第三章、勾股定理

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a² + b²= c²。

公式的变形：a² = c²- b²， b²= c²-a² 。

符号语言：

注意：前提一定是直角三角形.

      a，b也可能是斜边，分清斜边直角边.

勾股定理的证明   ：勾股定理的证明方法很多，常见的的方法是面积相等---根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

常见方法如下：

方法一：，，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　

大正方形面积为      所以

方法三：，，化简得证

勾股定理的适用范围 ： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a² + b²= c²，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①  已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

（分类讨论，数形结合）

最大边的平方＜最小边的平方+中间边的平方是锐角三角形

最大边的平方＞最小边的平方+中间边的平方是钝角三角形

说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）分别求出c²与a²+b²，判定c²与a²+b²是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。

（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）

3、勾股数

满足a² + b²= c²的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②  一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。缩小后仍满足a² + b²= c²    

常见勾股数有：用常见（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 

含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；

（为正整数）（，为正整数）

勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

4.勾股定理的应用 

 解决求直角三角形中的边长或直角三角形中线段之间的关系的证明问题

①  已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

②  ②已知一边和关系，设未知数通过勾股定理得方程求解。

典型问题：最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 

注：解决实际问题

思想：把实际问题  转化  为纯数学问题

方法：（1）抓主要信息。1.抓已知条件，2.抓数量关系3.抓所求问题

同时（2）画图，标注图，分析图.把题目中的已知数量，关系，所求都标注在图形中，分析他们之间关系。当不能直接求解时，往往先设出未知数，用未知数表示出其他量，也要标注在图形中。通过分析图形，找关系，想方法，找出解题思路。

（3）从已知出发，一步一步用符号语言书写推理过程。推理就是，由已知，先能求出什么，再求出的基础上再求什么，----最后求出结果。

技巧：锁定基本图形。

能力：阅读能力，读题要慢读细读，边读边思考，不明白时，再读。

      理解能力，把题目信息，动脑想，弄明白，理解怎么用。

      胆大心细，多动手，多分析，从多个角度思考分析。

类型：1.勾股定理求线段长度

2.利用列方程求线段的长（方程思想）

3.折叠问题

4.网格问题

5.最短类问题

6.判断类问题

7.云梯问题

8.地摊问题

9小鸟问题

10航海问题

11路径问题

 

第二篇：高二物理知识点总结(经典)

如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光！我允许你走进我的世界，但绝不允许你在我的世界里走来走去。6.静电力F＝kQ1Q2/r2 （k＝9.0×109N?m2/C2,方向在它们的连线上）

7.电场力F＝Eq （E：场强N/C，q：电量C，正电荷受的电场力与场强方向相同）

8.安培力F＝BILsinθ （θ为B与L的夹角，当L⊥B时:F＝BIL，B//L时:F＝0）

9.洛仑兹力f＝qVBsinθ （θ为B与V的夹角，当V⊥B时：f＝qVB，V//B时:f＝0）

5)物理量符号及单位B：磁感强度(T)，L：有效长度(m)，I:电流强度(A)，V：带电粒子速度(m/s),q:带电粒子（带电体）电量(C);

(6)安培力与洛仑兹力方向均用左手定则判定。

2）力的合成与分解

1.同一直线上力的合成同向:F＝F1+F2， 反向：F＝F1-F2 (F1>F2)

2.互成角度力的合成：

F＝(F12+F22+2F1F2cosα)1/2（余弦定理） F1⊥F2时:F＝(F12+F22)1/2

3.合力大小范围：|F1-F2|≤F≤|F1+F2|

4.力的正交分解：Fx＝Fcosβ，Fy＝Fsinβ（β为合力与x轴之间的夹角tgβ＝Fy/Fx）

3.电场力做功：Wab＝qUab ｛q:电量（C），Uab:a与b之间电势差(V)即Uab＝φa－φb｝

4.电功：W＝UIt（电场

1.两种电荷、电荷守恒定律、元电荷：(e＝1.60×10-19C）；带电体电荷量等于元电荷的整数倍

2.库仑定律：F＝kQ1Q2/r2（在真空中）｛F:点电荷间的作用力(N)，k:静电力常量k＝9.0×109N?m2/C2，Q1、Q2:两点电荷的电量(C)，r:两点电荷间的距离(m)，方向在它们的连线上，作用力与反作用力，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引｝

