第二章 2.4 抛物线

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1. 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

，消y得：

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

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2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y?kx?b 抛物线

① 联立方程法：

?y?kx?b222

?kx?2(kb?p)x?b?0 ?2

?y?2px

，(p?0)

设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出

y1?y2?kx1?b?kx2?b?k(x1?x2)?2b

y1y2?(kx1?b)(kx2?b)?kx1x2?kb(x1?x2)?b

2

2

，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦长

AB??k2x1?x2??k2(x1?x2)2?4x1x2??k2

1k

2

?a

2

?

或 AB??

y1?y2?

1?

1k

2

(y1?y2)?4y1y2?

2

?k

a

b. 中点M(x0,y0), x0?

② 点差法：

x1?x2

2

， y0?

y1?y2

2

设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

y1?2px1 y2?2px2

2

2

将两式相减，可得

(y1?y2)(y1?y2)?2p(x1?x2)

y1?y2x1?x2

?

2py1?y2

2py1?y2

a. 在涉及斜率问题时，kAB?

AB

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段

y1?y2x1?x2

?

2py1?y2

?2p2y0

?py0

的中点为M(x0,y0)，

，

即kAB?

py0

，

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同理，对于抛物线x2?2py(p?0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点

M(x0,y0)是弦AB

的中点，则有kAB?

x1?x22p

?

2x02p

?

x0p

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

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第二篇：抛物线知识点归纳总结

 抛物线知识点总结

1. 直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，

      Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；

      Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；

      Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线：   抛物线，

①　联立方程法：

 

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a.  相交弦AB的弦长

   

或 

b. 中点, ，

②　点差法：

设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

               

将两式相减，可得

a.   在涉及斜率问题时，

b.   在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，

   即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）