则该数列的前（   ）项之和等于 

A       B                C       D 

8、在等比数列{a_n}中,a₅a₇=6,a₂+a₁₀=5,则等于(  )

A.      B.            C.             D. 或

9、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（    ）

A           B          C         D 

10、已知数列的前项和为,

则的值是（        ）

      A. -76           B. 76       C.  46            D.  13

二、填空题

1、数列的一个通项公式是                                   

2、数列的前n项和是        

3、在数列中，，且对于任意自然数n，都有，则＝ 

4、已知， ， =_____________

5、已知数列的，则=_____________

6、等差数列{a_n}中，公差那么使前项和最大的值为__________

三、解答题

1、已知数列的前项和，求

2、已知数列满足,  ,求数列的通项公式。

3、数列中，，，且满足

（1）求数列的通项公式；   （2）设，求。

4、已知是等差数列，其前n项和为S_n，已知

   （1）求数列的通项公式 （2）设，证明是等比数列，并求其前n项和T_n

5、已知数列是等差数列，且，.

 ⑴ 求数列的通项公式； ⑵ 令，求数列的前项和的公式.