整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的

和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式 中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个一、基本知识 多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次㈠、数与代数 数。 A、数与式： 整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同1、有理数 类项。 有理数：①整数→正整数/0/负整数 幂的运算：AM+AN=A（M+N） ②分数→正分数/负分数 （AM）N=AMN 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），（A/B）N=AN/BN 除法一样。 选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个个多项式的每一项，再把所得的积相加。 点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数公式两条：平方差公式/完全平方公式 小于0，正数大于负数。 整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项对值是他的相反数、0的绝对值是0。式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所绝对值大的反而小。 得的商相加。 有理数的运算： 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号化叫做把这个多项式分解因式。 相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。 较大的数的符号，分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么③一个数与0相加不变。 这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②分式的值不变。 任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒分式的运算： 数。 乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除积的分母。 数。 除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果加减法：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。叫幂，A叫底数，N叫次数。 ②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方算括号里的。 程的分母为0的解称为原方程的增根。 2、实数 B、方程与不等式 无理数：无限不循环小数叫无理数 1、方程与方程组 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的数式，所得结果仍是等式。 平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫数系数化为1。 做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运数都是1的方程叫做二元一次方程。 算叫开立方，其中A叫做被开方数。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，一次方程组。 倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上次方程的一个解。 的一个点来表示。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方3、代数式 程的解。 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并数为2的方程 同类项。③在合并同类项时，1）一元二次方程的二次函数的关系 字母和字母的指数不变。 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深4、整式与分式 初中数学知识点总结

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的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方叫做解不等式组。

程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程一元一次不等式的符号方向：

就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，

2）一元二次方程的解法 他是随着你加或乘的运算改变。

2大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b/4a），这大在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不

家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程等式符号不改向；例如：A>B,A+C>B+C

也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不他可以求出所有的一元一次方程的解 等式符号不改向；例如：A>B，A-C>B-C

(1）配方法 在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方如：A>B，A*C>B*C（C>0）

法去求出解 在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：

(2)分解因式法 A>B，A*C<B*C（C<0）

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出式去解 现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不

(3)公式法 等为0，否则不等式不成立；

这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程3、函数

的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 变量：因变量，自变量。

3）解一元二次方程的步骤： 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数

（1）配方法的步骤： 轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是公式 X的一次函数。②当B=0时，称Y是X的正比例函数。

(2)分解因式法的步骤： 一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的可以，就可以化为乘积的形式 图象。②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直

(3)公式法 线。③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限；

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系当K〈0，B〉0时，则经124象限；当K〉0，B〈0时，数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c 则经134象限；当K〉0，B〉0时，则经123象限。④

4）韦达定理 当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，

利用韦达定理去了解，Y的值随X值的增大而减少。

二根之和=-b/a，二根之积=c/a ㈡空间与图形

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以A、图形的认识

求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 1、点，线，面

5）一元一次方程根的情况 点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交

利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动为“△”，读作“diao ta”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情成体。

况： 展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。III当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

中就会知道，这里有2个虚数根） 截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截

2、不等式与不等式组 面。

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式视图：主视图，左视图，俯视图。

的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向连组成的封闭图形。

不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组号方向相反。 成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等2、角

式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形个不等式的解集。③ 成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有

且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 一条直线。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之

等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

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角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两反之亦然。

条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一5、四边形

分，一分的1/60是一秒。 平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫

而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边他的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当边形的对角线互相平分。

他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形、一顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这组对边平行且相等的四边形、两组对边分别相等的四边条射线叫做这个角的平分线。 形/定义。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条

过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互一组对角。③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四相平行。 边形/四条边都相等的四边形。

垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。 菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

垂直平分线垂直平分的一定是线段，梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的两个内角相后（关于画法，后面会讲）一定要把线段穿出2点。 等，对角线星等，反之亦然。

垂直平分线定理： 多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度。②多边心内性质定理： 角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，

线上 他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度） 角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。 平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。

定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点 上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等 B、图形与变换：

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上 1、图形的轴对称

正方形：一组邻边相等的矩形是正方形 轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质 能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形 线叫做对称轴。

3、相交线与平行线 轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距

果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同离相等。③等腰三角形的“三线合一”。

角或等角的余角/补角相等。③对顶角相等。④同位角相轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应等/内错角相等/ 线段/对应角相等。

4、三角形 2、图形的平移和旋转

三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距

成的图形叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所边。三角形任意两边之差小于第三边。③三角形三个内连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相角的和等于180度。④三角形分锐角三角形/直角三角形等。

