数学圆锥曲线总结
1、圆锥曲线的两个定义:
(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于
距离的差的绝对值等于常数对值”与时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝<|FF|不可忽视。若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
Attention:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1) 椭圆(以②焦点:两个焦点中心(0,0),四个顶点()为例):①范围:;③对称性:两条对称轴;,一个对称,其中长轴长为2,短轴长为2;
④准线:两条准线;
⑤离心率:
,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。
(2) (2)双曲线(以()为例):①范围:
;③对称性:两条对称轴或,;②焦点:两个焦点
一个对称中心(0,0
),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为曲线
;④准线:两条准线,等轴双曲线; ⑤离心率:,双
,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:
(3) 抛物线(以
。 为例):①范围:;②焦点:一个焦点对称轴,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条,没有对称中心,只有一个顶点(0,0
);④准线:一条准线
; ⑤离心率:
,抛物线。
5
、点
和椭圆()的关系:(1
)点在
椭圆外;(2)点
在椭圆上=1;(3)点
在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1) 相交:直线与椭圆相交;
直线与双曲线相交,但直线与
双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双
是直线与双曲线相交的充分条件,但曲线相交且只有一个交点,故
不是必要条件;
有直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一
也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 个交点,故
Attention:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;
(2) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和
一条平行于对称轴的直线。
7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的
第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点
到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,
则在椭圆中,
①
=,且
当
即为短轴端点时
,最大
为
=;②
,当即
为短轴端点时,的最
大值为bc;对于双曲线
的焦点三角形有:①
;②
。
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
10、弦长公式:若直线
B的横坐标,则=
与圆锥曲线相交于两点A、B,且,若分别为A、=分别为A、B
的纵坐标,则
,若弦AB所在直线方程设为,则=。
特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率
k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。 Attention:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关! 弦长、对称问题时,务必别忘了检验
12.重要结论:
(1)双曲线的渐近线方程为;
(2)
以为渐近线(即与双
曲线共渐近线)的双曲线
方程为为参数,≠0)。
如与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(
答:
)
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物
线的焦点弦为AB
,,则①;②
(7)若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
圆锥曲线
1.定义和方程
(1)椭圆:()表示焦点在轴上;
()表示焦点在轴上.
(2)双曲线:(,)表示焦点在轴上;
(,)表示焦点在轴上.
(3)抛物线:(焦点在轴上),(焦点在轴上)
2.几何性质
(1)离心率:
(2)通径:过焦点作与焦点所在坐标轴垂直的直线与曲线两个交点的距离
(3)焦点三角形:椭圆(或双曲线)上一点与两焦点形成的三角形,记
(4)渐近线:(,)的渐近线方程为
与具有相同渐近线的双曲线方程:
等轴双曲线:实轴与虚轴长相等,,离心率
共轭双曲线:实虚对调,的共轭双曲线是
(5)抛物线的焦半径:
①,
②,
(6)弦中点问题(点差法)
直线与()交于,两点,的中点为,则
直线与(,)交于,两点,的中点为,则
直线与交于,两点,的中点为,则
(7)弦长公式
或
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