第一章 函数与极限

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b）。

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

第二章 导数与微分

1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)

存在相等。

2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

第三章 中值定理与导数的应用

1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的函数f（x）在该点的导数等于零：f’（ξ）= 0.

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的等式f（b）-f（a）= f’（ξ）（b-a）成立即f’（ξ）= [f（b）-f（a）]/（b-a）。

3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加；(2)如果在(a，b)内f’(x)<0，那么函数f(x)在[a，b]上单调减少。

如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)当f’’(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f’’(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的；(2)若在(a，b)内f’’(x)<0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凸的。

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别

保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。

在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。 第四章 不定积分

1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。

分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u.

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

第五章 定积分

1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。

3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.推论如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a，b]上除点c(a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。

第六章 定积分的应用

求平面图形的面积(曲线围成的面积)

直角坐标系下(含参数与不含参数)

极坐标系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)

旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)

平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx，其中A(x)为截面面积)

功、水压力、引力

函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

第七章 多元函数微分法及其应用

1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函

数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。 性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行

于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。

4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。

6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。

定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；(2)AC-B2<0时没有极值；(3)AC-B2=0时可能有也可能没有。

7、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。

(2)对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶偏导数的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f(x0，y0)是否是极大值、极小值。

注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。

第八章 二重积分

1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积(A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)

平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x=1/A∫∫xdσ，y=1/A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。 平面薄片的转动惯量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)为在点(x，y)处的密度。 平面薄片对质点的引力(FxFyFz)

2、二重积分存在的条件当f(x，y)在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f(x，y)在D上的二重积分必定存在。

3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，则有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性质设M，m分别是f(x，y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。

性质(二重积分的中值定理)设函数f(x，y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函数中的x，y分别换成ycosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxd

 

第二篇：考研高手总结

姓名：戴震宇

考研成绩：总分447分，数学147分，政治81分，英语82分，专业课137分

本科院校：华中科技大学机械科学与工程学院机械设计制造及其自动化

报考院校：清华大学精密仪器与机械学系

20xx年研究生考试过去了，我成为这次考试中的一个幸运儿；回想过去大半年时间，无限感慨。半年来，我过着苦行僧式的生活，每天早出晚归，脑海里思考最多的就是学习，我很惊奇：在过了3年猪一般懒散的生活后，我还能重新拾起高中所拥有的那种勇气和决心为着更高的目标艰苦奋斗。时常和朋友谈起这些，我都感觉十分诧异；说实话，现在想起过去半年的生活，确实是比较苦的，不过当时并没有觉得，因为当时根本就不会考虑到这些。

初次踏上考研之路的你们，也许会觉得自己是在黑暗中摸索。但当你胜利到达成功的彼岸，回过头去，身后的路已是阳光灿烂——我曾这样走过。所以，我希望我的经验和教训能够让你们不再迷茫，能够在你们的身上体现出更光辉的价值！

在全面介绍我的考研历程之前，首先，我想和大家共同探讨几个问题：

1.为什么考研？

2.考研到底有多大价值？

3.什么样的人可以考上研？

4.考什么学校，什么专业？

第一个问题，在大三的时候我们就开始考虑毕业出路——读研，工作，出国。对于出国，我想如果没有经济实力的话，很少有人会考虑。读研成为了我们大多数人的选择，因为本科生实在是不好找工作，而且待遇差，不过也有些专业比较好就业，比如我们专业，所以我们班很多人都工作了，应该说是很大一部分。当然我不否认还是有人能找到比较好的工作，但是你们看看这又有多大比例呢？寥寥无几。所以我相信考研是改变人生命运的一次不可错过的机会。

当时为什么不想工作？一则我觉得我自己掌握的知识实在是太少了，根本没有出去工作的心理准备，二则希望考个更好的学校提升一下自己；此外，据我了解(在成绩出来之前我曾经去找过工作，华为等公司)，本科生出去所找的工作在条件，待遇等等方面上都与我的理想相差太远，首先是那个工作是枯燥的，乏味的，绝对不是你们所想象的那么好，其次待遇，我去面试一个大连高金数控公司，现在是私营企业，他说他们只能给一个本科生20xx元一个月，不知道大家听到这个数字有什么想法，说实话——真寒心啊，我们寒窗苦读，读了这么多年出来不过是一个农民工的工资，那还不如不读，大家看看现在CPI多高啊，更别提那个房价了，要是这样，我们恐怕只能靠父母了。好多工作过的人都回头来考研，一个原因就在于与期望值的差距，其实出去后再回来考是很难的，一则心很难收回来，二则很多东西都忘光了，需要从头再来，三则工作经验在复试的时候是很不受重视的，相反，应届生则很受青睐。