/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥三角形旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是线。⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作3、图形的相似

垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那形的三条高所在的直线交于一点。 么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。。=M/N，那么图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合A+C+?+M/B+D+?N=A/B。

的图形叫全等图形。 黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。 AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C

②条件：SSS、AAS、ASA、SAS、HL。 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，（根号5-1/2）。

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相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组

相似多边形。②相似多边形对应边的比叫做相似比。 数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角叫做这个组数据的众数。③优劣：平均数：所有数据参

形叫做相似三角形。②条件：AAA、SSS、SAS。 加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，

对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众于相似比，面积比等于相似比的平方。 数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且特别的意义。

每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个似中心的距离之比等于位似比。 体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽

C、图形的坐标 取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，

数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做X节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴与Y普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。他们分4个抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

象限。XA，YB记作（A，B）。 频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出

D、证明 现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数

规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句分布直方图。

子叫做命题（分真命题与假命题）。③每个命题是由条件2、概率

和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这结论，这种例子叫做反例。 些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些

通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS、ASA、SSS可能性是有大小的。

反之亦然；同旁内角互补，两直线平行，反之亦然；内概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相率为1，记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做为0，记作P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，这个公理或定理的推论。 那么0〈P（A）〈1。

㈢统计与概率

二、基本定理 1、统计

科学记数法：一个大于10的数可以表示成A*10N的形式，1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短 其中1小于等于A小于10，N是正整数。

扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总3、同角或等角的补角相等

体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比4、同角或等角的余角相等

的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆6、

7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直心角的度数与360度的比。

线平行 各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的

如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平具体数目；折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；8、

行 扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百

9、同位角相等，两直线平行 分比。

近似数字和有效数字：①测量的结果都是近似的。②利用四10、内错角相等，两直线平行

舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就11、同旁内角互补，两直线平行

说这个近似数精确到哪一位。③对于一个近似数，从左12、两直线平行，同位角相等

边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的13、两直线平行，内错角相等

14、两直线平行，同旁内角互补 数字都叫做这个数的有效数字。

平均数：对于N个数X1，X2?XN，我们把（X1+X2+?+XN15、定理 三角形两边的和大于第三边

/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X（上边一横） 16、推论 三角形两边的差小于第三边

加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个18、推论1 直角三角形的两个锐角互余

19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的权，这就是加权平均数。

和 中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位

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20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是

角 平行四边形

21、全等三角形的对应边、对应角相等 58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行

22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个四边形

三角形全等 59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平

23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个行四边形

三角形全等 60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等

角形全等 62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

两个直角三角形全等 65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对

27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角线平分一组对角

28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

分线上 67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都

等边对等角） 相等

31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相

边 垂直平分，每条对角线平分一组对角

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

互相重合 72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对

33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于称中心，并且被对称中心平分

60° 73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且

34、等腰三角形的判定定理 被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 75、等腰梯形的两条对角线相等

36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的等腰梯形

直角边等于斜边的一半 77、对角线相等的梯形是等腰梯形

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得

39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

相等 79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另

40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段一腰

的垂直平分线上 80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有必平分第三边

点的集合 81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并

42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 且等于它的一半

43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于

应点连线的垂直平分线 两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段83、(1)比例的基本性质：

或延长线相交，那么交点在对称轴上 如果a:b=c:d,那么ad=bc

45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d

分，那么这两个图形关于这条直线对称 84、(2)合比性质：

46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 222边c的平方，即a+b=c 85、(3)等比性质：

47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0), 222a+b=c，那么这个三角形是直角三角形 那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

48、定理 四边形的内角和等于360° 86、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得

49、四边形的外角和等于360° 的对应线段成比例

50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）× 87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的

51、推论 任意多边的外角和等于360° 延长线），所得的对应线段成比例

52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 88、定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）

53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的

54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 第三边

55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所

56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

行四边形 90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的

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延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ③直线L和⊙O相离 d﹥r

91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似122、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径

（ASA） 的直线是圆的切线

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

角形相似 124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

似（SAS） 126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线

94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一127、圆的外切四边形的两组对边的和相等

个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

个直角三角形相似 129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切

96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与角也相等

对应角平分线的比都等于相似比 130、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线

97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 段长的积相等

98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 131、推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的径所成的两条线段的比例中项

余弦值等于它的余角的正弦值 132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

余切值等于它的余角的正切值 133、推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线101、圆是定点的距离等于定长的点的集合 与圆的交点的两条线段长的积相等

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 135、①两圆外离 d﹥R+r

104、同圆或等圆的半径相等 ②两圆外切 d=R+r

105③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

定长为半径的圆 ④两圆内切 d=R-r(R﹥r)

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)

段的垂直平分线 136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分137、定理 把圆分成n(n≥3):

线 ?依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线形

平行且距离相等的一条直线 ?经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的109、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 多边形是这个圆的外切正n边形

110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这

的两条弧 两个圆是同心圆

111、推论1 139、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所140、定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全对的两条弧 等的直角三角形

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 141、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分142、正三角形面积√3a／4 a表示边长

弦所对的另一条弧 143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）

(k-2)=4 113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，144、弧长计算公式：L=n兀R／180

145、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应

三、常用数学公式 的其余各组量都相等

公式分类 公式表达式 116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 a2-b2=(a+b)(a-b) 117、推论1 乘法与因式分解

3a+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 相等的圆周角所对的弧也相等 a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 118、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| 119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那|a-b|≤|a|+|b| 么这个三角形是直角三角形 |a|≤b<=>-b≤a≤b 120、定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

都等于它的内对角

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a 121、①直线L和⊙O相交 d﹤r

-b-√(b2-4ac)/2a ②直线L和⊙O相切 d=r

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结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程根与系数的关系 X1+X2=-b/a (组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连

X1*X2=c/a 注：韦达定理 接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数

判别式 学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、2b-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 2b-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 7、反证法 2b-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论某些数列前n项和 相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n 方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；

存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有注：其中 R 表示三角形的外接圆半径

一个、一个也没有；至少有n个、至多有(n一1)个；至多有 222余弦定理 b=a+c-2accosB 一个、至少有两个；唯一、至少有两个。

注：角B是边a和边c的夹角 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式， 但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

四、基本方法 推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛

1、配方法 盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把自相矛盾。 其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。8、面积法 通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中经常用到它。 的一种常用方法。

2、因式分解法 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助

因式分解，线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。 式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用9、几何变换法 拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题

3、换元法 转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从

4、判别式法与韦达定理 相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对2一元二次方程ax+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的图形本质的认识。 判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。 题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数10、客观性题的解题方法 乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以试卷的容量和知识覆盖面。 及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样

5、待定系数法 具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。 于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 巧。下面通过实例介绍常用方法。

6、构造法 （1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，

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这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。

（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。

（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。 （4根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、 （5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。

（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。

初中几何常见辅助线作法歌诀汇编[转]

人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

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初中数学知识点归纳口诀

有理数的加法运算

同号两数来相加，绝对值加不变号。 异号相加大减小，大数决定和符号。 互为相反数求和，结果是零须记好。 【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

有理数的减法运算

减正等于加负，减负等于加正。 有理数的乘法运算符号法则 同号得正异号负，一项为零积是零。

合并同类项

说起合并同类项，法则千万不能忘。 只求系数代数和，字母指数留原样。

去、添括号法则

去括号或添括号，关键要看连接号。 扩号前面是正号，去添括号不变号。 括号前面是负号，去添括号都变号。

解方程

已知未知闹分离，分离要靠移完成。 移加变减减变加，移乘变除除变乘。

平方差公式

两数和乘两数差，等于两数平方差。 积化和差变两项，完全平方不是它。

完全平方公式

二数和或差平方，展开式它共三项。 首平方与末平方，首末二倍中间放。 和的平方加联结，先减后加差平方。

完全平方公式

首平方又末平方，二倍首末在中央。 和的平方加再加，先减后加差平方。

解一元一次方程

先去分母再括号，移项变号要记牢。 同类各项去合并，系数化“1”还没好。 求得未知须检验，回代值等才算了。

解一元一次方程

先去分母再括号，移项合并同类项。 系数化1还没好，准确无误不白忙。

因式分解与乘法

和差化积是乘法，乘法本身是运算。 积化和差是分解，因式分解非运算。

因式分解

两式平方符号异，因式分解你别怕。 两底和乘两底差，分解结果就是它。 两式平方符号同，底积2倍坐中央。 因式分解能与否，符号上面有文章。 同和异差先平方，还要加上正负号。 同正则正负就负，异则需添幂符号。

因式分解

一提二套三分组，十字相乘也上数。 四种方法都不行，拆项添项去重组。 重组无望试求根，换元或者算余数。 多种方法灵活选，连乘结果是基础。 同式相乘若出现，乘方表示要记住。 【注】 一提（提公因式）二套（套公式）

