高中数学必修四知识点总结
2、角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、已知是第几象限角,确定所在象限的方法:先把各象限均分等份,再从轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角.
6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为,则角的弧度数的绝对值是.
7、弧度制与角度制的换算公式:,,.
8、若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,
则,, .
9、(一)设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即;(2)叫做的余弦,记做,即;(3)叫做的正切,记做,即。
(二)设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距离是,则,,.
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
11、三角函数线:,,.
12、同角三角函数的基本关系式:
;.
13、三角函数的诱导公式:
,,.
,,.
,,.
,,.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
,.,.
口诀:函数名改变,符号看象限.
14、图像变换的两种方式:
(一)函数的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象(>0是左移;<0是右移);再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
(二)函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点向左(右)平移个单位长度(>0是左移;<0是右移);得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
函数的性质:
①振幅; ②周期:; ③频率:; ④相位:; ⑤初相:.
函数,当时,取得最小值为 ;当时,取得最大值为,则,,.
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
16.三角函数奇偶性规律总结()
函数为奇函数的条件为
函数为偶函数的条件为
函数为奇函数的条件为.
函数为偶函数的条件为
函数为奇函数的条件为它不可能是偶函数.
17.向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为的向量.
单位向量:长度等于个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量:长度相等且方向相反的向量.
18、向量加法:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:.
⑷运算性质:①交换律:;
②结合律:; ③.
⑸坐标运算:设,,则.
19、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向减向量的终点指向被减向量终点.(见上图)
⑵坐标运算:设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
20、向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.
①;②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.0= ⑵运算律: ①; ②; ③. ⑶坐标运算:设,则.
(4)
21向量共线条件:(1)向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.
(2)共线的坐标表示,设,,其中,则当且仅当时,向量、共线.
22、平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.(不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底)
小结论:(1)若、是同一平面内的两个不共线向量,
(2)若、是同一平面内的两个不共线向量,
23、分点坐标公式:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,,当时,可推出点的坐标是.(会写出向量坐标,会运算。)
24、平面向量的数量积:
⑴定义:.
零向量与任一向量的数量积为.:在方向上的投影 :在方向上的投影
注意:务必要算对两个非零向量的夹角:设两个非零向量与, 称为向量与的夹角 ,注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的。
⑵性质:设和都是非零向量,则①.
②当与同向时,;当与反向时,;
或. ③.
⑶运算律:①;②;③.
⑷坐标运算:设两个非零向量,,则.
(5)若,则,或.
(6)设,,则.
(7)设、都是非零向量,,,是与的夹角,
则.
25、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴;⑵;
⑶;⑷;
⑸ 变形:();
⑹ 变形:().
26、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴. 变形:
⑵
变形得到降幂公式:
, .
⑶.
27、,其中.
[2010高考题解析,规范解题步骤]已知函数,其图象过点(,).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,求函数在[0, ]上的最大值和最小值.
解:(Ⅰ)因为
所以
又 函数图像过点
所以
即
又 所以
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 ,将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,可知
因为
所以
因此
故 所以 在上的最大值和最小值分别为和
为什么要学习数学?
——数学来源于生活,生活离不开数学。数学对个人,社会,世界都会产生影响!