关于第二个问题，说到考研有多大价值。

我给大家列举一个我们华工机械的例子，我们班本科生如果是沿海大概3000-4000一个月，内陆譬如说南京可能不到3000，当然了，这个不绝对，但是在我们学校读两年研后研究生平均工资6000，可能还会更高。所以说基本上再读两年身价会翻倍，当然了，如果考个更好的学校待遇肯定还会高。不管你读书的动机有多么纯洁，这都是无可回避的现实问题。

那么，什么样的人可以考上研究生呢？

我考上后，很多学弟学妹问我平时是不是很优秀，我略带惭愧地说，我的平时成绩很差，加权成绩排名年级近200名，微积分成绩也很一般，91，79，线代60，差点不及格，平时也没有参加过什么比赛，发表过什么论文，所以我觉得我的大学过得很平淡，我并不优秀。 但是，我上进，我想通过考研来改变命运。还有人问我英语基础差，六级都没过，能考上吗？我觉得这个并没有多大参考价值，因为考研英语与四、六级英语出题的思路完全不一样，所以大家都不必担心，只要大家有这个恒心和毅力，都会有考上的可能性。

最后一点，就是目标了。

现在大家应该是很迷茫的，对于什么专业什么学校都是一片茫然，如果大家对于没有信息感到焦虑的话，可以去找学长了解信息，也不妨考虑去辅导班咨询一下这方面的信息，因为我自身报过辅导班，我知道辅导班在这方面的信息是比较全的。其实，那个时候我跟你们一样。首先是学校，我觉得要报就报个比较好的学校，如果考差的学校的研究生，那还不如不考，没有价值，大家适当可以调高一下自己的目标，也给自己一个比较大的动力，毕竟“人都往高处走”。当时我很快就决定报考清华，开始我家里人是不支持的，他们都觉得我太过于自信了，但是我觉得我想试试，因为这是我的理想，而且这个是我自己的决定。至于专业，我是向比我高一届的师兄了解并充分利用网络查阅，然后选择了自己感兴趣的专业方向。对于大家选择专业方向，我个人建议，不要一味盲目跨专业，因为这个难度是很大的，且不说你初试能不能过，复试都是一个很大的槛，所以大家如果不是很讨厌自己的专业就不要跨度太大。对于那些非要跨专业跨校的同学，我得提醒你们：必须准备得特别充分。大三下学期一开始我就已经下定决心报考清华大学，当时对于专业没有什么了解，也就

没有考虑专业的问题。至于说为什么要选择清华，原因很简单——我的大学生活太乏味了，希望能通过考清华来给我的大学生活留下点回忆。“人生能有几回博”啊！

所以基于以上原因，我于4月份下定决心报考清华精密机械专业。

之后，我就着手准备考研。

一 、考研历程

1 、基本准备(五六月份)

大三下学期还是比较忙的，课程非常紧。我是“忙里偷闲”硬是每天学习到教室关门，一方面是为了完成这两个月的计划(完成高等数学即微积分的初步学习，因为我个人觉得微积分已经忘光了)，另一方面是为了使自己逐渐适应考研所要经历的生活。不过，基本上我只是学习高数一两个小时。同时，我还按照师兄给我介绍的几本参考资料，买了相关书籍。应该说这两个月的任务我基本上完成了，我把数学高数部分看完了，课后习题也全部自己搞定。在我7月份去实习前，我心里还是比较满意的。

7月x日实习回来，我就在学校修整了几天，大约24号搬出去住了。此后，我就制定了严格的长期规划以及短期(一个月、一个星期还有每天的时间安排)计划。我把这些计划贴在墙上，时刻提醒自己不要懒惰。

2、基础复习(七月底至十月中旬)

这段时间我分成两个段落——七月底到八月底，九月初到十月初。第一阶段，只学习数学剩下的线代和概率以及英语阅读和单词；第二阶段，开始专业课的复习，并开始数学的全面复习，开始做李永乐版复习全书，基本上是隔天换重点的(就是一天着重数学一天着重专业)，英语跟第一阶段差不多，还是每天4篇阅读或者若干单元单词。

