习题12  波动光学

12-1 解：光程的定义是媒质的折射率与光所经历的几何路程的乘积，光程差是两束光到达空间某点的光程之差。因此，S₁P的光程是：，S₂P的光程是：；这两束光的光程差是：。

12-2 解：设S₁P=r₁，S₂P=r₂；则未插入玻璃片之前是；

         设玻璃片的厚度为x，由于插入玻璃片之后，P点为中央亮纹中心，则有。

          联立上两式得：，

                    。

12-3　在杨氏双缝实验中，双缝间距d＝0.20 mm，缝屏间距D＝1.0 m.试求：

(1)若第2级明条纹离屏中心的距离为6.0 mm，计算此单色光的波长；

(2)求相邻两明条纹间的距离.

解: (1)由知，，

∴                      

(2)                

12-4　在双缝装置中，用一很薄的云母片(n＝1.58)覆盖其中的一条缝，结果使屏幕上的第7级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明纹的位置.若入射光的波长为550 nm，求此云母片的厚度.

解: 设云母片厚度为，则由云母片引起的光程差为

按题意  

∴             

12-5 解：相位差与光程差之间的关系是：，则题中的光程差是：

。

12-6 解：在杨氏双缝干涉实验中，明条纹的位置是：，则第10级明条纹的中心位置是：；因而，两个第10级明条纹之间的中心间距是：。

12-7 解：因干涉而加强的波长条件是：，

k为整数，则；

而可见光的范围是390nm-760nm, 当时，k=1.3; 当时，k=0.92; 故合乎题意的只有k=1。

当k=1时，。

12-8 解：（1）从飞机上竖直向下看厚度为460nm的油膜，因干涉而加强的波长条件是：，k为整数，

则       ；

而可见光的范围是390nm-760nm, 当时，k=3.3; 当时，k=1.95; 故合乎题意的只有k=2，3。

当k=2时，。

当k=3时，。

  （2）从水下竖直向上看同一区域的油膜，因干涉而加强的波长条件是：，k为整数，

则       ；

类似地，可见光的范围是390nm-760nm, 当时，k=3.1; 当时，k=1.61; 故合乎题意的只有k=2，3。

当k=2时，。

当k=3时，。

12-9 解：在空气劈尖上取k级和k+1级两明条纹用e_k和e_k+1分别表示这两条明条纹所在处劈尖的厚度，按照条纹出现的条件，e_k和e_k+1应满足

              

              

则有           

两相邻明纹间隔l与空气厚度的关系是

                  

所以              

设金属丝直径为D，又L=28.88mm，则

                    

当很小时，，则

12-10　在折射率n₁＝1.52的镜头表面涂有一层折射率n₂＝1.38的MgF₂增透膜，如果此膜适用于波长λ＝550 nm的光，问膜的厚度应取何值？

解: 设光垂直入射增透膜，欲透射增强，则膜上、下两表面反射光应满足干涉相消条件，即

∴                      

令，得膜的最薄厚度为．

当为其他整数倍时，也都满足要求．

12-11　当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间的空间充以液体时，第10个亮环的直径由d₁＝1.40×10^－2m变为d₂＝1.27×10^－2m，求液体的折射率.

解: 由牛顿环明环公式

                   

两式相除得，即 

12-12　利用迈克耳孙干涉仪可测量单色光的波长.当M₁移动距离为0.322 mm时，观察到干涉条纹移动数为1024条，求所用单色光的波长.

解: 由

得                       

 

12-13 解：干涉条纹移动1条相当于薄膜厚度d改变，设题中插入折射率为n=1.38的薄膜的厚度为e，测得条纹移动了7条，即插入前后光程差的该变量是（n-1）e。从而

                。

12-14 解：单色光垂直照射时，暗纹的中心位置是，设第三级暗条纹到观察屏中心的距离是x₃，则。因此，

               ，

中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离是

                。

12-15 解：类似于1-14，中央明条纹的宽度是

             。

12-16　一单色平行光垂直照射一单缝，若其第3级明条纹位置正好与600nm的单色平行光的第2级明条纹位置重合，求前一种单色光的波长.

