第三讲图形的相似

 

1. 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一长度单位量，有两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是，或写成

     。在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。

（2）如果选用同一长度单位量，在四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线

     段，简称比例线段。若四条线段a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，

     线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。

（3）如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。

2. 比例的性质

（1）基本性质:

     ①a：b=c：dad=bc

     ②a：b=b：c

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）：

                  （交换内项）

           （交换外项）

                 （同时交换内项和外项）

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

    

（4）合比性质：

    

（5）等比性质：

    

3. 黄金分割

    把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB

 

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

☆推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

            逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行

                    于三角形的第三边。

       （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

1. 相似三角形的概念

   对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

2. 相似三角形的基本定理

   平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

 用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

 相似三角形的等价关系：

（1）反身性：对于任一，都有；

（2）对称性：；

（3）传递性：。

3. 三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法：

   ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

   ②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

   ③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两

     角对应相等，两三角形相似。

   ④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相

     似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

   ⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为

     三边对应成比例，两三角形相似。

（2）直角三角形相似的判定方法：

   ①以上各种判定方法均适用

   ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这

     两个直角三角形相似。

   ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4. 相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5. 相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

（2）相似多边形的性质：

   ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

   ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比。

   ③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比。

   ④相似多边形面积的比等于相似比的平方

 

第二篇：初三数学相似图形知识点归纳

初三数学相似图形知识点归纳

（一）线段的比

1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比

例：(1)线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？

不对，因为a、b的长度单位不一致，.注意在量线段时要选用同一个长度单位.

    解：

        

         

 

    解：设x=2k，y=3k，z=4k

   

(二)比例尺=图上距离／实际距离

. 例1. 已知：A、B两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm，则该地图的比例尺为________。现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm，则两地的实际距离为__________（用科学记数法表示）。相距50千米的C、D两地在该地图上的距离为__________。

    解：

   

   

    答案：1：8000000；5.12×10²km；0.625cm

（三）比例的基本性质：如果，那么ad=bc  

        

   

          

          A. a:b=m:n        B. a:m=b:n            C. a:m=n:b            D. a:n=b:m

  （四） 合比性质、等比性质：

   

   

   

 .

 

   

    解：

             

             

 

   

   

   

   

   

   

例：已知，且2a+b+3c=21，求a,b,c的值

（五）相似多边形

  1. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。

  2. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应线段比等于相似比。

例. （1）如图，两个矩形是否相似？

  解：

   

    （2）下列判断正确的是（D   ）

    A. 两个平行四边形一定相似                          B. 两个矩形一定相似

    C. 两个菱形一定相似                                     D. 两个正方形一定相似

    （3）下列各图形中，一定相似的是（D ）

    A. 两个平行四边形                                        B. 两个直角三角形

    C. 底角相等的两个等腰梯形                           D. 有一个角为60^o的两个菱形

   

106^o

    （5）已知四边形ABCD~四边形A’B’C’D’，且AB：BC：CD：DA=7：6：5：4，若四边形A’B’C’D’周长为44，则A’B’=_______，B’C’=_______，C’D’=________，D’A’=______________。

 

   解：四边形A’B’C’D’的四边长的比也为7：6：5：4，分别设为7x，6x，5x，4x

   

   

  例10.

    （2）两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，它们的周长比为_________，面积比为______________。

    （3）两个相似多边形地块的相似比为3：4，面积差为28m²，则它们的面积分别为_________________。

    解：（1）面积比等于相似比的平方，相似比=1：3

   

   

   

    （2）4：9；16：81

    （3）面积比为9：16，设两个相似地块分别为9x，16x

   

   

   

（六）相似三角形

1、相似三角形,就是形状相同,但大小不一样。

定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

所有的边数相同的正多边形都相似（正三角形，正方形，正五边形等等）

2、相似三角形的判定方法有

（1）两角对应相等，两三角形相似。

    （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

    （3）三边对应成比例，两三角形相似。

3、相似三角形的性质：

1.  相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。

2.  相似三角形周长的比等于相似比。

3.  相似三角形面积的比等于相似比的平方。

例11.

解：

   

   

   

    G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高AD=10cm，求正方形的面积。

  

（2）

      

   

  

设正方形边长为x