二次函数

考点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数。

y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x??

b

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线y?ax2?bx?c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0) （2）顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0)

2

（3）当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0

2

2

2

2

有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最

2

b4ac?b2大值（或最小值），即当x??时，y最值?。

2a4a

如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?

b

是否在自变量取值范围2a

b4ac?b2

时，y最值?；若不在此范围内，则x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?2a4a

需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当

2

x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，2y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，2y最小?ax2?bx2?c。

2、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上，，， a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=?

b

2a

（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?>0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点； 当?<0时，图像与x轴没有交点。 补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图：点A坐标为（x1，y1）点B则AB间的距离，即线段AB2

x

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

3、直线斜率：

y2?y1 b为直线在y轴上的截距

k?tan??

x2?x1

4、直线方程： 一般两点斜截距

1，一般 一般 直线方程 ax+by+c=0

2，两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:

3，点斜

--最最常用，记牢 知道一点与斜率y?y?k(x?x)

1

1

4，斜截 斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)

5 ，截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距

式方程，简称截距式：

xy??1 ab

记牢可大幅提高运算速度

5、设两条直线分别为，l1：y?k1x?b1 l2：y?k2x?b2 若l1//l2，则有l1//l2?k1?k2且b1?b2。 若

l1?l2?k1?k2??1

6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d?

kx0?y0?bk?(?1)

2

2

?

kx0?y0?b

k?1

2

对于点P（x0，y0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0的距离有

二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

0?，B?x2，0?(x1?x2)，① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，其中的x1，x2

是一元二次方程ax2?bx?c?0?a?

0?的两根．这两点间的距离 AB?x2?x1?

② 当??0时，图象与x轴只有一个交点；

③ 当??0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，

b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母

x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的

y=-2x2

y=3(x+4)2

y=3x2

2

y=-2(x-3)2

 

第二篇：二次函数知识总结

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b4ac?b k=2a4a2x1,x2=?b?b?4ac

2a2

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 bx = -。 2a

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为 b4ac?b2

P [ - ， ]。 2a4a

当-b=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。 2a

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。