八年级下册勾股定理知识点和典型例习题

一、基础知识点：

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么

２.勾股定理的证明

　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：，，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　大正方形面积为      所以

方法三：，，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题

５.勾股定理的逆定理

　如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边

　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。

②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边

　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

６.勾股数

　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等

③用含字母的代数式表示组勾股数：

　（为正整数）；  （为正整数）；

（，为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８.勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

二、经典例题精讲

题型一：直接考查勾股定理

例１.在中，．

　⑴已知，．求的长

⑵已知，，求的长分析：直接应用勾股定理

解：⑴        ⑵

题型二：利用勾股定理测量长度

例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

根据勾股定理AC²+BC²=AB², 即AC²+9²=15²,所以AC²=144,所以AC=12.

例题2  如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

标准解题步骤如下（仅供参考）：

解：如图2，根据勾股定理，AC²+CD²=AD²

设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5

x²+1.5²=（ x+0.5）²     解之得x=2.          故水深为2米.

题型三：勾股定理和逆定理并用

例题3  如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。 详细解题步骤如下：

解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a

在Rt△CDE中，DE²=CD²+CE²=(4a)²+(2 a)²=20 a²

同理EF²=5a², DF²=25a²    在△DEF中，EF²+ DE²=5a²+ 20a²=25a²=DF²

∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

题型四：利用勾股定理求线段长度

例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。

解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF

∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE

设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x

在Rt△ABF中由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即8²+BF²=10²，

∴BF=6cm    ∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)

在Rt△ECF中由勾股定理可得：

EF²=CE²+CF²，即(8－x) ²=x²+4²   ∴64－16x+x²=2+16  ∴x=3(cm),即CE=3 cm

注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直

例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得

AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。

①如果MN=15,则AM²+AN²=MN²,所以AD边与AB边垂直；

②如果MN=a≠15,则9²+12²=81+144=225, a²≠225,即9²+12²≠ a²，所以∠A不是直角。

例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,

BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。

题型六：关于翻折问题

如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

三、勾股定理练习题

（一）、选择题

1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（       ）

A：4，5，6          B：1，1，       C：6，8，11       D：5，12，23

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为(     )  A：26   B：18   C：20  D：21

3、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为(     )A：3  B：4  C：5  D：

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为(    ) A：5  B：  C：      D：

         5、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

           A、24cm²         B、36cm²        C、48cm²        D、60cm²

         6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（    ）A、6  B、7  C、8  D、9

7、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，

将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE

的面积为（  　） A、3cm² B、4cm²   C、6cm² D、12cm²

8、若△ABC中，，高AD=12,则BC的长为

  A、14    B、4    C、14或4 D、  以上都不对

         9、 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （   ）

         （A）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形  (D)以上答案都不对

10、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高是（    ）A、 17        B、14     C 、16      D、1 5 

（二）、填空题

1、若一个三角形的三边满足，则这个三角形是           。

2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，

则这个桌面         。（填“合格”或“不合格” ）

3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。

4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，

其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为            。

5、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,

已知CE=3,AB=8,则BF=___________。

6、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，

设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是________________。               第6题图

（三）、解答题

1、已知△ABC的三边分别为k²－1，2k，k²+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.（9分）如图，在

2、如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，

且∠ABC＝90⁰，求四边形ABCD的面积。

（2题图）

                                                                            

 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8，            

 求AB、CD的长

（3题图）

                                                                                （ 4题图 ）

                                                                                  

4．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？

                                                                           

                                                                                 

5．如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间

的距离为d(已知d²=400000m²)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。

问最小是多少？

（5题图）

                                                                  

                                                                 

 

参考答案：

（一）１、Ｂ　２、Ｃ　３、Ｃ　４、Ｃ　５、　A  ６、Ｃ　７、Ｃ　８、Ｃ  9、A  10 、D

（二）１、直角三角形　　２、合格　　３、　　    ４、２５　　５、 ６　　   6、２≤ｈ≤３

（三）１、提示：证（k²－1）²+（2k）²=（k²+1）²

2、解：连接AC  ∵在Rt△ABC中，ＡＣ^２＝ＡＢ^２＋ＢＣ^２ 　ＡＣ==5cm

　　　∴S△ABC===6cm    在△ACD中，ＡＣ^２+CD^２=25+144=169，DA^２=13²=169，

　　　∴DA^２=ＡＣ^２+CD^２∴△ACD是Rt△    ∴S△ACD===30 cm²

　　　∴S四边形ABCD= S△ABC+ S△ACD=6+30=36 cm²

3、解：在Rt△ABC中，BC=6，AC=8

　　　　　ＡＢ^２＝ＡＣ^２＋ＢＣ^２　ＡＢ＝        ＝  １０   ＣＤ＝＝＝4.8

４、解析:根据勾股定理可求得BF=6cm,所以CF=4cm.设EC=x cm,则EF=DE=(8-x)cm       

  根据勾股定理，得x²+4²=(8-x)²    x=4cm

5、解析:根据勾股定理可求得A、B两个村庄的水平距离是600m, 再根据勾股定理可求得最小值是1000m

 