第一阶段：这段时间考研复习的人应该还是比较多的。我按照自己的计划每天基本上6：30起床，7：00到教室，然后读一段时间的英语，中午11:30回去休息，下午2：30到教室，5：15去食堂，6：00左右回教室学习，晚上10：00(当时暑假期间10：00锁门)回家休息，有时候晚上还去西门外转半个小时。那段时间我感觉自己的效率是非常之高的，生活过的也很充实，对那段生活还是很留恋的。这段时间我是没有研友的，我每天都只是一个人学习，不过我不觉得乏味，单调或寂寞。

第二阶段：我的时间安排基本与第一阶段一样，不过就是晚上开始随着学校教室时间安排的改变而改变到10：30下自习了。这段时间里我开始看专业课和李永乐版数学复习全书，我基本上是隔天重点复习这两门。一般是一天早上看完专业课一个章节，下午看看数学，晚上一直在学英语以及这天没有完成的工作(主要是做题)，然后第二天就是上下午的任务和前一天颠倒过来——我个人觉得太过单一的学习时间安排以及一整天的看同一门课不利于效率的提高。

我个人认为这两个月或者说两个半月是十分关键的一个阶段，因为这是你打基础的阶段，系统的基础复习是十分关键的；天才是很少的，要把自己始终当作一个初学者来对待，认认真真、扎扎实实地进行全面的、系统的基础复习。

3、考研中期(十月中旬至十一月底)

据说，到了十月份就有好多人进入疲惫期，有的甚至开始放弃考研，他们声称受不了猪狗不如的考研生活。这段时间我仍然是十分亢奋的，斗志仍然很高涨。不过我所要提到的是我没有做到时间安排还像从前那样，不过我确实是争取到了每天8：00或者8：30之前赶去教室，因为这个阶段天气十分阴冷，我实在是睡意连绵，无法抗拒。

十一期间我上了一个政治辅导班(上课之前我曾经把红宝书看了一遍)，十月底我又把红宝书看了一遍(现在想起来，我觉得政治开始得有点过早，时间也花得太多了)，不过在这个阶段(十月份)，政治不是我的重点。

经过前几个月的复习，我对数学应该来说还是理解得比较多了，所以我开始做题，最开始我做的是400题(很经典)，一天一套，很快就做完了，然后就又买了很多题，基本上一天一套，我是基本按照考试的时间要求做的，感觉良好，虽然分数肯定都不高，不过能够学到新东西我就很满意了，那段时间我没有在意分数的多少，我只在意知识；事实上，我们也不能在那个阶段就开始注重分数。

专业课我也开始做考试试题了，感觉考的东西与书本差异很大，感觉有点不爽，并且加上前一阶段不会做的课后习题或者看不懂答案的习题，我有些犯难了，有时候甚至有种不想搞专业课了的想法；不过最终还是理智克服了冲动，我硬是迎难而上，把那些问题解决了一些，那时候太有成就感了——这可是我独立思考解决的啊！不过还是有些问题没有弄明白，或者有些问题我觉得课后答案错了就没有管了(实际上后来我才发现那些都是我自己理解错了——答案一般不会错的)。对于专业课，我必须得说，要反反复复地看，即使你看了5遍还是看不懂，不要紧，继续看，看得多了，做得多了，你就会明白，那时候，你或许能够体会得到“柳暗花明又一村”的意境。

英语：在这个阶段，最让我犯难的就是英语阅读了，我是始终在找一些合适的资料来做；说实话，我觉得市面上并没有多少合适的资料。最开始，我听说张锦芯的不错，我买了套她的资料，做了一段时间感觉还不错好。不过现在想起来，觉得英语作为一门语言，对语言的掌握语感很重要，只要天天做，培养语感，一步步地来，掌握起来就不会那么吃力了。

政治这时候已经开始做题了，我个人觉得政治资料不在多，只要适当的辅导教材，一本红宝书一本习题还有真题以及适量的好的模拟题

就OK了。这段时间(十一月)我把政治摆在了比较重要的位置，每天早晨我都做完习题后仔细在书上核对答案，其实做题的过程就是为了熟悉红宝书。通过这个阶段的扎实的复习，我对红宝书不仅有了全盘的把握，而且也对其内容有了较深的理解，尤其是马哲和马政经部分。也就是在这个阶段，我对政治产生了浓厚的兴趣。

