高中数学必修5知识点

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

2、正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；

③；

④．

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，，

．

5、余弦定理的推论：，，．

6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；

②若，则；③若，则．

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

8、数列的项：数列中的每一个数．

9、有穷数列：项数有限的数列．

10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

15、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

18、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

19、若等差数列的首项是，公差是，则．

20、通项公式的变形：①；②；③；

④；⑤．

21、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．

22、等差数列的前项和的公式：①；②．

23、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．

②若项数为，则，且，（其中，）．

24、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

25、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．

26、若等比数列的首项是，公比是，则．

27、通项公式的变形：①；②；③；④．

28、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．

29、等比数列的前项和的公式：．

30、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

②．

③，，成等比数列．

31、；；．

32、不等式的性质： ①；②；③；

④，；⑤；

⑥；⑦；

⑧．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．

①若，，则点在直线的上方．

②若，，则点在直线的下方．

39、在平面直角坐标系中，已知直线．

①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．

②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．

40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．

线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

41、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

42、均值不等式定理： 若，，则，即．

43、常用的基本不等式：①；②；

③；④．

44、极值定理：设、都为正数，则有

⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．

⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．

 

第二篇：必修五第二章数列归纳总结

必修五第二章数列归纳总结

一、数列

1．数列的定义

数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，….通常用an代替f(n)．于是数列的一般形式为a1，a2，…，an，…，简记为{an}．

一、数列

1．数列的定义

数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，….通常用an代替f(n)．于是数列的一般形式为a1，a2，…，an，…，简记为{an}．

3．a_n与S_n的关系

设S_n＝a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n，

则a_n＝

二、等差数列

1．等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列．

2．等差中项

如果三数a、A、b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，∴A＝.

3．(1)通项公式

a_n＝a₁＋(n－1)d.

推导方法：累加法a_n＝(a_n－a_n－1)＋(a_n－1－a_n－2)＋…＋(a₂－a₁)＋a₁.

(2)前n项和公式

S_n＝＝na₁＋d.

推导方法：倒序相加法．

4．用函数观点认识等差数列

(1)a_n＝nd＋(a₁－d)是n的一次函数．

(2)S_n＝n²＋(a₁－)n，是关于n的常数项为零的二次函数．

5．等差数列的判定方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)?{an}是等差数列；

(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；

(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)(n∈N*)?{an}是等差数列；

(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B是常数)(n∈N*)?{an}是等差数列．

(5){a_n}是等差数列?{}是等差数列

6．等差数列的性质

(1)下标和与项的和的关系

在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有2am＝ap＋aq，(p，q，m，n∈N*)．

(2)任意两项的关系

在等差数列{a_n}中，m、n∈N^*，则a_m－a_n＝(m－n)d或a_m＝a_n＋(m－n)d或＝d.

(3)在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为md.

等差数列的依次n项的和也构成一个等差数列，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……为等差数列，公差为n2d.

即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列．

(4)设等差数列{an}的公差为d，那么

d>0?{an}是递增数列；d<0?{an}是递减数列；d＝0?{an}是常数数列．

(5)①数列{λa_n＋b}仍为等差数列，公差为λd.

若{b_n}，{a_n}都是等差数列，则{a_n±b_n}仍为等差数列，{λ₁a_n＋λ₂b_n}(λ₁，λ₂为常数)也是等差数列．

②项数为n的等差数列中，n为奇数时，设m＝，则S_奇－S_偶＝a_m，＝，S_n＝na_中＝na_m.

n为偶数时，S_偶－S_奇＝d.

③若{a_n}与{b_n}为等差数列，且前n项和分别为S_n与S′_n，则＝.

④等差数列{a_n}中，若a_n＝m，a_m＝n(m≠n)，则a_m＋n＝0.

⑤若数列{a_n}的前p项和为S_p＝q，前q项和为S_q＝p(p≠q)，则S_p＋q＝－(p＋q)．

⑥若数列{a_n}的前n项和为S_n，S_p＝S_q(p≠q)，则S_p＋q＝0.

三、等比数列

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．

2．等比中项

如果三个数a、G、b成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项，即G2＝ab.

3．等比数列的通项公式

a_n＝a₁·q^n－1(n∈N^*)．

推导方法：累乘法：·……·＝q^n－1.

4．等比数列的前n项和

当q＝1时，S_n＝na₁，

当q≠1时．S_n＝＝.

推导方法：乘公比、错位相减法．

5．等比数列的判定方法

(1)an＋1＝anq(q是不为0的常数，n∈N*，an≠0)?{an}是等比数列．

(2)an＝cqn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)?{an}是等比数列．

(3)an＋12＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}是等比数列．

(4)Sn＝A·qn－A(A、q为常数且A≠0，q≠0,1)?{an}是公比不为1的等比数列．

6．等比数列的主要性质

(1)下标和与项的积的关系

在等比数列{an}中，若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地，若2m＝p＋q，则ap·aq＝am2；a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….

(2)任意两项的关系

若{a_n}为等比数列，则＝q^m－n或a_m＝a_n·q^m－n(m、n∈N^*)．

(3)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列．

例如：{a_n}是等比数列，则

①a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1；②a₁＋a₂，a₂＋a₃，a₃＋a₄，…；③a₁a₂，a₂a₃，a₃a₄，…；④a₁＋a₂，a₃＋a₄，a₅＋a₆……均成等比数列．

(4)等比数列{a_n}的单调性

当，或时，{a_n}为递增数列；当或时，{a_n}为递减数列．

(5)①{a_n}是等比数列?{c·a_n}是等比数列(c≠0)．

②{a_n}、{b_n}均为等比数列?{a_n·b_n}、{}仍是等比数列．

③若{a_n}是等比数列，则{a_n²}、{}(a_n>0)、{}、{|a_n|}均为等比数列．

④非零常数列既是等差数列，也是等比数列．

⑤若{an}是等差数列，则{ba_n}是等比数列．

若{an}是正项等比数列，则{lga_n}是等差数列．

误区警示

1．数列与数集应予区别，数列中的数排列有序，数集中的元素无序；数列中的数可重复出现，数集中的元素互异．

2．并不是每一个数列都有通项公式，给出前n项时，写出的通项公式可以不止一个．

3．已知{a_n}的前n项和S_n求a_n时，

用a_n＝求解应注意分类讨论．

a_n＝S_n－S_n－1是在n≥2条件下求出的，应检验a₁是否适合．如果适合，则合写在一块，如果不适合，则分段表示．千万注意用a_n＝S_n－S_n－1判断数列{a_n}是否为等差(或等比)数列时，不要忘记验证a₁是否满足．

如：S_n＝n2＋n时，{a_n}是等差数列．

S_n＝n2＋n＋1时，{a_n}不是等差数列．

S_n＝2n－1时，{a_n}是等比数列．

S_n＝2n＋1时，{a_n}不是等比数列．

4．在讨论等差数列{an}的前n项和Sn的最值时，不要忽视n是整数的条件及含0项的情形．

如：在等差数列{an}中，已知a₁＝20，前n项和为S_n，且如S₁₀＝S15，求当n取何值时，S_n有最大值，并求出它的最大值．取最大值的应为S₁₂和S₁₃.

5．G是a、b的等比中项?/?/ G＝.

6．在应用等比数列的前n项和公式时，一定要对q＝1与q≠1进行分类讨论．

7．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零，项与公比的符号有着密切的联系，解题时应特别注意．