集合知识点总结：

一、集合

1、集合的概念

集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），通常用大写英文字母表示。

集合的元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员），

通常用小写写英文字母表示。

2、元素与集合的属于关系： 

若是集合的元素，就说属于，记作：，读作“属于”

若不是集合的元素，就说不属于，记作：，读作“不属于”。

3、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作。

4、集合元素的基本性质：确定性、互异性、无序性。

5、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合。

6、常用数集的表示------------牢记，熟记

自然数集（非负整数集）；正整数集或；整数集；有理数集；实数集；正实数集，均是无限集。

二、集合的表示法

1、列举法：适用于有限集，且元素个数不多，或者是无限集，元素个数较多，但呈现一定规律，列出几个元素作为代表，其余用“”代替。

2、描述法：

元素的特征性质：如果在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于的元素都不具有性质，则叫做集合的一个特征性质。

是集合的一个特征性质，集合可以表示为，它表示的集合为在集合中具有性质的所有元素构成的。

注意：若元素的范围为时，可以省略。

★经典例题：

例一、现已知一个集合为，则实数满足的条件为          。【】

解：由于元素的互易性，因此得到关系，从而解得。

例二、用适当的符号填空：

    ；    ；    ；    ；    。

例三、给定集合，定义。若，

，则集合的所有元素之和为           。【15】

解：题意为从集合中任意选取一个元素，与集合中的任意一个元素作差，所得元素为集合的元素，这里要注意元素的互异性。

    故

即，元素之和为15。

例四、设集合若已知，且，求实数。

解：由于，故有，解得或。

但题目要求，因此，即。因此。

例五、实数集满足条件：，若，则。

（1）若，求；

（2）集合能否为单元素集合？若能，求出；若不能，说明理由；

（3）求证：。

解：（1）由题意知，若，则。因此，则有。

由，则。由，则。因此

   （2）若让集合为单元素集合，必须满足。整理得到，

        验证，因此没有满足上述方程，即集合不能为单元素集合。

   （3）由于题意有若，则。

因此当时，可有。

例六、以下集合各代表什么：

①——偶数

②——奇数    这些均是数集，与代表元素的不同没有关系。

③——奇数

④——点集（有序数对集合）

  几何意义：满足直线图像上所有的点；

  代数意义：满足二元一次方程的解。

例七、若集合中，仅有一个元素，则        【】

        【】

解：题意可只两个条件，其一是仅有一个元素，即方程只有一个解。其二为单元素即为。

因此得到两个关系式：将代入方程有和，

从中求出。

例八、已知集合，其中为常数，且。

（1）若是空集，求的范围；

（2）若中只有一个元素，求的范围；

（3）若中至多只有一个元素，求的范围。

解：（1）因为是空集，则必须要求方程无实根，即，

        因此。

   （2）若中只有一个元素，此时需要讨论是否为0。

        当时，方程为，解得，符合题意；

        当时，方程为，要求，即。

        综上所述，或。

   （3）若中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。只要综合（1）（2）的答案即可。故的取值范围是或。

 

三、子集和真子集

1、子集：集合中的任何一个元素都是集合的元素，则集合叫做集合的子集。

         记作：或

         读作“包含于” 或“包含”

         若集合中存在着不是集合的元素，则集合不是集合的子集。

         记作：或

注意：（1）自身性：，任何集合是它本身的子集。

     （2）规定：，空集是任何子集的真子集。

（3）与区别： 是从属关系，表示元素与集合之间的关系，

                       是包含关系，表示集合与集合之间的关系。

2、真子集：若集合是集合的子集（简化：若，数学语言的简洁），并且集合中至少含有一个元素不属于集合，则集合是集合的真子集。

           记作：或

           读作“真包含于” 或“真包含”

注意：（1）空集是任何非空集合的真子集。

                    

（2）  

              

3、韦恩图：

包含关系的传递性

，则；   维恩图表示

，则

 

集合之间的关系，用维恩图表示

4、个数规律：（表示集合的元素个数）

5、集合相等：

   ，则

★经典例题：

例一、判断下列集合是否为同一个集合

①  --------------不是，一个是点集，一个是数集

② --------------不是，元素范围不同

③----------不是，一个是点集，一个是数集

④------------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关

例二、用适当的符号填空：

    ；    ；    ；    ；

    ；    

例三、若集合，且，则     【或】

解：依题，则，或，解出；

由于元素具有互异性，故舍去1。

例四、已知集合，若，则实数的取值集合为   

【】

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

          ②由确定，应往左画（若为，则往右画），进而开始实验；

          ③得到初步试验结果；

          ④验证端点。

  

试验得到：，当时，由于集合也不含有4，故满足。

综上所述，。

例五、满足的集合为         【】

解：因为，因此中必须含有1这个元素。又知道

故得到。（不满足真子集的要求）

 

四、集合的运算

1、交集：一般地，对于两个给定集合，由属于又属于的所有元素构成的集合，叫做的交集。

记作：     

读作“交”

，

             交集为

                                         在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！

2、交集的性质：

         

；      

   如果，则。

3、并集：一般地，对于两个给定集合，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做 的并集。

记作：     

读作“并”

     

 

                                           只要是线下面的部分都要！

4、并集的性质：

         

；      

   如果，则

5、补集：如果给定的集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集。

记作“”

读作：“在中的补集”

6、补集的性质：

  

★经典例题：

例一、已知集合，

则等于          【】

解：，故。

例二、设集合，，

则        【】

解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数，

故，因此取交集后，得到的结果应为。

例三、，，若，

则实数的取值范围是           【】

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

          ②由确定，应往左画（若为，则往右画），进而开始实验；

          ③得到初步试验结果；

          ④验证端点。

试验得到的结果为，验证端点，当时，由于集合不含有3，满足交集为。

综上所述，的取值范围是。

例四、求满足，且的集合。

      【或】

解：由于，则可以推得中必有，没有。

又有，则或

例五、集合,,若,则的值为        【4】

解：∵,,∴∴

例六、设集合，则     【】

解：表示平面上满足的无数点，其中。

又表示平面上满足上的全部点，故补集为

这组有序数对。

例七、已知集合，且，

      求实数的值。【】

解：观察集合，可知，又有，则。

将0代入，得到，反解，得到或1。

由于，，则。

将代入，解得。

例八、已知集合，若，求实数的取值范围。【或】

解：①当时，方程无解，，解得或；

    ②当时，方程有一个解，，解得；

    综上所述的取值范围为或。

 

第二篇：高一数学集合知识点总结

一．知识归纳：

1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3）集合的分类：有限集，无限集，空集。 4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；

2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）

3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

5）补集：CUA={x| x A但x∈U}

注意：①? A，若A≠?，则? A ；

②若 ， ，则 ；

③若 且 ，则A=B（等集）

3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。

4．有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

5．交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A； ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；

6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：

【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z}；对于集合N：{x|x= ,n∈Z}

对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合 ， ，则（ B ）

A．M=N B．M N C．N M D．

解：

当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

A）1 B）2 C）3 D）4

分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为

A）5个 B）6个 C）7个 D）8个

变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .