自主招生讲座1—基础知识
1.定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
2.定义2 角度制,把一周角360等分,每一等份为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。=2π rad。若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径(相应的扇形面积为)。
3.定义3 象限角:角的终边落在象限内的角,如为第一象限角。
轴线角:角的终边落在坐标轴上的角,如终边落在轴上的角的集合为:
4.定义4 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为r,则正弦函数sin=,余弦函数cos=,正切函数tan=,余切函数cot=,正割函数sec=,余割函数csc=(在单位圆中定义更加简单)
(1)三角函数的正否:“一全二正弦,三切四余弦”
(2)与大小关系如图:
(3)的大小范围如图:
5.定义5 三角函数线:略
6.定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tan=,sin=,cos=;商数关系:tan=;乘积关系:tan×cos=sin,cot×sin=cos;平方关系:sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2;若,则为轴线角。
7.定理2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (Ⅳ)sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。
8.三角函数的图像:略(留意的图像)
9.正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间上为增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2. 奇函数. 有界性:当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性:直线x=k+均为其对称轴,点(k, 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里k∈Z.
10.余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。有界性:当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。值域为[-1,1]。这里k∈Z.
11.正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(,0)均为其对称中心。这里k∈Z.
12.的性质:单调区间:增区间(),(),减区间(),();最小正周期为2π,奇函数,对称轴为,对称中心为,值域为。这里k∈Z.
13. 的性质:单调区间:增区间(),(),减区间(),();最小正周期为2π,偶函数,对称轴为,对称中心为,值域为。这里k∈Z.
14.的性质:减区间为();最小正周期为π,奇函数,对称中心为,值域为R。这里k∈Z.
15.平移与伸缩变换:(1)先平移后伸缩;(2)先伸缩后平移。图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
16.两角和与差的基本关系式:cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=(注意其的变形形式)
17.和差化积与积化和差公式:(重要)
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
18.倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=
19.三倍角公式:=
20.半角公式:sin=,cos=,
tan==
21.万能公式: , ,
22.辅助角公式:如果a, b是实数且a2+b20,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β,则sinβ=,cosβ=,对任意的角α.
asinα+bcosα=sin(α+β).
23.正弦定理:在任意△ABC中有,其中a, b, c分别是角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆半径。
24.余弦定理:在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边。
25.在中,下列公式成立:
(1)
(2)
(3)
(4)
(4)
(5)
(6)
26.函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R,方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa=;arctana+arccota=.
27.若,则sinx<x<tanx.
28.三角与复数
(1)复数的4种形式:(是复数的模)
(2)
(3)
(4)隶莫弗公式:复数的次方
(5)复数的次方根为
(6)方程的解为,其中
平面直角坐标系
1、如果p(a+b,ab)在第二象限,那么点Q (a,-b) 在第 象限.
2、已知点(1-a,a+2)在第二象限,则a的取值范围是
3、如果点M(a,b)第四象限,那么点N(b,a)在第 象限。
4、点A(-3,5)在第_____象限,到x轴的距离为______,到y轴的距离为_______。
5、平面直角坐标系中的P(3,-5),关于x轴对称的点 的坐标为 ;关于y轴对称的点 的坐标为 关于原点对称的点 的坐标为 ;
6、已知线段 MN=4,MN∥y轴,若点M坐标为(-1,2),则N点坐标为 .
7、已知轴上点P到轴的距离是3,则点P坐标是_________。
8、已知点M在轴上,则点M的坐标为 。
9、若点P到轴的距离为2,到轴的距离为3,则点P的坐标为 _________
10、将点P(-3,2)向下平移3个单位,向左平移2个单位后得到点Q(x,y),则xy=___________
11、已知点M与点N关于轴对称,则x + y = ____ 。
12、点Q(-4,5)到x轴的距离是 ,到y 轴的距离是
13、(-3,4)关于x轴对称的点的坐标为_________,关于y轴对称的点的坐标为__________,
关于原点对称的坐标为__________.
14、点B(-5,-2)到x轴的距离是____,到y轴的距离是____,到原点的距离是____
函数取值范围
1函数的自变量x的取值范围是 ( )
A. B.x≠一3 C.x取任意实数 D.
2、函数的自变量x的取值范围是 ( )
A.x<2 B.x≤2 C. x≥2 D.x>2
3、函数y=的自变量x的取值范围_________________
4、求下列函数的自变量取值范围:
①y=; ②y=
正比例函数和一次函数
1、已知一个正比例函数经过点,求它的解析式。
2、(1)已知y与x+1成正比例,当x=5时,y=12,则y关于x的函数解析式是________.
(2)y与3x成正比例,当x=8时,y=-12,则y与x的函数解析式为___________
3、一个函数是经过原点的直线,并且这条直线经点(2,-3a)和点(1,a-5),求这个一次函数的解析式。
4、已知一个一次函数经过点和点,求它的解析式。
5、已知是的一次函数,且当=8时,=15:当=-10时,=-3,
求:⑴这个一次函数的解析式;
⑵当=-2时,求的值;
6、已知函数
(1)若函数图象经过原点,求的值
(2)若这个函数是一次函数,且随着的增大而减小,求的取值范围.
7、直线y=3-9x与x轴的交点坐标为__________,与y轴的交点坐标为________.
8、若直线y=kx+b平行直线y=3x+4,且过点(1,-2),则k=________ .
9、已知一次函数y =(m + 4)x + m + 2(m为整数)的图象不经过第二象限,则m =________
(2002年温州市中考试题)
10、旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需购买行李票.设行李票y(元)是行李重量x(千克)的一次函数,如图6-20所示,求
(1)y与x之间的函数关系式;
(2)旅客最多可免费携带行李的重量.
12、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700元,请问根据商场的资金状况如何购销获利较多?
(2001年山西省中考试题)
反比例函数
1、反比例函数y=图象经过点(2,3),则n的值是( ).
A、-2 B、-1 C、0 D、1
2、若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(-1,2),则这个函数的图象一定经过点( ).
A、(2,-1) B、(-,2) C、(-2,-1) D、(,2)
3、已知y与(2x+1)成反比例且当x=0时,y=2,那么当x=-1时,y=________。
4、反比例函数y=(m+2)xm-10的图象分布在第二、四象限内,则m的值为
5、已知反比例函数的图象位于第一、三象限,则的取值范围
是 .
已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象在第________象限.
6、已知反比例函数的图象分布在第二、四象限,则在一次函数中,随的增大而 (填“增大”或“减小”或“不变”).
7、已知一次函数y=ax+b的图像与反比例函数 的图像交于A(2,2),B(-1,m),求一次函数的解析式;
8、如图,已知,是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积.
(3)当为何值时,一次函数的值小于反比例函数的值?
二次函数
1.函数中自变量x的取值范围是( )
A.全体实数 B. C D
2、配方法求二次函数的最大(小)值,和对称轴
例:(1) (2)
(3) (4)
3、用公式法求二次函数的最大(小)值,和对称轴
(1) (2)
4、求二次函数的解析式
(1)已知二次函数的解析式为,它的图像经过点,求出它的解析式;
(2)已知二次函数的解析式为,它的图像经过点和点,求出它的解析式;
(3)已知二次函数的解析式为,它的图像经过点和点和点,求出它的解析式;
(4)已知二次函数的顶点式为,它的图像的最高点为,而且经过点,求它的解析式。
5、已知二次函数,它与轴相交于点和点
(1)求, (2)求 ,
6、已知抛物线y=x2+x-.
(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴;
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
7、y=(m-2)xm2- m 是关于x的二次函数,则m=( )
A -1 B 2 C -1或2 D m不存在
8、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是( )
A y=—( x-2)2+2 B y=—( x+2)2+2
C y=— ( x+2)2+2 D y=—( x-2)2—2
9、抛物线y= x2-6x+24的顶点坐标是( )
A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6) D(6,—6)
函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0),则
= = 的值是( )
A -1 B 1 C D -
10、已知一次函数y= ax+c与二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的( )A B C D
11、无论m为任何实数,总在抛物线y=x2+2mx+m上的点的坐标是———————————————。
三角函数知识总结与综合检测
A级
一、选择题
1.在直角坐标系中,若角α与角β的终边关于x轴对称,则α与β的关系一定是( )
A.α=-β B.α+β=k·360°(k∈Z)
C.α-β=k·360°(k∈Z) D.以上答案都不对
2.圆内一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角是( )
A.等于1弧度 B.大于1弧度
C.小于1弧度 D.无法判断
3.在△ABC中,如果sinA+cosA=,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.已知:sinα+cosα=-1,则tanα+cotα的值是( )
A.1 B.-1 C.0 D.不存在
5.y=cos|x|-cosx的值域是( )
A.[-1,1] B.0 C.[-2,0] D.[0,2]
6.下列各函数中,奇函数的个数是( )
(1)y=sinx (2)y=cosx
(3)y=tanx (4)y=secx
(5)y=lg(sinx+)
(6)y=lg(cosx+)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若y=sin(-α)= ,则y=sin(π+α)的值是( )
A. B.- C. D.-
8.方程sinx=lgx的实根的个数是( )
A.1 B.2个 C.3个 D.3个以上
9.若sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,则的值是( )
A. B.- C.5 D.-5
10.若x=cos36°-cos72°,则x的值为( )
A. B. C. D.-
11.函数y=3sin(2x+)的图像可以看成把函数y=3sin2x的图像经过下列平移而得到的( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
12.下列四命题中正确的应当是( )
①y=tanx恒为增函数;②y=cotx在x∈(-π,0)∪(0,π)上是周期函数;③y=cosx在(-π,π)上为偶函数;④y=sinx在x∈[-,]上为奇函数.
A.① B.①② C.②③ D.④
二、填空题
1.如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-对称,那么a= .
2.函数y=sin2x-3cos2x的单调递减区间为 .
3.arctan1+arctan2+arctan3的值是 .
4.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为 .
三、解答题
1.设α+β=150°,求sin2α+sin2β-sinαsinβ的值.
2.设x∈(-,),f(x)=sin(x-)cos(-x)+ sin2(x-),求f(x)的最大值和最小值.
3.已知sinα和cosα是方程x2-kx+k+1=0的两根,且0<α<2π,求k与α的值.
4.设关于sinx的方程sin2x-(a2+2a)sinx+a3+a2=0有实数解,求实数a的范围.
5.设0<α<π,0<β<π,且cosα+cosβ-cos(α+β)=,求α,β的值.
6.求函数y=的值域.
AA级
一、选择题
1.角的集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=±,k∈Z},则M与N的关系是( )
A.MN B.MN C.M=N D.不能确定
2.若集合A=R,B=R,则下列对应f:x→y是A到B的映射的是( )
A.y=tanx B.y=cotx C.y=secx D.y=cosx
3.若θ是第三象限的角,且cos<0,那么是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
4.函数y=的定义域为( )
A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) B.[2kπ,2kπ+](k∈Z)
C.[2kπ,2kπ+π](k∈Z) D.R
5.在△ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
6.函数y=lgsinx+的定义域是( )
A.2kπ<x≤2kπ+ (k∈Z) B.2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z)
C.2kπ<x≤2kπ+π(k∈Z) D.2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)
7.把函数y=sin2x的图像在y轴方向压缩一半,沿y轴正方向平移个单位,再沿x轴正方向平移个单位,所得图像的函数表达式是( )
A.y=+sin2(x-) B.y= sin(2x-)-
C.y=sin2(x-) D.y=sin2(x+)
8.已知函数:①f(x)=sinx2;②f(x)=sin2x;③f(x)=tan;④f(x)=其中周期函数是( )
A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④
9.设α、β为锐角,则sin(α+β)与sinα+sinβ的值满足关系式( )
A.sin(α+β)>sinα+sinβ B.sin(α+β)<sinα+sinβ
C.sin(α+β)=sinα+sinβ D.以上结论都不对
10.已知cosα=,cos(α+β)= ,且α、β为锐有,那么sinβ的值是( )
A. B. C. D.
11.方程cos(x+)=1的解集是( )
A.{x|x=4kπ,k∈Z} B.{x|x=4kπ±-,k∈Z}
C.{x|x=kπ±-,k∈Z} D.
12.在区间(0,π)上满足cos5x=cos2x的值的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
1.函数y=arctan的值域是为 .
2.两弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所夹的扇形的面积为 .
3.函数y=2|sin(4x-)|的最小正周期是 .
4.若sinx+cosx=,x∈[0,π],那么tanx= .
三、解答题
1.设6sin3β-cos22α=6,求α、β.
2.已知关于x的方程
(2cosθ-1)x2-4x+4cosθ+2=0有两个不相等的正根,且θ为锐角,求θ的范围.
3.设cos(α-)=-,sin(-β)= ,且<α<π,0<β<,求cos(α+β)的值.
4.求函数y=sin2x+9cos2x-8sinxcosx的最值及其相对应的x的值.
5.已知AB=2a,在以AB为直径的半圆上有一点C,设AB中点为O,∠AOC=60°.
(1)在上取一点P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函数;
(2)设f(θ)=PA+PB+PC,当θ为何值时f(θ)有最大值,最大值是多少?
6.已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=.
(1)求实数m的范围.
(2)当m取最小值时,求sin(α+β)的值.
参考答案:
A级
一、1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.A 8.C 9.C 10.C 11.C 12.D
二、1.-1 2.[kπ+,kπ+π](k∈Z) 3.π 4.4π
三、1. 2.x=时,最大值为,x=时,最小值为- 3.k=-1,α=π或或 4. ≤a≤1 5.α=β= 6.[-,-1]∪(-1, )
AA级
一、1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 11.D 12.C
二、1.[arccot,π-arccot]
2. 3. 4.-
三、1.α=kπ±,β=+,(k,n∈Z)
2.30°<θ<60° 3.- 4.x=kπ-arctan,(k∈Z)时,ymax=11
x=kπ+-arctan (k∈Z)时ymin=1
5.(1)f(θ)=2acosθ+2asinθ+2asin(60°-θ)
(2)当θ=15°时,f(θ)max=(+)a
6.(1)m∈[-,] (2)m=-时,sin(α+β)=-1
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