三角函数基础知识总结

自主招生讲座1—基础知识

1.定义1  角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

2.定义2  角度制,把一周角360等分,每一等份为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。=2π rad。若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径(相应的扇形面积为)。

3.定义3  象限角:角的终边落在象限内的角,如为第一象限角。

轴线角:角的终边落在坐标轴上的角,如终边落在轴上的角的集合为: 

4.定义4  三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为r,则正弦函数sin=,余弦函数cos=,正切函数tan=,余切函数cot=,正割函数sec=,余割函数csc=(在单位圆中定义更加简单)

(1)三角函数的正否:“一全二正弦,三切四余弦”

(2)大小关系如图:             

(3)的大小范围如图:

5.定义5  三角函数线:略

6.定理1  同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tan=,sin=cos=;商数关系:tan=;乘积关系:tan×cos=sin,cot×sin=cos;平方关系:sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2;若,则为轴线角。

7.定理2  诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (Ⅳ)sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。

8.三角函数的图像:略(留意的图像)

9.正弦函数的性质,根据图象可得y=sinxx∈R)的性质如下。单调区间:在区间上为增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2. 奇函数. 有界性:当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性:直线x=k+均为其对称轴,点(k, 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里kZ.

10.余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。有界性:当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。值域为[-1,1]。这里kZ.

11.正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(,0)均为其对称中心。这里kZ.

12.的性质:单调区间:增区间(),(),减区间(),();最小正周期为2π,奇函数,对称轴为,对称中心为,值域为。这里kZ.

13. 的性质:单调区间:增区间(),(),减区间(),();最小正周期为2π,偶函数,对称轴为,对称中心为,值域为。这里kZ.

14.的性质:减区间为();最小正周期为π,奇函数,对称中心为,值域为R。这里kZ.

15.平移与伸缩变换:(1)先平移后伸缩;(2)先伸缩后平移。图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。

16.两角和与差的基本关系式:cos(αβ)=cocosinαsinβ,sinβ)=sinαcocosαsinβ; tanβ)=(注意其的变形形式)

17.和差化积与积化和差公式:(重要)

sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,

cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],

cocosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

18.倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=

19.三倍角公式:=

20.半角公式:sin=,cos=,

tan==

21.万能公式: , ,

22.辅助角公式:如果a, b是实数且a2+b20,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β,则sinβ=,cosβ=,对任意的角α.

asinα+bcosα=sin(α+β).

23.正弦定理:在任意△ABC中有,其中a, b, c分别是角ABC的对边,R为△ABC外接圆半径。

24.余弦定理:在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分别是角ABC的对边。

25.在中,下列公式成立:

(1)

(2)

(3)

(4)

(4)

(5)

(6)

26.函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理15  三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, nZ}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, kZ}. 如果aR,方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, kZ}。恒等式:arcsina+arccosa=arctana+arccota=.

27.若,则sinx<x<tanx.

28.三角与复数

(1)复数的4种形式:是复数的模)

(2)

(3)

(4)隶莫弗公式:复数次方

(5)复数次方根为

(6)方程的解为,其中

     

 

第二篇:初中函数基础知识总结

函数板块一:基础题

平面直角坐标系

1、如果p(a+b,ab)在第二象限,那么点Q (a,-b) 在第            象限.

2、已知点(1-a,a+2)在第二象限,则a的取值范围是           

3、如果点M(a,b)第四象限,那么点N(b,a)在第­­­­­­­­­­­­     ­­­象限。

4、点A(-3,5)在第_____象限,到x轴的距离为______,到y轴的距离为_______。

5、平面直角坐标系中的P(3,-5),关于x轴对称的点 的坐标为         ;关于y轴对称的点 的坐标为          关于原点对称的点 的坐标为        

6、已知线段 MN=4,MN∥y轴,若点M坐标为(-1,2),则N点坐标为                .