解：单缝衍射的明纹公式为

 

当时，

时，

重合时角相同，所以有

得                       

12-17　用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a＝0.60 mm的单缝，缝后凸透镜的焦距f＝40.0 cm，观察屏幕上形成的衍射条纹.若屏上离中央明条纹中心1.40 mm处的P点为一明条纹；求：(1)入射光的波长；(2)P点处条纹的级数；(3)从P点看，对该光波而言，狭缝处的波面可分成几个半波带？

解：(1)由于点是明纹，故有，

由

故

当  ，得

，得

(2)若，则点是第级明纹；

若，则点是第级明纹．

(3)由可知，

当时，单缝处的波面可分成个半波带；

当时，单缝处的波面可分成个半波带．

12-18　用λ＝590nm的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几级明条纹？

解： 

由知，最多见到的条纹级数对应的,

所以有，即实际见到的最高级次为.

12-19　波长λ＝600nm的单色光垂直入射到一光栅上，第2、3级明条纹分别出现在sin φ＝0.20与sin φ＝0.30处，第4级缺级.求：(1)光栅常数；(2)光栅上狭缝的宽度；(3)在范围内，实际呈现的全部级数.

解：(1)由式

对应于与处满足：

得                           

(2)因第四级缺级，故此须同时满足

解得                       

取，得光栅狭缝的最小宽度为

(3)由

当，对应

∴                     

因，缺级，所以在范围内实际呈现的全部级数为

共条明条纹(在处看不到)．

12-20　使自然光通过两个偏振化方向夹角为60°的偏振片时，透射光强为I₁，今在这两个偏振片之间再插入一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°，问此时透射光强I与I₁之比为多少？

解：由马吕斯定律

∴                              

12-21　一束自然光从空气入射到折射率为1.40的液体表面上，其反射光是完全偏振光.试求：(1)入射角等于多少？(2)折射角为多少？

解：(1)∴

(2)                           

12-22 解：当折射角为30^o时反射光是完全偏振光，即此时满足布儒斯特现象。则入射角是

                   ，

玻璃的折射率是

                     。

 

第二篇：波动光学课后习题答案(第三章)

第三章 光的衍射

习题答案

3.1 解：根据教材134的公式(3.2-6)可知，矩形孔对应的夫琅和费衍射场的强度分布为：

?sin???sin??I?x,y??I0???? ??????22

其中?、?的含义见公式(3.2-4)和(3.2-5)。结合表3-1和图3-14可知，围绕中央峰值的四个次极大的强度为：

I?I0?0.047182?0.0022I0

其中，????1.430?。同理可确定第6个次极大的强度值。

3.2 解：根据教材134页的公式(3.2-8)可知，中央衍射光斑在x轴和y轴上的第一个暗点位置分别位于：

x??f?f?,y?? ab

根据题意，已知??488nm,a?0.75mm,b?0.25mm,f?2.5m，则可知

f?2500?0.488?10?3

??1.62mm a0.75

f?2500?0.488?10?3

??4.88mm b0.25

则中央衍射斑是一个3.24mm?9.76mm的矩形光斑。

整体的衍射强度分布可根据公式(3.2-6)通过计算机编程形象的显示出来。

3.3 解：根据教材140页的“（1）人眼的分辨本领”部分的介绍可知，人瞳孔的范围在1.5-6mm，选择人比较敏感的光波长0.55?m，则人眼

1

的理论分辨角ae在4.47?1.11?10-4rad。若现在当两灯相距?x=1.22m，

要能在某个距离处分辨出这两个灯，则必然要求

?x?ae l

即要求l??2.72?10.9?km，具体的值要根据每个人眼镜的分辨率确定，但总体来说，距离在公里量级。

3.4 解：根据题意，可以做如下假设：激光通过透镜聚焦得到的光斑是激光束通过透镜发生的夫琅和费衍射场，则根据教材139页的公式(3.2-21)，

?0?1.22f?

2a

同时，根据题意知：f?4?105km,2a?2m,??600nm，计算得到：

?0?146.4m

3.5 解：根据教材139页的公式(3.2-21)和(3.2-22)公式非常容易的确定衍射光斑的角宽度和线宽度，具体计算略。

3.6 解：根据教材142的公式(3.2-34)可知，显微物镜的分辨最小值由如下公式确定

??0.61? NA

其中，NA为物镜的数值孔径（关于数值孔径的概念参看应用光学的相关知识）。因此，可知，提高分辨率或减小最小分辨尺度的方法是增大透镜的数值孔径或减小使用波长。

由上述公式很容易分析该题目：

(1) 紫外光比可见光波长小一半，则分辨率提高一倍。

(2) 最小尺寸为

2

??0.61?0.61?0.275??0.186?m NA0.90

(3) 当数值孔径为1.60，则

??0.61?0.61?0.275??0.105?m NA1.60

3.7 解：参考教材141页“（3）照相物镜的分辨本领”部分。具体略。

3.8 解：根据公式（3.2-30）可知，

N?1D11 ???1.22?f1.22?546?10?63.5

因此用500/mm的底片记录是满足要求的。

3.9 解：白光经过棱镜将实现分光，再经过狭缝后会发生衍射，衍射条纹的亮暗间距与波长成正比，波长越大条纹间距越大，因此形成如图所示的弯曲衍射条纹分布。

3.10 解：根据教材134页公式(3.2-8)可知，衍射条纹左右两个第五级最小之间的间距为

?x?10f? a

根据题意已知?x?6.3cm,f?5m,??0.63?m，则可知

a?0.5mm

3.11 解：根据巴比涅原理，单丝衍射的强度分布和单缝衍射的强度分布相同（除了中心点）。则根据教材143页的公式(3.2-37)可知，单缝衍射中央主极大的宽度为

?x?2f? a

则根据题意已知?x?1cm,??0.63?m,f?50cm，则求得

a?63?m

3.12 解：根据教材145页的介绍可知，双缝衍射的强度分布是单缝衍

3

射因子和双缝干涉强度分布共同作用的结果。单缝衍射的位置由如下公式确定

bsin??m?

干涉极大由如下公式确定

dsin??m?

在两个极大之间有一个干涉极小值。

已知d?7.0?10?2cm，b?8.8?10?3cm，则可以确定在单缝衍射第一个暗点至中央峰值点之间有近似8个（7.95个）干涉最大值，因此有2?8=16个干涉极小值。

同时，根据公式dsin??m?知，在中央峰值附近相邻两个亮条纹之间的间距为

?x?f???f?

dcos??f?

d

根据题意已知??0.6328?m,d?7?10?2cm,f?457.2cm，计算得

?x?0.4133cm

3.13 解：

(1) 利用3.12题的分析可知，双缝衍射场相邻两个亮条纹的间距为

?x?f???f?

dcos??f?

d

根据题意，f?50cm,??632.8nm,?x?1.5mm，则可知

d?0.21mm

同时根据缺级的基本性质可知，

d?4 a

则，a?0.0525mm

(2) 根据教材145页的公式(3.2-44)，并结合（1）的计算结果可知，

4

?sin????2???I?P??4I0?cos?? ??2???????2

当??2m?m称为衍射级次。?m?0,?1,?2,?时对应干涉亮纹的位置，

利用上述公式很容易确定第1、2、3级亮纹的相对强度分别为 ?sin????????sin??、?????2????sin3??、??3???2???? ??2

即为0.810、0.405、0.090。

3.14 解：

（1）当挡住偶数缝时，缝的总数量为N，缝宽依然为a，缝的间距为d=6a，则根据教材145页的公式(3.2-43)可知，衍射场的强度分布为 N??sin?sin???I?P??I0????????22?????2??d??2???2?sin?N2sin6N????? ?sin???a???I?sin????I0??0?????6?????????????a??2

其中，???asin?。 ?

(2) 当全部敞开后，衍射光场可以看成是两个错开距离为2a、缝数为N的衍射光栅相互作用的结果。则根据教材144页的公式(3.2-41)可知，缝数为N的其中一个衍射光栅的衍射光场振幅为

E?P??Cae?i?N?1??

2sin?sin

?N?

2

另一光栅产生的衍射光场相对于这一光栅的衍射光场仅多一个常数相移因子e?i2??，其中???2?

?asin?。则总的衍射光场振幅为

5

E??P??Cae?i?N?1??

2sin?sin

?N?1?e?i2?? ??

