高中数学第十五章 复数
考试内容:
复数的概念.
复数的加法和减法.
复数的乘法和除法.
数系的扩充.
考试要求:
(1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.
(2)掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.
(3)了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.
§15. 复数 知识要点
1. ⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即.
⑵复数及其相关概念:
① 复数—形如a + bi的数(其中);
② 实数—当b = 0时的复数a + bi,即a;
③ 虚数—当时的复数a + bi;
④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi,即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)
⑥ 复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义:
.
⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.
注:①若为复数,则若,则.(×)[为复数,而不是实数]
若,则.(√)
②若,则是的必要不充分条件.(当,
时,上式成立)
2. ⑴复平面内的两点间距离公式:.
其中是复平面内的两点所对应的复数,间的距离.
由上可得:复平面内以为圆心,为半径的圆的复数方程:.
⑵曲线方程的复数形式:
①为圆心,r为半径的圆的方程.
②表示线段的垂直平分线的方程.
③为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若,此方程表示线段).
④表示以为焦点,实半轴长为a的双曲线方程(若,此方程表示两条射线).
⑶绝对值不等式:
设是不等于零的复数,则
①.
左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.
②.
左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.
注:.
3. 共轭复数的性质:
,(a + bi)
()
注:两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的]
4 ⑴①复数的乘方:
②对任何,及有
③
注:①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果,如若由就会得到的错误结论.
②在实数集成立的. 当为虚数时,,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
⑵常用的结论:
若是1的立方虚数根,即,则 .
5. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件:
①.
②若,是纯虚数.
⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数. 特例:零向量的方向是任意的,其模为零.
注:.
6. ⑴复数的三角形式:.
辐角主值:适合于0≤<的值,记作.
注:①为零时,可取内任意值.
②辐角是多值的,都相差2的整数倍.
③设则.
⑵复数的代数形式与三角形式的互化:
,,.
⑶几类三角式的标准形式:
7. 复数集中解一元二次方程:
在复数集内解关于的一元二次方程时,应注意下述问题:
①当时,若>0,则有二不等实数根;若=0,则有二相等实数根;若<0,则有二相等复数根(为共轭复数).
②当不全为实数时,不能用方程根的情况.
③不论为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算:
棣莫弗定理:
一.基本概念和原理: 立体几何知识点
1.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么
这两个角相等。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法
2
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量)
(规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为
0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°])
斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的
最小角
如果平面内的一条直线,
与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直,就说直线a和平面互相垂直.直线
a叫平面的垂线,平面叫做直线a的垂面。 直,那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点,
那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行,那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行,
经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
面,那么这两个平面平行。
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行。
8.(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°,180°]
(2) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(3) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面
互相垂直。记为 ⊥
一条垂线,如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
10.二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系) 11.棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的性质:(1)侧棱都相等,侧面是平行四边形(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
12.棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥
棱锥的性质:(1) 侧棱交于一点。侧面都是三角形(2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方
正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质:
(1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等
(3)a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心
14.注意建立空间直角坐标系, 空间向量也可在无坐标系的情况下应用
15.多面体欧拉公式:V(角)+F(面)-E(棱)=2
正多面体只有五种:正四、六、八、十二、二十面体
16.数学简单记法:
线线垂直证角是90°,或向量相乘等于0
线面垂直证一条线与面上的两条相交直线垂直
线面平行一条线与面上的一条直线平行
a面b面垂直(先证一条线与A面上的两条相交直线垂直,再证
这条线属于B面)
面面平行(
一个面中的两条相交直线‖另一个面中的两条相交直线)
b四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。
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