7、已知轴上点P到轴的距离是3,则点P坐标是_________。

8、已知点M轴上,则点M的坐标为       

9、若点P到轴的距离为2,到轴的距离为3,则点P的坐标为        _________

10、将点P-3,2)向下平移3个单位,向左平移2个单位后得到点Qx,y),则xy=___________

11、已知点M与点N关于轴对称,则x + y  =  ____  

12、点Q(-4,5)到x轴的距离是            ,到y 轴的距离是         

13、(-3,4)关于x轴对称的点的坐标为_________,关于y轴对称的点的坐标为__________,

关于原点对称的坐标为__________.

14、点B(-5,-2)到x轴的距离是____,到y轴的距离是____,到原点的距离是____

函数取值范围

1函数的自变量x的取值范围是                              (    )

A.      B.x≠一3    C.x取任意实数       D.

2、函数的自变量x的取值范围是                            (    )

A.x<2    B.x≤2    C. x≥2    D.x>2

3、函数y=的自变量x的取值范围_________________

4、求下列函数的自变量取值范围:

①y=;    ②y=

正比例函数和一次函数

1、已知一个正比例函数经过点,求它的解析式。

2、(1)已知y与x+1成正比例,当x=5时,y=12,则y关于x的函数解析式是________.

(2)y与3x成正比例,当x=8时,y=-12,则y与x的函数解析式为___________

3、一个函数是经过原点的直线,并且这条直线经点(2,-3a)和点(1,a-5),求这个一次函数的解析式。

4、已知一个一次函数经过点和点,求它的解析式。

5、已知的一次函数,且当=8时,=15:当=-10时,=-3,

求:⑴这个一次函数的解析式;

⑵当=-2时,求的值;

6、已知函数

(1)若函数图象经过原点,求的值

(2)若这个函数是一次函数,且随着的增大而减小,求的取值范围.

7、直线y=3-9x与x轴的交点坐标为__________,与y轴的交点坐标为________.

8、若直线y=kx+b平行直线y=3x+4,且过点(1,-2),则k=________ .

9、已知一次函数y =(m + 4)x + m + 2(m为整数)的图象不经过第二象限,则m =________

(2002年温州市中考试题)

10、旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需购买行李票.设行李票y(元)是行李重量x(千克)的一次函数,如图6-20所示,求

  (1)y与x之间的函数关系式;

  (2)旅客最多可免费携带行李的重量.

12、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700元,请问根据商场的资金状况如何购销获利较多?

(2001年山西省中考试题)

反比例函数

1、反比例函数y=图象经过点(2,3),则n的值是(  ).

A、-2   B、-1   C、0   D、1

2、若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(-1,2),则这个函数的图象一定经过点(  ).

A、(2,-1)  B、(-,2)  C、(-2,-1)  D、(,2)

3、已知y与(2x+1)成反比例且当x=0时,y=2,那么当x=-1时,y=________。

4、反比例函数y=(m+2)xm-10的图象分布在第二、四象限内,则m的值为          

5、已知反比例函数的图象位于第一、三象限,则的取值范围

             

已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象在第________象限.

6、已知反比例函数的图象分布在第二、四象限,则在一次函数中,的增大而                (填“增大”或“减小”或“不变”).

7、已知一次函数y=axb的图像与反比例函数 的图像交于A(2,2),B(-1,m),求一次函数的解析式;

8、如图,已知是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)求直线轴的交点的坐标及三角形的面积.

(3)当为何值时,一次函数的值小于反比例函数的值?

二次函数

1.函数中自变量x的取值范围是(    )

A.全体实数     B.      C       D

2、配方法求二次函数的最大(小)值,和对称轴

例:(1)                       (2)

(3)               (4)

3、用公式法求二次函数的最大(小)值,和对称轴

(1)                     (2)

4、求二次函数的解析式

(1)已知二次函数的解析式为,它的图像经过点,求出它的解析式;

(2)已知二次函数的解析式为,它的图像经过点和点,求出它的解析式;

(3)已知二次函数的解析式为,它的图像经过点和点和点,求出它的解析式;