2

则衍射光场的强度为

I??P??E??P?2?sin???sin?6N???2?4I0??cos?2?? ??6??????22

3.15 解：根据题意可知光栅周期为d=a+b=0.041mm，N=1000，则

（1）根据单缝衍射的公式(3.2-40)可知中央主峰的角宽度为

2?2?624?10?6

?????0.104rad a0.012

(2) 根据d/a=0.041/0.012=3.41，表明在中央峰内有7个极大（m?0,?1,?2,?3）。

(3) 根据教材147页的公式（3.2-48）可知相邻两个亮纹之间的角宽度为

624?10?6

??????1.52?10?5rad Ndcos?Nd1000?0.041??

3.16 解：

（1）根据教材162页图3-40的描述，当光束垂直入射到光栅上是，经过相邻两个光栅缝并沿着?角衍射时，两条光束相遇时产生的光程差和相位差分别为

??dsin?,???2?

???2?

?dsin?

则当dsin??3?时，此时相邻狭缝的两束光的光程差为3?，经过第1条和第n条狭缝的两条光束的光程差为3?n?1??。此时，经过任意两个狭缝的光束沿着?角衍射时的光程差都是波长的整数倍，根据干涉的基本原理，此时光的叠加都会加强。

6

3.17 解：如下图所示，唱片因为有刻痕，相当于一个多缝衍射光栅（反射型光栅），光束经过唱片后会发生衍射，产生衍射条纹。根据教材162页的图3-41可知，光栅方程为

dsin??m?

对应的线色散为

?x?f?

dcos?

根据题意，f?110cm,??0.55?m,??tan?1?1/11?，则可得

3.18 解：

（1）光栅的分辨本领为

A?mN

已知，N?20000，则光栅的第一、二、三级光谱的分辨本领为20000,40000和60000。

（2）根据光栅方程

dsin??m?

其中，m为衍射级次，已知d?2.5?m,??0.69?m，则第二、三级光谱的位置为

?1?sin?1??m???1?2?0.69?o?sin?33.5 ????d??2.5?

7

?2?sin?1??m???1?3?0.69?o?sin?55.9 ????d??2.5?

（3）当光束入射角为0时，对应的最大干涉级次为

m?d

??2.5?3.6 0.69

取m=3。

当光束以倾斜角90度入射时，对应的最大干涉级次为

m?2d

??5?7.24 0.69

取m=7。

3.19 解：F-P标准具和光栅都是典型的分光器件，通常利用如下三个量来衡量器件的分光性能：自由光谱范围、分辨本领、角色散或线色散。

（1）对于F-P标准具（参考教材91至93页）

? 自由光谱范围为

????f??m??2

2nh??0.6328?10?

2?1?0.04?62?5?10?12m?0.005nm

? 分辨本领为

A?0.972hN?0.972h???3.34?106 ?1?R?

? 角色散为

d?m? d?2nhsin?

其中干涉角满足如下关系

2nhcos??m?

已知m=1，??0.6328?m，h?4cm，则得到

??1.5707rad

8

则进一步得到

d??1.25?10?8rad/nm d?

（2）对于光栅（参考教材166页到168页）

? 自由光谱范围为

????f

? 分辨本领为 ??m?0.6328?0.6328?m 1

A?mN?1?30?1200?36000

? 角色散为

d?m ?d?dcos?

其中衍射?根据光栅方程dsin??m?确定，为

??49.4o

则进一步求得

d??1.844?10?3rad/nm d?

3.20 解：根据题意，要求分离开钠双线的分辨本领为

??1??2??

A???

???2??1?????????12?589.592?588.995?987 2?2??2589.592?588.995根据A?mN，则要求

N?987

3.21 解：根据光栅的衍射方程dsin??m?，当入射光的波长为400-700nm范围，衍射角在30°左右时，可以根据光栅的衍射方程确定衍射级次只能为1，即m=1。进一步根据衍射方程有

???m??

dcos?

o

o根据题意，已知m?1,d?1/1000?0.001mm,??30,???，则得到 9

???1?10?8m?10nm 而且dsin??m，可知平均波长为

?500nm 若要分开波长差为?????0.1nm的光束，要求光栅的分辨本领至少为

A?mN??5000 ??

即要求N=5000，则光栅的宽度为5mm。

3.22 解：

（1）根据题意光栅周期为

d?1/400?2.5?10?3mm

同时根据第四级衍射光谱处在单缝衍射的第一极小位置处可知

d?4 a

则光栅狭缝宽度为

a?0.625?m

（2）第二级衍射光谱对应的衍射角度为

??sin?1??m???1?2?0.5?o?sin????23.57 ?d??2.5?