第二篇：八年级下册第八单元知识点归纳

Unit 8 topic 1

1. 1）so …that …如此…以至于….，that 引导的是结果状语从句，其结构是so +形容词或副词+that 从句。

2）so…that …可以换成such +（a/an）+形容词+名词。

2. would like 作为一个固定结构后接名词，代词，不定式作宾语，也可以用不定式作宾补，表示想要的意思。

1）would like sth. 想要某物；I would like some rice and pork 。我想要一些米饭和猪肉。

2）would like to do sth. 想要做某事。

3）would like sb. to do sth. 想要某人做某事。

Would like = want 想要

1. be 为助动词，made 是及物动词make 的过去分词，of 后接宾语，be made of

的主语通常为成品。Be made from 后的原材料则看不出，be made in 主语是成品，介词in 后为产地，be made into 主语为原材料，介词into 后接成品。 The table is made of wood 。这桌子是由木头制成的。（可以看出原材料） Paper is made from wood 。纸是由木材制成的。（看不出原材料）

The comb is made in hong kong 。这把梳子是香港制造的。

Iron is made into knives 。铁可以制成小刀。

2. afford 常接在can ，could ，be able to 之后，意为担负的起（…的费用，损

失，后果等）；抽的出（时间）。Afford 还有提供，给予，出产的意思。

3. on sale 上市；折价出售，减价出售。

For sale 待售，供出售。

7. （1）though 是从属连词，引导让步状语从句，和连词but 不能连用，但翻译时需译为但是。如：though Australia is very larger ，the population is quite small。虽然澳大利亚面积很大，但是人口却很少。

（2）such as 像，诸如，例如（用于举例）。

Opportunities such as this did not come every day 。这样的机会不是天天都有的。

8. （1）.like 是名词，意为喜好，爱好，反义词为dislike

We all have different like and dislike ，我们各有不同的好恶。

（2）depend on 意为依靠，依赖，随…而定，取决于。

The country depend on its tourist trade 。这个国家主要依靠旅游业。 It/that depends （口语）那得看情况。

Depend on sb./sth. 。依靠某人，信赖某人某事

Depend on sb.to do sth./doing sth.。指望某人做某事。

Depend on = depend upon

9. generally 通常，一般的，一般放在句首。

While 用于对比两件事物，意为然而…

The same …as … 与…一样

10. catch one’s eye 引起某人的注意。

11. it is said that… 据说

12. star doing sth. 开始做某事 star to do sth. 开始去做（另外）某事

Begin doing sth. 开始做某事 Begin to do sth. 开始去做某事

Remember doing sth. 记得做过某事 Remember to do sth. 记得要做某事

Forget doing sth. 忘记做过某事 Forget to do sth. 忘记要做某事

Try doing sth. 试着做某事 Try to do sth. 努力去做某事

Stop doing sth. 停止做某事 Stop to do sth. 停下来去做（另外的）某事

13. protect sb. /sth. From sth. 保护…使免于…

14. （1）keep sb. /sth. +adj. 保持某人或某事怎么样

Please keep the windows open 。请让窗户开着

keep sb. /sth. Doing sth. 让某人持续做某事；让某事持续进行。 I’ll try not to keep you waiting 。我会尽量不让你就等。

（2）keep （on）doing sth. 继续或重复做某事。

I keep forgetting to mail this letter 。我老是忘记寄出这封信。

Keep at 继续做；keep away from 不接近；keep in 抑制，隐瞒；keep from 阻止，克制；

Keep company with 与…在一起；keep in mind 记住；keep in tough with 与...保持联系

Keep up 保持；keep on 继续；keep off 使不接近；keep an eye on 照看，注意； Keep one’s promise 信守诺言；keep one’s temper 不发火；keep peace with 齐头并进。

15.more than +adj. ，不只是；比….更多。

Topic 2

1. make sth.制作某物。

Did you make that dress yourself ？那件衣服是你自己做的吗？

Make 与do 的区别：两者都有“做”的意思。Make 表示做出以前并不存在的事物如：paper is made from wood 。纸是由木材做成的。而do 是强调动作。如:

What are you doing ?你在做什么？

2. allow sb. to do sth. 允许某人做某事。

allow doing sth. 允许做某事。

3. it is +adj. +that 从句。

4. show sth. 展示某物。

Show sb. sth.= show sth. to sb. 把…指给….看，出示。

5. agree with … 同意…；agree to do sth. 同意去做某事；agree that … 同意…

6. stop …from doing sth. 阻止…做某事，相当于keep/prevent…from doing sth.