因式分解

一提二套三分组，叉乘求根也上数。 五种方法都不行，拆项添项去重组。

对症下药稳又准，连乘结果是基础。

二次三项式的因式分解

先想完全平方式，十字相乘是其次。 两种方法行不通，求根分解去尝试。

比和比例

两数相除也叫比，两比相等叫比例。 外项积等内项积，等积可化八比例。 分别交换内外项，统统都要叫更比。 同时交换内外项，便要称其为反比。 前后项和比后项，比值不变叫合比。 前后项差比后项，组成比例是分比。 两项和比两项差，比值相等合分比。 前项和比后项和，比值不变叫等比。

解比例

外项积等内项积，列出方程并解之。

求比值

由已知去求比值，多种途径可利用。 活用比例七性质，变量替换也走红。 消元也是好办法，殊途同归会变通。

正比例与反比例

商定变量成正比，积定变量成反比。

正比例与反比例

变化过程商一定，两个变量成正比。 变化过程积一定，两个变量成反比。

判断四数成比例

四数是否成比例，递增递减先排序。 两端积等中间积，四数一定成比例。

判断四式成比例

四式是否成比例，生或降幂先排序。 两端积等中间积，四式便可成比例。

比例中项

成比例的四项中，外项相同会遇到。 有时内项会相同，比例中项少不了。 比例中项很重要，多种场合会碰到。 成比例的四项中，外项相同有不少。 有时内项会相同，比例中项出现了。 同数平方等异积，比例中项无处逃。

根式与无理式

表示方根代数式，都可称其为根式。 根式异于无理式，被开方式无限制。 被开方式有字母，才能称为无理式。 无理式都是根式，区分它们有标志。 被开方式有字母，又可称为无理式。

求定义域

求定义域有讲究，四项原则须留意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 指是分数底正数，数零没有零次幂。 限制条件不唯一，满足多个不等式。 求定义域要过关，四项原则须注意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 分数指数底正数，数零没有零次幂。 限制条件不唯一，不等式组求解集。

解一元一次不等式

先去分母再括号，移项合并同类项。 系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。 先去分母再括号，移项别忘要变号。 同类各项去合并，系数化“1”注意了。 同乘除正无防碍，同乘除负也变号。

解一元一次不等式组

大于头来小于尾，大小不一中间找。 大大小小没有解，四种情况全来了。

同向取两边，异向取中间。 中间无元素，无解便出现。 幼儿园小鬼当家，(同小相对取较小) 敬老院以老为荣，(同大就要取较大) 军营里没老没少。(大小小大就是它) 大大小小解集空。(小小大大哪有哇)

解一元二次不等式

首先化成一般式，构造函数第二站。 判别式值若非负，曲线横轴有交点。 a正开口它向上，大于零则取两边。 代数式若小于零，解集交点数之间。 方程若无实数根，口上大零解为全。 小于零将没有解，开口向下正相反。

用平方差公式因式分解

异号两个平方项，因式分解有办法。 两底和乘两底差，分解结果就是它。

用完全平方公式因式分解

两平方项在两端，底积2倍在中部。 同正两底和平方，全负和方相反数。 分成两底差平方，方正倍积要为负。 两边为负中间正，底差平方相反数。 一平方又一平方，底积2倍在中路。 三正两底和平方，全负和方相反数。 分成两底差平方，两端为正倍积负。 两边若负中间正，底差平方相反数。

用公式法解一元二次方程

要用公式解方程，首先化成一般式。 调整系数随其后，使其成为最简比。 确定参数abc，计算方程判别式。 判别式值与零比，有无实根便得知。 有实根可套公式，没有实根要告之。 用常规配方法解一元二次方程

左未右已先分离，二系化“1”是其次。 一系折半再平方，两边同加没问题。 左边分解右合并，直接开方去解题。 该种解法叫配方，解方程时多练习。 用间接配方法解一元二次方程 已知未知先分离，因式分解是其次。 调整系数等互反，和差积套恒等式。 完全平方等常数，间接配方显优势

【注】 恒等式 解一元二次方程

方程没有一次项，直接开方最理想。 如果缺少常数项，因式分解没商量。 b、c相等都为零，等根是零不要忘。 b、c同时不为零，因式分解或配方， 也可直接套公式，因题而异择良方。

正比例函数的鉴别

判断正比例函数，检验当分两步走。

一量表示另一量， 有没有。 若有再去看取值，全体实数都需要。 区分正比例函数，衡量可分两步走。

一量表示另一量， 是与否。 若有还要看取值，全体实数都要有。

正比例函数的图象与性质

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正比函数图直线，经过 和原点。 K正一三负二四，变化趋势记心间。 K正左低右边高，同大同小向爬山。 K负左高右边低，一大另小下山峦。

一次函数

一次函数图直线，经过 点。 K正左低右边高，越走越高向爬山。 K负左高右边低，越来越低很明显。 K称斜率b截距，截距为零变正函。

反比例函数

反比函数双曲线，经过 点。 K正一三负二四，两轴是它渐近线。 K正左高右边低，一三象限滑下山。 K负左低右边高，二四象限如爬山。

二次函数

二次方程零换y，二次函数便出现。 全体实数定义域，图像叫做抛物线。 抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A定开口及大小，线轴交点叫顶点。 顶点非高即最低。上低下高很显眼。 如果要画抛物线，平移也可去描点， 提取配方定顶点，两条途径再挑选。 列表描点后连线，平移规律记心间。 左加右减括号内，号外上加下要减。 二次方程零换y，就得到二次函数。 图像叫做抛物线，定义域全体实数。 A定开口及大小，开口向上是正数。 绝对值大开口小，开口向下A负数。 抛物线有对称轴，增减特性可看图。 线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。 如果要画抛物线，描点平移两条路。 提取配方定顶点，平移描点皆成图。 列表描点后连线，三点大致定全图。 若要平移也不难，先画基础抛物线， 顶点移到新位置，开口大小随基础。

【注】基础抛物线 直线、射线与线段

直线射线与线段，形状相似有关联。 直线长短不确定，可向两方无限延。 射线仅有一端点，反向延长成直线。 线段定长两端点，双向延伸变直线。 两点定线是共性，组成图形最常见。

角

一点出发两射线，组成图形叫做角。 共线反向是平角，平角之半叫直角。 平角两倍成周角，小于直角叫锐角。 直平之间是钝角，平周之间叫优角。 互余两角和直角，和是平角互补角。 一点出发两射线，组成图形叫做角。 平角反向且共线，平角之半叫直角。 平角两倍成周角，小于直角叫锐角。 钝角界于直平间，平周之间叫优角。 和为直角叫互余，互为补角和平角。

证等积或比例线段

等积或比例线段，多种途径可以证。 证等积要改等比，对照图形看特征。 共点共线线相交，平行截比把题证。 三点定型十分像，想法来把相似证。

图形明显不相似，等线段比替换证。 换后结论能成立，原来命题即得证。 实在不行用面积，射影角分线也成。 只要学习肯登攀，手脑并用无不胜。

解无理方程

一无一有各一边，两无也要放两边。 乘方根号无踪迹，方程可解无负担。 两无一有相对难，两次乘方也好办。 特殊情况去换元，得解验根是必然。

解分式方程

先约后乘公分母，整式方程转化出。 特殊情况可换元，去掉分母是出路。 求得解后要验根，原留增舍别含糊。

列方程解应用题

列方程解应用题，审设列解双检答。 审题弄清已未知，设元直间两办法。 列表画图造方程，解方程时守章法。 检验准且合题意，问求同一才作答。

添加辅助线

学习几何体会深，成败也许一线牵。 分散条件要集中，常要添加辅助线。 畏惧心理不要有，其次要把观念变。 熟能生巧有规律，真知灼见靠实践。 图中已知有中线，倍长中线把线连。 旋转构造全等形，等线段角可代换。 多条中线连中点，便可得到中位线。 倘若知角平分线，既可两边作垂线。 也可沿线去翻折，全等图形立呈现。 角分线若加垂线，等腰三角形可见。 角分线加平行线，等线段角位置变。 已知线段中垂线，连接两端等线段。 辅助线必画虚线，便与原图联系看。

两点间距离公式

同轴两点求距离，大减小数就为之。 与轴等距两个点，间距求法亦如此。 平面任意两个点，横纵标差先求值。 差方相加开平方，距离公式要牢记。

矩形的判定

任意一个四边形，三个直角成矩形； 对角线等互平分，四边形它是矩形。 已知平行四边形，一个直角叫矩形； 两对角线若相等，理所当然为矩形。

菱形的判定

任意一个四边形，四边相等成菱形； 四边形的对角线，垂直互分是菱形。 已知平行四边形，邻边相等叫菱形； 两对角线若垂直，顺理成章为菱形。

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