光谱角宽度为

????

Ndcos??1.09?10?5rad

（3）第二级光谱对应的分辨本领为

A?mN?2?50?400?40000

则可以分辨的最小波长差

10

???A?500?1.25?10?2nm 40000

（4）根据光栅的分辨本领定义可知，当光栅的刻条数固定时，衍射级次越高，对应光谱的分辨本领越高。

根据教材162页可知，

d?sin??sin???m?

已知??30o，当??90o时，对应的光谱衍射级次最大为

m?7.5

取m?7。则

A?mN?7?20000?1.4?105

则对应的最小波长差为

???A?500?3.57?10?3nm 51.4?10

3.23 解：根据题意可知，光栅的周期为

d?1?2?10?3mm?2?m 500

总缝数为

N?500?10?10?5?104

(1) 波长为0.6328?m的光束对应的第一和第二级谱线的衍射角为

?1?sin?1?

?2?sin?1??m???1?1?0.6328?o?sin?18.4 ???2?d????m???1?2?0.6328?o?sin????39.3 2?d???

根据教材147页的公式(3.2-48)可知，对应的谱线线宽度分别为

0.6328?10?6

?6?x1?f??1?f?0.5??3.34?10m 4?6Ndcos?15?10?2?10?0.9486?

11

0.6328?10?6

?6?x2?f??2?f?0.5??4.08?10m 4?6Ndcos?25?10?2?10?0.7738?

(2) 根据光栅方程可知，当波长发生微小变化时，产生的衍射角间距

为

???m?? dcos?

其对应的谱线间距为

?x?f???fm?? dcos?

则对应的第一、第二级谱线间距分别为

m??1?0.5?10?9

?4?x1?f??1?f?0.5??1.32?10m ?6dcos?12?10?0.9486

m??2?0.5?10?9

?x2?f??2?f?0.5??3.23?10?4m ?6dcos?22?10?0.7738

3.24 解：根据光在真空中传播时满足的基本关系

?? ?c

可得，

??4.74?1014Hz

进一步假设传播速度不变，两边进行微分运算有

????? ??

当光束两个模的频率差为450MHz时，可确定其对应的波长差为

???6?10?4nm

则光栅需满足的分辨本领为

0.6328?103

A?mN???1.05?106 ?4??6?10

而且已知光栅每毫米1200条线，则要求光栅宽度为878mm。

12

3.25 解：根据教材165页的公式(3.4-7)可知，

2dsin?0??

可求得光束的入射角为

?0?sin?1?0.5?????1?o?sin?17.5 ????2d??2?0.833?

则进一步根据光栅方程

d?sin?0?sin???m?

同时衍射角在-90?到90?之间变化，很容易确定光栅的衍射级次范围为-1、0、+1、+2。

3.26 解：根据题意可知光栅周期为10?m，根据光栅的闪耀条件（参考教材164页和165页的有关内容），当光束垂直入射时，其闪耀的衍射角沿着2?0方向，此时满足如下关系

dsin?2?0??m?

已知d?10?m,??0.6?m,m?2，则可确定

?0?3.446o

3.27 解：参考教材151页的公式（3.3-14）以及该页的相关内容，了解菲涅耳衍射的基本特性。具体图略。

3.28 解：教材151页的公式（3.3-14）给出了圆孔露出的波带数和圆孔半径的关系，

2?R??NN??1?? ?R?r0?

当平行光入射到圆孔上时R??，则有

2?NN? ?r0

13

根据题意可知?N?D?1.3mm,??589nm,r0?1.5m，则求得 2

N?1.91?2

因此，波带数为一偶数，该点的衍射强度是一暗点。如要发生相反的变化，则要求N?1或N?3，此时有

r0?0.94mm或1.63mm

即圆孔直径分别变化为1.88mm或3..26mm。

3.29 解：与3.28题类似

圆孔露出的波带数和圆孔半径的关系，

2?NN? ?r0

当??563.3nm,?N?1.3mm,r0?1m时，有

N?3

波带数为一奇数，该点的衍射强度为一亮点。若要发生相反变化，则要求N?2或N?4，此时有

r0?1.5m或0.75m

即要求屏幕移近250mm或移远500mm。

其余题目略。

14