(4)已知二次函数的顶点式为,它的图像的最高点为,而且经过点,求它的解析式。

5、已知二次函数,它与轴相交于点和点

(1)求    (2)求

6、已知抛物线yx2x

(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴;

(2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长

7、y=(m-2)xm2- m  是关于x的二次函数,则m=(    )

A  -1    B   2   C  -1或2    D  m不存在

8、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是(  )

   A  y=—( x-2)2+2         B y=—( x+2)2+2   

 C  y=— ( x+2)2+2        D y=—( x-2)2—2

9、抛物线y=   x2-6x+24的顶点坐标是(   )

A (—6,—6)    B (—6,6)       C (6,6)       D(6,—6)

函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0),则

 =  =   的值是(   )

A -1     B 1        C          D -

10、已知一次函数y= ax+c与二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的(     )

A                 B                  C                   D

11、无论m为任何实数,总在抛物线y=x2+2mx+m上的点的坐标是———————————————。

 

第三篇:三角函数知识总结与综合检测

三角函数知识总结与综合检测

A级

一、选择题

1.在直角坐标系中,若角α与角β的终边关于x轴对称,则α与β的关系一定是(    )

A.α=-β                        B.α+β=k·360°(k∈Z)

C.α-β=k·360°(k∈Z)      D.以上答案都不对

2.圆内一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角是(    )

A.等于1弧度                B.大于1弧度

C.小于1弧度                D.无法判断

3.在△ABC中,如果sinA+cosA=,则△ABC是(    )

A.直角三角形                    B.锐角三角形

C.钝角三角形                    D.等腰三角形

4.已知:sinα+cosα=-1,则tanα+cotα的值是(    )

A.1             B.-1            C.0             D.不存在

5.y=cos|x|-cosx的值域是(    )

A.[-1,1]     B.0             C.[-2,0]     D.[0,2]

6.下列各函数中,奇函数的个数是(    )

(1)y=sinx              (2)y=cosx

(3)y=tanx              (4)y=secx

(5)y=lg(sinx+)

(6)y=lg(cosx+)

A.1             B.2             C.3             D.4

7.若y=sin(-α)= ,则y=sin(π+α)的值是(    )

A.          B.-             C.          D.-

8.方程sinx=lgx的实根的个数是(    )

A.1             B.2个           C.3个           D.3个以上

9.若sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,则的值是(    )

A.            B.-           C.5             D.-5

10.若x=cos36°-cos72°,则x的值为(    )

A.            B.          C.            D.-

11.函数y=3sin(2x+)的图像可以看成把函数y=3sin2x的图像经过下列平移而得到的(    )

A.向左平移个单位              B.向右平移个单位

C.向左平移个单位              D.向右平移个单位

12.下列四命题中正确的应当是(    )

①y=tanx恒为增函数;②y=cotx在x∈(-π,0)∪(0,π)上是周期函数;③y=cosx在(-π,π)上为偶函数;④y=sinx在x∈[-,]上为奇函数.

A.①                B.①②          C.②③          D.④

二、填空题

1.如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-对称,那么a=        .

2.函数y=sin2x-3cos2x的单调递减区间为        .

3.arctan1+arctan2+arctan3的值是        .

4.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为        .

三、解答题

1.设α+β=150°,求sin2α+sin2β-sinαsinβ的值.

2.设x∈(-,),f(x)=sin(x-)cos(-x)+ sin2(x-),求f(x)的最大值和最小值.

3.已知sinα和cosα是方程x2-kx+k+1=0的两根,且0<α<2π,求k与α的值.

4.设关于sinx的方程sin2x-(a2+2a)sinx+a3+a2=0有实数解,求实数a的范围.

5.设0<α<π,0<β<π,且cosα+cosβ-cos(α+β)=,求α,β的值.

6.求函数y=的值域.