数学与人类文明一样古老,有文明就一定有数学。数学在其发展的早期就与人类的生活及社会活动有着密切的关系,解决着各种各样的问题:食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换,房屋、仓库的建造,丈量土地,兴修水利,编制历法等。随着数学的发展和人类文明的进步,数学的应用逐渐扩展到更一般的技术和科学领域。从古希腊开始,数学就与哲学建立了密切的联系。近代以来,数学又进入了人文科学领域,并使人文科学的数学化成为一种强大的趋势。
当今社会,数学的发展,计算机技术的广泛应用,可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域。从卫星到核电站,高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点,无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。产品、工程的设计与制造,产品的质量控制,经济和科技中的预测和管理,信息处理,资源开发和环境保护,经济决策等,无不需要数学的应用。数学在现代社会中有许多出人意料的应用,在许多场合,它已经不再单纯是一种辅助性的工具,它已成为许多重大问题的关键性的思想与方法,由此产生的许多成果,又悄悄的遍布在我们身边,改变着我们的生活方式。可以说数学对现代社会已产生了深远的影响,我们生活在数学的时代。数学对社会发展的影响,一方面说明了数学在社会发展中的地位和作用,同时,也反映出在未来社会中,社会的主体——人在数学方面所应具备的素养和素质。www.ks5u.com
高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结
一、角的概念和弧度制:
(1)在直角坐标系内讨论角:
角的顶点在原点,始边在轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。
(2)①与角终边相同的角的集合:
与角终边在同一条直线上的角的集合: ;
与角终边关于轴对称的角的集合: ;
与角终边关于轴对称的角的集合: ;
与角终边关于轴对称的角的集合: ;
②一些特殊角集合的表示:
终边在坐标轴上角的集合: ;
终边在一、三象限的平分线上角的集合: ;
终边在二、四象限的平分线上角的集合: ;
终边在四个象限的平分线上角的集合: ;
(3)区间角的表示:
①象限角:第一象限角: ;第三象限角: ;
第一、三象限角: ;
②写出图中所表示的区间角:
(4)正确理解角:
要正确理解“间的角”= ;
“第一象限的角”= ;“锐角”= ;
“小于的角”= ;
(5)由的终边所在的象限,通过 来判断所在的象限。
来判断所在的象限
(6)弧度制:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零;任一
已知角的弧度数的绝对值,其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长,为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。
(7)弧长公式: ;半径公式: ;
扇形面积公式: ;
二、任意角的三角函数:
(1)任意角的三角函数定义:
以角的顶点为坐标原点,始边为轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点,点到原点的距离记为,则 ; ; ; ; ; ;
如:角的终边上一点,则 。注意r>0
(2)在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线;
比较,,,的大小关系: 。
(3)特殊角的三角函数值:
三、同角三角函数的关系与诱导公式:
(1)同角三角函数的关系
作用:已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。
(2)诱导公式:
: , , ;
: , , ;
: , , ;
: , , ;
: , , ;
: , , ;
: , , ;
: , , ;
: , , ;
诱导公式可用概括为:
2K±,-,±,±,±的三角函数 奇变偶不变,符号看象限 的三角函数
作用:“去负——脱周——化锐”,是对三角函数式进行角变换的基本思路.即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负;利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周;利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.
(3)同角三角函数的关系与诱导公式的运用:
①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。
注意:用平方关系,有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以讨论。
②求任意角的三角函数值。
步骤:
③已知三角函数值求角:注意:所得的解不是唯一的,而是有无数多个.
步骤: ①确定角所在的象限;
②如函数值为正,先求出对应的锐角;如函数值为负,先求出与其绝对值对
应的锐角;
③根据角所在的象限,得出间的角——如果适合已知条件的角在第二限;则它是;如果在第三或第四象限,则它是或;
④如果要求适合条件的所有角,再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。
如,则 , ; ;_________。
注意:巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度:(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17);
四、三角函数图像和性质
1.周期函数定义
定义 对于函数,如果存在一个不为零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,都成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数叫做这个函数的周期.
请你判断下列函数的周期
y=tan x y=tan |x| y=|tan x|
例 求函数f(x)=3sin (的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大于1
注意 理解函数周期这个概念,要注意不是所有的周期函数都有最小正周期,如常函数f(x)=c(c为常数)是周期函数,其周期是异于零的实数,但没有最小正周期.
结论:如函数对于,那么函数f(x)的周期T=2k; 如函数对于,那么函数f(x)的对称轴是
2.图像
3。图像的平移
对函数y=Asin(ωx+j)+k (A>0, ω>0, j≠0, k≠0),其图象的基本变换有:
(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.A>1,伸长;A<1,缩短.
(2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的.ω>1,缩短;ω<1,伸长.
(3)相位变换(横向平移变换):是由φ的变化引起的.j>0,左移;j<0,右移.
(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的.k>0, 上移;k<0,下移
四、三角函数公式:
三倍角公式:;;
五、三角恒等变换:
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
①是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍。
②;问: ; ;
③;④;
⑤;等等
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ;
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:; ;
;;
;;
; ;
;
= ;
= ;
(其中 ;)
; ;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:切割化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,和积互化,特殊值与特殊角的三角函数互化。
如: ; ;
;
;推广:
;推广:
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