3.电场强度：E＝F/q（定义式、计算式)｛E:电场强度(N/C)，是矢量（电场的叠加原理），q：检验电荷的电量(C)｝

4.真空点（源）电荷形成的电场E＝kQ/r2 ｛r：源电荷到该位置的距离（m），Q：源电荷的电量｝

5.匀强电场的场强E＝UAB/d ｛UAB:AB两点间的电压(V)，d:AB两点在场强方向的距离(m)｝

6.电场力：F＝qE ｛F:电场力(N)，q:受到电场力的电荷的电量(C)，E:电场强度(N/C)｝

7.电势与电势差：UAB＝φA-φB，UAB＝WAB/q＝-ΔEAB/q

8.电场力做功：WAB＝qUAB＝Eqd｛WAB:带电体由A到B时电场力所做的功(J)，q:带电量(C)，UAB:电场中A、B两点间的电势差(V)(电场力做功与路径无关),E:匀强电场强度,d:两点沿场强方向的距离(m)｝

9.电势能：EA＝qφA ｛EA:带电体在A点的电势能(J)，q:电量(C)，φA:A点的电势(V)｝

10.电势能的变化ΔEAB＝EB-EA ｛带电体在电场中从A位置到B位置时电势能的差值｝

11.电场力做功与电势能变化ΔEAB＝-WAB＝-qUAB (电势能的增量等于电场力做功的负值)

12.电容C＝Q/U(定义式,计算式) ｛C:电容(F)，Q:电量(C)，U:电压(两极板电势差)(V)｝

13.平行板电容器的电容C＝εS/4πkd（S:两极板正对面积，d:两极板间的垂直距离，ω：介电常数）

常见电容器〔见第二册P111〕

14.带电粒子在电场中的加速(Vo＝0)：W＝ΔEK或qU＝mVt2/2，Vt＝(2qU/m)1/2

15.带电粒子沿垂直电场方向以速度Vo进入匀强电场时的偏转(不考虑重力作用的情况下) 类平 垂直电场方向:匀速直线运动L＝Vot(在带等量异种电荷的平行极板中：E＝U/d) 抛运动 平行电场方向:初速度为零的匀加速直线运动d＝at2/2，a＝F/m＝qE/m 注:

(1)两个完全相同的带电金属小球接触时,电量分配规律:原带异种电荷的先中和后平分,原带同种电荷的总量平分；

(2)电场线从正电荷出发终止于负电荷,电场线不相交,切线方向为场强方向,电场线密处场强大,顺着电场线电势越来越低,电场线与等势线垂直；

（3）常见电场的电场线分布要求熟记〔见图[第二册P98]；

(4)电场强度（矢量）与电势（标量）均由电场本身决定,而电场力与电势能还与带电体带的电量多少和电荷正负有关；

(5)处于静电平衡导体是个等势体,表面是个等势面,导体外表面附近的电场线垂直于导体表面，导体内部合场强为零,导体内部没有净电荷,净电荷只分布于导体外表面；

(6)电容单位换算：1F＝106μF＝1012PF；

(7）电子伏(eV)是能量的单位,1eV＝1.60×10-19J；

(8)其它相关内容：静电屏蔽〔见第二册P101〕/示波管、示波器及其应用〔见第二册P114〕等势面〔见第二册P105〕。

十一、恒定电流

1.电流强度：I＝q/t｛I:电流强度(A），q:在时间t内通过导体横载面的电量(C），t:时间(s）｝

2.欧姆定律：I＝U/R ｛I:导体电流强度(A)，U:导体两端电压(V)，R:导体阻值(Ω)｝

3.电阻、电阻定律：R＝ρL/S｛ρ:电阻率(Ω?m)，L:导体的长度(m)，S:导体横截面积(m2)｝

4.闭合电路欧姆定律：I＝E/(r+R)或E＝Ir+IR也可以是E＝U内+U外

｛I:电路中的总电流(A)，E:电源电动势(V)，R:外电路电阻(Ω)，r:电源内阻(Ω)｝

5.电功与电功率：W＝UIt，P＝UI｛W:电功(J)，U:电压(V)，I:电流(A)，t:时间(s)，P:电功率(W)｝

6.焦耳定律：Q＝I2Rt｛Q:电热(J)，I:通过导体的电流(A)，R:导体的电阻值(Ω)，t:通电时间(s)｝

7.纯电阻电路中:由于I＝U/R,W＝Q，因三此W＝Q＝UIt＝I2Rt＝U2t/R

8.电源总动率、电源输出功率、电源效率：P总＝IE，P出＝IU，η＝P出/P总｛I:电路总电流(A)，E:电源电动势(V)，U:路端电压(V)，η：电源效率｝

9.电路的串/并联 串联电路(P、U与R成正比) 并联电路(P、I与R成反比) 电阻关系(串同并反) R串＝R1+R2+R3+ 1/R并＝1/R1+1/R2+1/R3+

电流关系 I总＝I1＝I2＝I3 I并＝I1+I2+I3+

电压关系 U总＝U1+U2+U3+ U总＝U1＝U2＝U3

功率分配 P总＝P1+P2+P3+ P总＝P1+P2+P3+

10.欧姆表测电阻

(1)电路组成 (2)测量原理

两表笔短接后,调节Ro使电表指针满偏，得

Ig＝E/(r+Rg+Ro)

接入被测电阻Rx后通过电表的电流为

Ix＝E/(r+Rg+Ro+Rx)＝E/(R中+Rx)

由于Ix与Rx对应，因此可指示被测电阻大小

(3)使用方法:机械调零、选择量程、欧姆调零、测量读数｛注意挡位(倍率)｝、拨off挡。

(4)注意:测量电阻时，要与原电路断开,选择量程使指针在中央附近,每次换挡要重新短接欧姆调零。

11.伏安法测电阻

电流表内接法：

电压表示数：U＝UR+UA

电流表外接法：

电流表示数：I＝IR+IV

Rx的测量值＝U/I＝(UA+UR)/IR＝RA+Rx>R真

Rx的测量值＝U/I＝UR/(IR+IV)＝RVRx/(RV+R)<R真

选用电路条件Rx>>RA [或Rx>(RARV)1/2]

选用电路条件Rx<<RV [或Rx<(RARV)1/2]

12.滑动变阻器在电路中的限流接法与分压接法

限流接法

电压调节范围小,电路简单,功耗小

便于调节电压的选择条件Rp>Rx

电压调节范围大,电路复杂,功耗较大

便于调节电压的选择条件Rp<Rx

注1)单位换算：1A＝103mA＝106μA；1kV＝103V＝106mA；1MΩ＝103kΩ＝106Ω

(2)各种材料的电阻率都随温度的变化而变化,金属电阻率随温度升高而增大；

(3)串联总电阻大于任何一个分电阻,并联总电阻小于任何一个分电阻；

(4)当电源有内阻时,外电路电阻增大时,总电流减小,路端电压增大；

(5)当外电路电阻等于电源电阻时,电源输出功率最大,此时的输出功率为E2/(2r)；

(6)其它相关内容：电阻率与温度的关系半导体及其应用超导及其应用〔见第二册P127〕。

十二、磁场

1.磁感应强度是用来表示磁场的强弱和方向的物理量,是矢量，单位T),1T＝1N/A?m

2.安培力F＝BIL；(注：L⊥B) {B:磁感应强度(T),F:安培力(F),I:电流强度(A),L:导线长度(m)}

3.洛仑兹力f＝qVB(注V⊥B);质谱仪〔见第二册P155〕 ｛f:洛仑兹力(N)，q:带电粒子电量

(C)，V:带电粒子速度(m/s)｝

4.在重力忽略不计(不考虑重力)的情况下,带电粒子进入磁场的运动情况(掌握两种)：

（1）带电粒子沿平行磁场方向进入磁场:不受洛仑兹力的作用,做匀速直线运动V＝V0

(2)带电粒子沿垂直磁场方向进入磁场:做匀速圆周运动,规律如下a)F向＝f洛＝mV2/r＝mω

2r＝mr(2π/T)2＝qVB；r＝mV/qB；T＝2πm/qB；(b)运动周期与圆周运动的半径和线速度无关,洛仑兹力对带电粒子不做功(任何情况下)；(c)解题关键:画轨迹、找圆心、定半径、圆心角（＝二倍弦切角）。