AA级

一、选择题

1.角的集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=±,k∈Z},则M与N的关系是(    )

A.MN        B.MN        C.M=N           D.不能确定

2.若集合A=R,B=R,则下列对应f:x→y是A到B的映射的是(    )

A.y=tanx            B.y=cotx            C.y=secx            D.y=cosx

3.若θ是第三象限的角,且cos<0,那么是(    )

A.第一象限的角                  B.第二象限的角

C.第三象限的角                  D.第四象限的角

4.函数y=的定义域为(    )

A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)    B.[2kπ,2kπ+](k∈Z)

C.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)            D.R

5.在△ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是(    )

A.等腰三角形                        B.直角三角形

C.等腰或直角三角形              D.等腰直角三角形

6.函数y=lgsinx+的定义域是(    )

A.2kπ<x≤2kπ+ (k∈Z)       B.2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z)

C.2kπ<x≤2kπ+π(k∈Z)            D.2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)

7.把函数y=sin2x的图像在y轴方向压缩一半,沿y轴正方向平移个单位,再沿x轴正方向平移个单位,所得图像的函数表达式是(    )

A.y=+sin2(x-)                B.y= sin(2x-)-

C.y=sin2(x-)               D.y=sin2(x+)

8.已知函数:①f(x)=sinx2;②f(x)=sin2x;③f(x)=tan;④f(x)=其中周期函数是(    )

A.①和③            B.①和④            C.②和③            D.②和④

9.设α、β为锐角,则sin(α+β)与sinα+sinβ的值满足关系式(    )

A.sin(α+β)>sinα+sinβ       B.sin(α+β)<sinα+sinβ

C.sin(α+β)=sinα+sinβ            D.以上结论都不对

10.已知cosα=,cos(α+β)= ,且α、β为锐有,那么sinβ的值是(    )

A.            B.           C.            D.

11.方程cos(x+)=1的解集是(    )

A.{x|x=4kπ,k∈Z}              B.{x|x=4kπ±-,k∈Z}

C.{x|x=kπ±-,k∈Z}       D. 

12.在区间(0,π)上满足cos5x=cos2x的值的个数是(    )

A.3             B.4             C.5             D.6

二、填空题

1.函数y=arctan的值域是为        .

2.两弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所夹的扇形的面积为        .

3.函数y=2|sin(4x-)|的最小正周期是        .

4.若sinx+cosx=,x∈[0,π],那么tanx=        .

三、解答题

1.设6sin3β-cos22α=6,求α、β.

2.已知关于x的方程

(2cosθ-1)x2-4x+4cosθ+2=0有两个不相等的正根,且θ为锐角,求θ的范围.

3.设cos(α-)=-,sin(-β)= ,且<α<π,0<β<,求cos(α+β)的值.

4.求函数y=sin2x+9cos2x-8sinxcosx的最值及其相对应的x的值.

5.已知AB=2a,在以AB为直径的半圆上有一点C,设AB中点为O,∠AOC=60°.

(1)在上取一点P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函数;

(2)设f(θ)=PA+PB+PC,当θ为何值时f(θ)有最大值,最大值是多少?

6.已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=.

(1)求实数m的范围.

(2)当m取最小值时,求sin(α+β)的值.

参考答案:

A级

一、1.B  2.B  3.C  4.D  5.B  6.C  7.A  8.C  9.C  10.C  11.C  12.D

二、1.-1  2.[kπ+,kπ+π](k∈Z)  3.π  4.4π

三、1.   2.x=时,最大值为,x=时,最小值为-  3.k=-1,α=π或  4. ≤a≤1  5.α=β=  6.[-,-1]∪(-1, )

AA级

一、1.B  2.D  3.B  4.D  5.C  6.A  7.A  8.D  9.B  10.B  11.D  12.C

二、1.[arccot,π-arccot

  2.   3.  4.-

三、1.α=kπ±,β=+,(k,n∈Z)

2.30°<θ<60°  3.-   4.x=kπ-arctan,(k∈Z)时,ymax=11

x=kπ+-arctan (k∈Z)时ymin=1

5.(1)f(θ)=2acosθ+2asinθ+2asin(60°-θ)

(2)当θ=15°时,f(θ)max=(+)a

6.(1)m∈[-,]  (2)m=-时,sin(α+β)=-1

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