椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结
一、 椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的定义:我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨
迹叫做椭圆。符号语言:
将定义中的常数记为,则:①.当时,点的轨迹是 椭圆
②.当时,点的轨迹是 线段 ③.当时,点的轨迹 不存在
焦点位置不确定的椭圆方程可设为:
与椭圆共焦点的椭圆系方程可设为:
二、 双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线的定义:我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数
的点的轨迹叫做双曲线。符号语言:
将定义中的常数记为,则:①.当时,点的轨迹是 双曲线
②.当时,点的轨迹是 两条射线 ③.当时,点的轨迹 不存在
焦点位置不确定的双曲线方程可设为:
与双曲线共焦点的双曲线系方程可设为:
与双曲线共渐近线的双曲线系方程可设为:
三、 抛物线的标准方程及其几何性质
抛物线的定义:我们把平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)距离相等
的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线。
直线与抛物线相交于,且直线过抛物线的焦点,则过焦点的弦长公式:
直线与椭圆(或与双曲线、抛物线)相交于,则椭圆(或双曲线、抛物线)的弦长公式:
椭圆知识点
【知识点1】椭圆的概念:
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
当动点设为M时,椭圆即为点集
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形。
【知识点2】椭圆的标准方程
焦点在x轴上椭圆的标准方程: ,焦点坐标为(c,0),(-c,0)
焦点在y轴上的椭圆的标准方程为:焦点坐标为(0,c,)(o,-c)
【知识点3】椭圆的几何性质:
规律:
(1)椭圆焦点位置与x2,y2系数间的关系:焦点在分母大的那个轴上.
(2)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最小距离为a-c.
(3)在椭圆中,离心率
(4)椭圆的离心率e越接近1椭圆越扁;e越接近于0,椭圆就接近于圆;
(5)离心率公式:在中,,,
二、椭圆其他结论
1、若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是
若已知切线斜率K,切线方程为
2、若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是
3、椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5、过焦点的弦中,通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短
6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF。
7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,
即。
8、若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是
9、若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
10、若P为短轴顶点,则最大
【知识点4】椭圆中的焦点三角形:
定 义:∣PF1∣+∣PF2∣=2a ∣F1F2∣=2c
余弦定理:∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ(∠F1PF2=θ)
面积公式:在椭圆(>>0)中,焦点分别为、,点P是椭圆上任意一点,
,则
【知识点5】点(x0,y0)与椭圆(a>b>0)的位置关系:
点P在椭圆上
点P在椭圆内部 点P在椭圆外部
【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断:
① 直线斜率存在时
直线与椭圆相交 直线与椭圆相切 直线与椭圆相离
② 直线斜率不存在时判断y有几个解
例1. 已知:椭圆与直线交于、两点,、中点为,求直线的方程
(点差法:)
例2. 求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程 ()
设:所求椭圆方程为
例3. 求过点且与椭圆有相同离心率的椭圆方程 (、)
设:所求椭圆方程为
例4. 已知椭圆的离心率,求的值 (、)
例5. 若椭圆上存在、两点,关于直线 ,对称。求的取值范围。
双曲线知识点
【知识点1】双曲线的概念:
在平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
当动点设为M时,椭圆即为点集
注意:若,则动点的轨迹为两条射线;
若,则动点的轨迹无图形。
【知识点2】双曲线的标准方程
焦点在x轴上双曲线的标准方程: ,焦点坐标为(c,0),(-c,0)
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为:焦点坐标为(0,c,)(o,-c)
【知识点3】双曲线的几何性质
规律:
1.双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e=?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
2.区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a,b,c关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
(2)双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈(0,1).
(3)在双曲线中,离心率
(4)双曲线的离心率e越大,开口越阔.
【知识点4】双曲线中的焦点三角形:
定 义:∣PF1∣-∣PF2∣=±2a ∣F1F2∣=2c
余弦定理:∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ(∠F1PF2=θ)
面积公式:在双曲线(>>0)中,焦点分别为、,点P是双曲线上任意一点,
,则
【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断:
设直线,双曲线联立解得
(1)若即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
(2)若即时,
①直线与双曲线相交,有两个交点;
②直线与双曲线相切,有一个交点;
③直线与双曲线相离,无交点;
【知识点6】弦长公式:
│AB│=,
(其中k为直线斜率)
【知识点7】中点弦问题(点差法):遇到弦中点,两式减一减。若要求弦长,韦达来帮忙。
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