4、考研后期(十二月至20xx年x月中旬)

这段时间的正常度过对于考试的正常发挥是非常重要的，因为前段时间高强度的复习已经基本为自己打下了良好的基础，所以这段时间我们的任务就是保持良好的心理状态，不要过多担心，(虽然这是不可避免的，但是必须得克制在一定程度以内，其实每个人都在担心，尽管可能嘴上说没有什么可担心的)，仍然正常作息(当然可以把这个阶段的计划定的稍微宽松些)，温习一下以前所学的东西，查漏补缺；特别要指出的就是，个人认为这个阶段的复习的重点应该是政治和英语，其中政治应该注意时事政治，英语应以英语作文为最最最重要的，可以试着去写一些作文(即使不愿意也得去尝试，不管写出来的东西有多烂)，数学和专业课可以去做一下最接近真题题型和难度的模拟题或者最近的真题(真题很宝贵，要好好珍惜，尤其是专业课)。不过，这个阶段不要做太多的模拟题，因为有的模拟题出的很烂，不要让低分打击你的自信，尤其是在1月份以后。

在12月份当中，我又仔仔细细地把政治红宝书看了一遍，买了一套真题做了做，我是严格按照考试要求做的，连问答题我都是拿一张文稿纸一题一题写下来的，没有丝毫马虎，做完后我就对着参考答案寻找答题方法并总结得失；如今想来，感觉自己做得确实不错。 大约12月底我开始复习时事政治，由于20xx年有十七大召开，毫无疑问，十七大对于我们这一年考试应该是重中之重，所以重点是很清楚的，十七大召开期间我就买了长江日报中有十七大报告的那张报纸，然后逐字逐句仔细研读，我前前后后阅读此文约10遍或者更多，后来上考场做题时很高兴轻轻松松地做完了时事政治选择题(现在想来，我觉得时事政治上花的时间也太多，假如你觉得时间不够，不要学我，因为当时我感觉时间还是比较充裕的)。

所以，在此我要强调的是，政治要注意把握重点，特别是临考前一个星期。在最后半个月，我多方面和研友接触，掌握各方面的不知道准确不准确的信息。临考前一个星期，我和我的一个研友2个晚上把红宝书梳理了一遍，把可能要考的大题背了几个，结果考试时候竟然遇到了2个大题是我所背过的，其喜悦之情是不言而喻的。我觉得在最后一个星期去押大题去背大题是很重要的，那些小道消息所透露的大题不妨去背一些，就当是梳理一下知识点，不过万不可太过于当真。

关于英语，要特别提一点，很多人都说作文是非常重要的。其实作文部分得高分的方法，我觉得，应该在于平时的阅读——用心的阅读。我从大约九月或者八月份时候开始，基本上是每天早晨坚持晨读一两个小时，在最后一段时期，由于英语和政治重点的突出，有时候我一个早上读三个小时以上，一般读多长时间是根据个人的心情来定的，心情好的时候，读完一个早上还想读，一切视兴趣而决定，没有太严格的计划。

最后一个月我开始从写小作文到写大作文，由于我在平时积累了很多有用的句子，这个时候写起来就很得心应手，信手拈来，写完之后，反复阅读，多次修改。可能会有人问平时阅读怎样对作文起作用？我想这是因为，平时阅读时，当我遇到比较好的句子我就把它记在一个笔记本上，然后每天早晨朗诵，一天一天过去之后就非常熟悉并且可以自己运用了。

如果大家不想在作文上花太多时间或者感觉在最后一个时期时间紧迫的话，也不妨去上一个作文班，背几个模板，上课老师发的材料上有很多有用的词语和句子，对于考研英语应该是足够了。对于说“得阅读者得天下”的说法，我是比较赞同的，不过由于之前我们长时间的锻炼，应该说阅读方面已经问题不大了，但是这个阶段仍然要注意训练自己的阅读，在这个时候为了提高士气，我又买了本比较简单的也比较贴近真题题型和难度的阅读，又做了一遍，感觉很爽。