7. take off 脱下，脱掉，起飞

your socks are very dirty ，please take them off 。你的袜子很脏，请脱下来。 The plane will take off in an hour。飞机将在一个小时后起飞。

8. it is +adj. +that 从句，it 是形式主语，真正的主语是由that 引导的从句。

9. on every occasion 在每一个场合，occasion 为可数名词。

10. dress 给…穿上衣服。Put on 表示穿（戴）上的动作，wear 后接衣、袜、鞋、

帽或手表、眼镜、饰物等；have …on…不能用进行时；be in …接服装、材料、颜色等；in …还可作定语；dress sb /oneself 给别人/自己穿衣服；dressed sb in …给某人穿上…衣服；dress up （sb.）（in…）着装，打扮，可分开用。

11. but 除…之外，常用于all ，no，nobody，nothing ，anywhere ，what ，

who，where 之后，意为除…外什么也没有。

12. but 和except 的区别：两者用法大体相同，可互换使用，但当介词短语放

在句首或句尾时，通常用except 。 在anybody ，anything ，anywhere 之后，but 的语气比except 强。

13. protect 是及物动词，后可直接跟名词或代词，意为保护，防护。

I will protect your child when he is in danger 。当你的孩子遇到危险时，我会保护他。

14. 比较see sb. doing sth. 看见某人正在做某事.

See sb. do sth. 看见某人做某事了.

如: I saw the boy climbing the wall. 我看见小孩在爬墙.(强调爬墙的情景) I saw the boy climb the wall. 我看见小孩爬墙了.(强调爬墙这件事)

15. write (a litter)to sb. 给某人写信 ;

16. give sb. some advice 给某人一些建议.

17. follow / take sb. ’s advice 听从/采纳某人的意见.

18.tell sb. about /of sth. 告诉某人关于某事.

19.had better do sth. 最好做某事,后面接动词原形.

Had better 后跟省to 的不定式,否定形式had better not do…

20.advice sb. to do sth. 建议某人做某事.

21.in 穿着,戴着. In a dark color 穿着暗色;in warm color 穿着暖色.

22.go well 正常运转,顺利. I hope you will go well. 我希望你一切顺利.

23.it is +adj.+ for sb. +to do sth. 对某人来说做某事是…

It is important for us to learn English well = It is important that we must learn English well . 对我们来说学好英语是重要的.

24. well – known 众所周知,著名的,出名的.相当于famous

For 某人以某种知识,技能或特征出名

25. 人+be famous

As 某人以某种身份出名

For 以某种特产而出名

26. 地方

As 以什么样的产地或地方而出名

Be famous for 后的介词宾语是主语的所属内容; be famous as 后的介词宾语与主语是同位成分.

Topic 3

1. fashion show 时装表演; on show 展出,陈列; for show 供展览的,装门面的,中看不中用的; good show 好,真棒; a show of hands 举手表决.

2. there is / are going to be +… 是一个固定句型,其中be 不能用其他动词代替.

3. here ,there 引导的倒装句只是主谓语序倒装,而there be 表示存在有

There goes the man .那人走了.

There is a man standing over there .有一个人站在那儿.

4. 形容词作定语与介词短语作定语的区别:

An interesting book 一本有趣的书(形容词修饰名词)

A book on the desk 桌子上的一本书(介词短语修饰名词)

5. a traditional dress 传统服装; traditional Chinese medicine 中医; traditional music 传统音乐.

6. another 作形容词时,意为 又一个,再一个,其结构为:

Another +单数名词

Another +数词+复数名词= 数词+more +复数名词

7. be full of 充满….的,相当于be filled with .；fill …with 把…装满。

8. stand for 代表，象征。

9.get its name 得名。

10.not only …but also … 不但… 而且…，通常连接两个对等成分，可以连接名词、动词、介词短语等。

11.design …as… 把…设计成….

12.in the past 在过去，相当于in the old days

13.around the world 全世界，相当于all over the world 。

14.at one time 曾经，一度，相当于at a time 。

15.hardly 几乎不，表示否定概念，相当于almost not

16.except 指从整体中除去一个或一部分，除去的人或物不在整体内。

Besides 指在具体的整体外加上一个或一部分，意为：除…之外，还有…. But 和except 都可以表示除…之外，都表示从整体中除去部分，常可以换用，但except 所含除外语气较强。but 着重在整体，常用在no，all，nobody，where，who等词后。