二元一次方程组单元知识总结

【基本目标要求】

　　一、经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想。

　　二、使学生了解二元一次方程（组）、方程（组）的解、解二元一次方程组等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。

　　三、能根据实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决应用问题，并能检验解的合理性。

　　四、了解二元一次方程组的图象解法、初步体会方程与函数的关系。

　　五、了解把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的思想方法。

【基础知识导引】

　　一、二元一次方程组的有关概念

　　1．二元一次方程

　　含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程（linear equation with two unknowns）。

　　2．二元一次方程的一个解

　　适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。

　　3．方程组和方程组的解

　　（1）方程组  由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

　　（2）方程组的解  方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。

　　4．二元一次方程组和二元一次方程组的解

　　（1）二元一次方程组  含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组（system of linear equations with two unknowns）。

　　（2）二元一次方程组的解  二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。

　　

　　二、二元一次方程组的解法

　　1．代入法  将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

　　2．加减法  通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。

【重点难点解析】

　　本章的重点是二元一次方程组的解法：代入法、加减法，以及列二元一次方程组解简单的应用题。

　　本章难点是列方程组解应用题。要掌握重点、难点，必须注意以下问题：

　　

　　一、灵活选择消元方法，达到化繁为简的目的

　　

　　在解方程组之前，首先看选择哪种方法较为恰当，其次再看消去哪个未知数较为简便，采用适当的方法和步骤是非常重要的。用代入法的关键是将一个未知数用另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程消去这个未知数；当上述变换和代入计算量不大时，选用代入法。如果两个方程中某一个未知数的系数成倍数关系或化为绝对值相同的系数，各自乘以的数不大，若符号相同就用减法；若符号相异就用加法。特别注意用减法时，减去一个数等于加上这个数的相反数。

　　一般来说，用代入法解二元一次方程组的步骤如下：

　　（1）求表示式  从方程组中选一个系数比较简单的方程（最好是系数为1），将此方程中一个未知数，例如 y，用含x的代数式表示出来，如写成y=ax+b的形式；

　　（2）代入消元  将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；

　　（3）解一元一次方程  求出x的值；

　　（4）回代得解  将求出的x的值代入y=ax+b中，求出y的值。

　　用加减法解二元一次方程组的步骤如下：

　　（1）变换系数  即把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；

　　（2）加减消元  即把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程；

　　（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

　　（4）回代得解  将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。

　　

　　二、二元一次方程组解的三种情况

　　

　　1．方程组无解  即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组  无解，此类方程组亦称为矛盾方程组。

　　2．方程组有惟一一组解  即方程组中的两个二元一次方程有惟一公共解，如方组  有惟一一组解。

　　3．方程组有无数组解  即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组  有无数组解。

　　

　　三、列二元一次方程组解应用题

　　

　　对于含有两个未知数的问题

　　利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解题容易。列方程组解应用题步骤如下：

　　（1）选定两个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数数量相等的独立的方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。

【发散思维分析】

　　解二元一次方程组的基本思路是通过消元方法将含有两个未知数，两个方程的二元一次方程组转化为含有一个未知数的一元一次方程。转化的方法要先把一个方程转化为用含这个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，从而消去一个未知数。而用加减法消元应注意把两个方程中的某一个未知数的系数变成相同的数（用减法），或互为相反的数（用加法），消去一个未知数，转化为一元一次方程。因为我们已经掌握一元一次方程的解法，故而逆向运算可求得二元一次方程组的解。这里，消元是促进由二元（或多元）向一元转化的桥梁。本章安排一定数量的变形发散题，变形发散借助于有关公式、定理，法则使得原题形状不断变化，使复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，达到化未知为已知的目的。

　　

【课本习题提示】

　　习题7．1

　　1．(1)4x+7y=76；(2)4；(3)5．

　　2．略

　　3．(1)设该班有男生x名，女生y名，则可列方程组

　　(2)设有x个同学，y个笔记本，则可列方程组

　　习题7．2

　　1．(1)      (2)    (3)   (4)

　　习题7．3

　　1．(1)      (2)     (3)    (4)

　　试一试

　　1．

　　习题7．4

　　1．树上有7只鸽子，树下有5只鸽子．

　　提示：可设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，则有方程组

　　

　　2．这根绳子有25尺，环绕大树一周需要7尺．

　　提示：可设绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，则有方程组

　　习题7．5

　　1．该旅游团租住了三人间8间，两人间13间．

　　提示：可设租住三人间x间，两人间y间，则有方程组

　　

　　2．甲、乙的速度分别是米/秒、米／秒．

　　提示：可设甲、乙的速度分别为x米秒、y米/秒，则有方程

　　

　　3．林场面积为140公顷，耕地面积为28公顷．

　　提示：可设退耕还林后林场面积为x公顷，耕地面积为y公顷，则有方程

　　

　　习题7．6

　　1．两个加数分别是21，32．

　　提示：可设小明在x后多写了一个0，小亮在y后面多写了一个0，则有方组

　　2．小颖上坡用11分，下坡用5分．

　　提示：可设小颖上坡用x分，下坡用y分，则有方程组

　　

　　习题7．7

　　1．    2．

　　复习题

A组

　　1．(C)   2．(1)    (2)   (3)   (4)

　　3．其解为图略．

　　4．国有企业有20家，民营企业有15家．

　　提示：可设国有企业有x家，民营企业有y家，则有方程组：．

　　5．长方形的长和宽分别为15cm和7cm．

　　提示：可设长方形的长和宽分别为xcm和ycm，则有方程组

　　6．长方形地砖的长和宽分别为45cm和15cm．

　　提示：可设地砖的长和宽分别为xcm，ycm．由图可知，长是宽的3倍，则有方程组

　　7．A=40°，B=70°．

　　8．甲组一天生产500个，乙组一天生产600个．

　　提示：可设甲组一天生产x个产品，乙组一天生产y个产品，则有方程组

　　

　　9．船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为2千米/时．

　　提示：可设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则有方程组

　　

　　10．实际生产水稻11.5吨，小麦5.5吨．

　　提示：可设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨，则有方程组

　　

B组

　　1．商品进价155元，定价为200元．

　　提示：可设该商品进价为x元，定价为y元，则有方程组

　　

　　2．20##年第一季度我国对外贸易出口为486．5亿美元，进口493．5亿美元．

　　提示：可设1999年第一季度我国对外贸易出口x亿美元，进口y亿美元，则有方程组

　　

　　3．a与b的值分别为5和2．

　　4．甲、乙商品进价分别为150元和200元．

　　提示：设甲、乙商品进价分别为x元和y元，则有方程组

　　

C组

　　1．王先生买了18000元国库券，在银行存款12000元．

　　提示：设王先生买了x元国库券，在银行存款y元，则有方程组

　　

　　

 

第二篇：二元一次方程知识总结

一、知识网络结构

二、知识要点

1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为(为常数，并且)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。

4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。

5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。