关于数学，我觉得再温习一下课本是很重要的，不过我这个人不大喜欢反复看书，所以我选择了看一天数学做一天题。这个时候即使到了考前一个星期，我还是从网上下了合肥工业大学的5套题，感觉也很好的，不过我只做了2套。在最后一个月，我把李永乐版复习全书，又大体浏览了一遍。总的来讲，参考资料关键是要精，没必要把别人推荐的东西你都搞完心里才踏实，完全没必要。

对于专业课，我个人认为要再把专业书进一步搞懂搞透搞熟，实际上我每看完一遍专业课课本，都感觉又有些新的收获。在最后一个月里，我又把课后习题做了一遍，这次我和另外一个同学一起讨论，把我们不懂的或者不大会做的或者感觉答案有误的统统搞定了，那段时间我特别高兴，尤其是我们一起把最难的一章搞懂的时候。

其实这段时间也是我最难熬的时候，因为这个阶段的学习任务不是很重，但又感觉很重，看到别人在努力学习而自己在玩时，有时候心里确实心虚。这个时候我就经常和朋友打电话，寻求心理安慰，我也经常和我的研友去逛家乐福和大洋，也经常去商店买东西(主要是咖啡)。反正最后一段时间貌似过得很轻松，实际上心里比任何时候都累，都要害怕(这个阶段，以前那种每天都很充实的感觉消失了)。

二、功课安排

1、数学

在所考试的几门课中，数学的分量是很重的，必须给与高度的重视，而它的内容很多，所以要耐心去学，用心去学。关于方法，我就不

赘述了。

下面介绍一下我所选用的参考资料。

(1)课本

高等数学 选用同济版教材

线性代数 选用清华版(黄皮)，包括配套的教辅(这本书也许别人推荐同济版，但是我觉得这个版本非常好)

概率论与数理统计 选用浙大版

(2)参考资料

A、李永乐版复习全书(这个版本上届一个考上清华的师兄推荐，所以我选用了，我觉得很好，今年最后一道题就是李版书上的原题)

B、400题(这本书最好做2遍，10月份一遍，12月份一遍)

C、数学真题

D、合工大5套题

所要提醒的是，参考资料要选最适合自己的，必须在合理安排学习时间的情况下选择性地做题。

2、专业课

控制工程基础(清华版课本，紫皮书)

最近xx年真题(这个我有几乎全套，大家如果想要，可以来找我。)

课件(我也可以帮大家弄到。)

另外，由于控工这科考试计算十分烦琐，推荐使用计算器，我用的是卡西欧fx-991ES,可以求超越方程，二三次方程，矩阵计算，其他的功能我认为对于我们来说没有太大作用。因为计算器的关系，我节省了大量的计算时间，结果我专业课考试提前近半个小时就做完了。这种计算器可以在洪山亚贸买到，标价180元。

3、英语

英语考试有5个板块：完型填空，阅读四篇，一道题型可变的新题型(今年比阅读难，去年比阅读简单，得看题型)，翻译，大小作文。完型就不用说了，给予一般重视即可，阅读和作文要给予高度的重视，翻译只要在平时做一下题目就可以了，还要看看资料，对于新题型也要重视一下，也就是做模拟题时训练一下。我想对于阅读每个人都会最重视，不过对于作文还是要在平时就做个有心人，对于作文我推荐平时多读一下好的英文原著，然后把那些比较触动自己的短语和句子记在一个笔记本上，然后晨读时多读一下，这样你就可以掌握大量的词汇和短语，很管用的。还有，也是最重要的，就是要想方设法增加词汇量，要不间断地看单词。

个人觉得我对英语各部分重点的把握还是比较合理的，通过这种方法，今年我的英语考试成绩过了80分，还是比较满意的。 推荐资料：

A、词汇书(选择适合自己的词汇书，在复习的过程中，要把认为比较重要的单词和句子从头到尾抄1-2遍，看不下10遍，最后应该说从中学习了不少短语和句子，对于每个单词基本上都能认识，我觉得做到能够认得每个单词就很OK了，也没有什么非要看多少多少遍不可)

B、NEW CONCEPT 3，4 即新概念

C、NEW HORIZON 即我们所用的英语教材(这两套书是我用来平时读的，我觉得上面有些文章写的好，就背了好多好多句子，很适合于写作文)

D、张锦芯阅读(这本资料推荐做2遍，我认为只有这本资料最贴近真题难度，八九月份一遍，十二月份一遍)及模拟考场15套 E、十年真题

就这些我想就OK了，还是前面强调的，要根据自己的英语基础，选择最适合自己的复习资料。

4 政治

政治开始可以11月份(我算是比较早的了，不过好像也没什么必要那么早，但是可以在这之前听听辅导班，让自己对政治有个宏观的把握，好让自己不要为政治的无知以及考试的临近感到忧心)。政治资料很少，红宝书是根本。

我所用过的参考资料：

A、红宝书

B、十年真题

C、模拟题

另外，时事政治除买参考书外还要去看看那些上过政治班的时政资料，当时我还买了十七大报告看了好几遍。

我觉得政治部分这些资料足已，其中红宝书是最根本的。不妨介绍一下，马哲和马政经部分是理解性质的，建议在政治复习前期列为重

点，其余是记忆性质的，可以放在后面重点对待。

另外，似乎听说xx年考研政治是考《中国近现代史纲要》，大家应该要多留心一下！

三、某些问题

1、关于报班：这个问题是个很敏感也很有争议的问题，有人说它浪费钱，可是又有人说这几百块钱相对于考上之后的身价而言是不屑于一提的；有人说它很浪费时间和精力，也有人说上辅导班可以大大压缩复习时间并且轻而易举地获得考试重点……如此等等，不胜枚举。 我个人认为这些都是相对的。如果你认为你自己的基础很好，很显然可以考上，OK，可以不报；如果你觉得自己的基础很差或者你的自制力很差，或者报考目标比较高，我建议还是报一个比较好，实践证明的确可以给你更大的考上可能性。简单而言，辅导班一方面能帮你更准确的把握重点，更快的解决难点。另一方面，因为大家在一起听课，会让你感受那种学习氛围，同时给你一种学习的动力和必要的压力。有句话我觉得还是很有道理的，“再穷不能穷政治”，特别是对于我这种高中就是理科生的工科生来说。其实不管你是文科生还是理科生，只要你觉得自己大学学习政治不认真的话，上一两个政治班还是很必要的。也许上课的时候你会觉得老师讲的内容你都知道，但是我觉得上课关键不是老师所讲的内容你知不知道，而是老师可以帮助你抽出课本的精华以及考试重点。跟着老师抓重点是关键，老师没有强调的你大可不去记。这就是应试教育。当然啦，即使你报了班，也要抓住这样一次难得的机会好好复习，因为如果事先预习还有事后及时复习的话，可以让你更快地掌握知识。

说到考研班的选择，我觉得有这样几个标准：1.钱，2.人，3.还是钱，第一个钱是指这个考研班的资本实力，这个我想对于我们来说还是比较抽象的，因为我们很难了解这方面的信息，那么我们就看它的办公地点在什么地方，是繁华的地方还是比较偏僻的地方，那么第二个人呢，就是指师资，看它的老师出没出过考研题，在什么地方执教，我觉得出过题的老师来讲课应该是很经典的，因为他所讲的内容都是要考的重点，具有很大参考价值。我个人特别喜欢张锦峰老师，他讲的马政经和邓论深入浅出，通俗易懂，很容易让你理解马政经和邓论并且抓住考试重点，最重要的，可以提升你对这两门课的兴趣。第三个钱呢，是指它的收费。

2、关于跨专业：我觉得如果不是特别讨厌自己的本科专业，不要去跨专业。

3、关于搬出去住：其实搬出去只是为了一个更加安静的环境，我当时搬到我哥那里住了，环境很好，非常安静，适合于学习。如果即使搬出去住的话也没有一个好的环境，那还不如不搬。假如自己寝室里都是要考研的，就可以考虑不搬，或者是和同学商量换到另外的都考研的寝室。跟我考一个专业也是考清华的几个同学就是在寝室住的。

4、关于占座：我一直在西十二自习，那里一点都不紧张，所以也没怎么占过座，不过听说东十二是很紧张的，好像说要4点就要起来，我觉得这是件很恐怖的事，不推荐大家这样，因为那样就没有办法复习了。

5 关于大学成绩：这个不用太在意，只要加权过了80就应该没有太大影响(即使没过80也不要太在意)，对于初试根本没有什么影响。只要用心去重新学习，是可以学得比较好的。

四、所要注意的事情

1、首先应该有坚定的决心，一旦决定，就不要轻易改变。

2、要始终保持昂扬的斗志，实际上做到这点是非常不容易的，即便是2个月都是很难的。不过郁闷应该是比较常见的事，只是不要让这郁闷磨灭了决心，要学会自我安慰，时常打电话给自己的朋友寻求慰藉。

3、科学的计划很重要。没有做过计划的人一定要学着去做计划，长期规划和短期规划都要有，每天的计划即使自己没有写在纸上，也要在每天前往自习室的路上弄清楚，不要到了教室都不知道自己要干什么。

4、要定一个符合实际而又比较高的目标，而且不要给自己太大的压力。

5、复习时最忌讳一整天学习一门课，那样学习效率很低。

6、要有一两个研友，但是不宜太多，因为太多了，打扰也就多些。有一两个研友，可以时常谈心，交流信息，这是非常重要的，一个人成功地独自走过那5个月是一件极其困难的事。

7、掌握信息是很重要的。我个人觉得要掌握来自三方面的信息：一是来自考上你所想报的学校和专业方向的学长的信息，这个是最重要的信息，如果你没有，我建议你最好想办法找一个；二是来自网上报考学校的信息；三是要注意和研友交流信息，不要认为人家是你的竞争对手而不与别人分享任何信息，那样别人也会对你进行封锁，结果还是自己吃亏。

8、不要涉及感情方面的问题，考研过程中心灵上经常是非常脆弱的，如果再增加心理负担，恐怕很难以承受。

9、对于英语和政治，不要认为它们只有100分就不给予充分重视。今年的考研结果出来后，我发现自己在数学和专业课方面比别人的分多不了多少甚至还要少一些，可我的政治英语都达到了80多分，这样我的整体成绩也就上来了。

10、要保持身体健康，多做运动，尽量使自己不生病，身体是革命的本钱。

五、复试

初试过了，只是成功了一半。考清华，复试是很重要的，必须给予相当的重视。今年我们专业初试线是398分，基本上达到了清华工科中初试线的最高分(今年该专业扎堆很严重)，参加复试的人基本上来自于各大名校，所以竞争相当激烈。

清华的初试和复试各占总分的50%，最后的分数=初试分(500) 复试分(500)，然后按照最后总分排名次。

复试分为笔试和面试两部分，其中笔试100分，面试400分，孰轻孰重可想而知。对于面试我给予了相当的重视，我按照要求写了份个人自述，又另外写了中英文自我介绍，在清华期间我每天早晨都在读中英文自我介绍。笔试就不详说了，就没做对多少题，就是填得差不多了。第二天早晨面试时，面试的有约8个老师，最开始我就做了一个英文自我介绍，之后他们每个人都问了我问题，不过没有怎么为难我，只是问了一个很简单的专业问题，只要好好看了复试所要求的那几本书就应该可以回答出来，我回答得还行。然后我就说了我所喜欢的方向，在我说的过程中他们都在纸上记着自己所感兴趣的东西。很快25分钟过去了，复试就这样结束了。后来我们一些人交流了一下，我感觉清华的老师对于考生背景还有大学所做过的项目以及所组织的活动特别感兴趣，所以建议大学期间参加过科技比赛，主办过活动，担任过学生干部的同学(即使你的加权成绩不好)可以考虑去考那里，因为你是很占优势的。

后来结果出来，我复试成绩也是第一名。

最后，送给大家几句话：既然选择了远方，就应该风雨兼程！

要学会在黑暗中寻找光明！

长时间学习是一件比较枯燥的事情，要学会在这个过程中去寻找学习的快乐。

末了，还要强调一下，由于每个人的基础是不一样的，所以适合于一个人的学习方法和经验不一定就适合于另一个人；不要生搬硬套别人的经验，关键是找到最适合自己的。以上所说仅供参考！

最后，祝愿新一届的考研朋友们能够在明年取得优异的成绩，考入自己理想的大学!

 

第三篇：高数：总结求极限的常用方法

总结求极限的常用方法，详细列举，至少4种

极限定义法

泰勒展开法。

洛必达法则。

等价无穷小和等价无穷大。

极限的求法 

1. 直接代入法 

适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 

例 1. 求

 1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下
1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！
必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
落笔他 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开
对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）


8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）

11 还有个方法 ，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !!!!!!
当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！

16直接使用求导数的定义来求极限 ，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式。）