注：

(1)安培力和洛仑兹力的方向均可由左手定则判定，只是洛仑兹力要注意带电粒子的正负；

(2)磁感线的特点及其常见磁场的磁感线分布要掌握〔见图及第二册P144〕；(3)其它相关内容：地磁场/磁电式电表原理〔见第二册P150〕/回旋加速器〔见第二册P156〕/磁性材料 十三、电磁感应

1.[感应电动势的大小计算公式]

1)E＝nΔΦ/Δt（普适公式）｛法拉第电磁感应定律，E：感应电动势(V)，n：感应线圈匝数，ΔΦ/Δt:磁通量的变化率｝

2)E＝BLV垂(切割磁感线运动) ｛L:有效长度(m)｝

3)Em＝nBSω（交流发电机最大的感应电动势）｛Em:感应电动势峰值｝

4)E＝BL2ω/2（导体一端固定以ω旋转切割） ｛ω:角速度(rad/s)，V:速度(m/s)｝

2.磁通量Φ＝BS {Φ:磁通量(Wb),B:匀强磁场的磁感应强度(T),S:正对面积(m2)}

3.感应电动势的正负极可利用感应电流方向判定｛电源内部的电流方向：由负极流向正极｝ *4.自感电动势E自＝nΔΦ/Δt＝LΔI/Δt｛L:自感系数(H)(线圈L有铁芯比无铁芯时要大)，ΔI:变化电流，?t:所用时间，ΔI/Δt:自感电流变化率(变化的快慢)｝

注：(1)感应电流的方向可用楞次定律或右手定则判定，楞次定律应用要点〔见第二册P173〕；

(2)自感电流总是阻碍引起自感电动势的电流的变化；(3)单位换算：1H＝103mH＝106μH。(4)其它相关内容：自感〔见第二册P178〕/日光灯〔见第二册P180〕。

十四、交变电流（正弦式交变电流）

1.电压瞬时值e＝Emsinωt 电流瞬时值i＝Imsinωt；(ω＝2πf)

2.电动势峰值Em＝nBSω＝2BLv 电流峰值(纯电阻电路中)Im＝Em/R总

3.正(余)弦式交变电流有效值：E＝Em/(2)1/2；U＝Um/(2)1/2 ；I＝Im/(2)1/2

4.理想变压器原副线圈中的电压与电流及功率关系

U1/U2＝n1/n2； I1/I2＝n2/n2； P入＝P出

5.在远距离输电中,采用高压输送电能可以减少电能在输电线上的损失损′＝(P/U)2R；（P损′:输电线上损失的功率，P:输送电能的总功率，U:输送电压，R:输电线电阻）〔见第二册P198〕；

6.公式1、2、3、4中物理量及单位：ω:角频率(rad/s)；t:时间(s)；n:线圈匝数；B:磁感强度(T)；

S:线圈的面积(m2)；U输出)电压(V)；I:电流强度(A)；P:功率(W)。

注:

(1)交变电流的变化频率与发电机中线圈的转动的频率相同即:ω电＝ω线，f电＝f线；

(2)发电机中,线圈在中性面位置磁通量最大,感应电动势为零,过中性面电流方向就改变；

(3)有效值是根据电流热效应定义的,没有特别说明的交流数值都指有效值；

(4)理想变压器的匝数比一定时,输出电压由输入电压决定,输入电流由输出电流决定，输入功率等于输出功率,当负载的消耗的功率增大时输入功率也增大，即P出决定P入；

(5)其它相关内容：正弦交流电图象〔见第二册P190〕/电阻、电感和电容对交变电流的作用〔见第二册P193〕。

普适式） ｛U：电压（V），I:电流(A)，t:通电时间(s)｝