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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列典型例题素材 北师大版必修5

【例1】已知为等比数列，，则          ．

【解析】方法1：

∴

方法2：，

方法3：为等比数列

【例2】等比数列中，，，求数列的通项公式．

【解析】方法1：设公比为，

  解得  

则 或

方法2：设公比为，知。

  解得 或进而求出和．

【例3】已知等比数列满足，且，则当时，（    ）

A．             B．           

C．                  D．

【解析】由得，，则,，

选C．

【例4】 等比数列同时满足下列三个条件：

⑴   ⑵  ⑶三个数成等差数列．试求数列的通项公式。

【解析】，或

又成等差数列，…………①

当时， 代入①

（成立），

当时， 不成立．  

           

 

第二篇：20xx年新课标高考数学题型全归纳：如何由递推公式求通项公式典型例题

如何由递推公式求通项公式

高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。

下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。

类型一：an?1?an?f(n) 或 an?1?g(n) an

分析：利用迭加或迭乘方法。即：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?……+(a2?a1)?a1 或an?anan?1a2……a1 an?1an?2a1

11，求数列?an?的通项公式。 ,an?1?an?22n?n

(n?1)an （2）已知数列?an?满足a1?1,sn?，求数列?an?的通项公式。 2例1.(1) 已知数列?an?满足a1?

解：（1）由题知：an?1?an?1111 ???2n?nn(n?1)nn?1

?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?……+(a2-a1)?a1 ?(1111111?)?(?)?……?(?)?n?1nn?2n?1122 ?

（2）31? 2n2sn?(n?1)an

?2sn?1?nan?1(n?2)

两式相减得：2an?(n?1)an?nan?1(n?2) ann?(n?2) an?1n?1

anan?1a2?……?a1 ?an?an?1an?2a1

nn?12?……?1 ?n?1n?21

?n 即：

类型二：an?1?pan?q(其中p,q为常数，pq(p?1)?0)

分析：把原递推公式转为：an?1?t?p(an?t),其中t=

比数列求解。 q，再利用换元法转化为等1?p

例2.已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求?an?的通项公式。 解：由an?1?2an?3 可转化为：

an?1?3?2(an?3)

令bn?an?3,则b1=a1+3=4且bn+1=2bn

??bn?是以b1=4为首项，公比为q=2的等比数列

?bn?4?2n?1?2n?1

即 an?2n?1?3

类型三：an?1?pan?f(n)(其中p为常数)

分析：在此只研究两种较为简单的情况，即f(x)是多项式或指数幂的形式。

（1）f(x)是多项式时转为an?1?A(n?1)?B?p(an?An?B)，再利用换元法转为等比数列

（2）f(x)是指数幂：an?1?pan?rqn?1(pqr?0)

若p?q时则转化为an?1an?n?r，再利用换元法转化为等差数列 n?1qq

qr p?q若p?q时则转化为an?1?tqn?1?p(an?tqn),其中t?

例3.（1）设数列?an?中，a1?1,an?1?3an?2n?1，求?an?的通项公式。

（2）设数列?an?中，a1?1,an?1?3an?2，求?an?的通项公式。 n

解：（1）设an?1?A(n?1)?B?3(an?An?B)

?an?1?3an?2An?2B?A

与原式比较系数得：??2A?2?A?1?? ?2B?A?1?B?1

即an?1?(n?1)?1?3(an?n?1) 令bn?an?n?1,则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3 ??bn?是b1=3为首项，公比q=3的等比数列 ?bn?3?3n?1?3n

即:an?3?n?1n

(2)设an?1?t2n?1?3(an?t2n)

展开后得：an?1?3an?2n

对比得：t?1

?an?1?2n?1?3(an?2n)

令bn?an?2n,则bn?1?3bn,且b1=a1?21?3 ??bn?是b1=3为首项，公比q=3的等比数列 ?bn?3?3n?1?3n

即:an?3?2

rnn 类型四：an?1?pan(p?0,an?0)

分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：lgan?1?rlgan?lgp，再采用类型二进行求解。

例4.设数列?an?中，a1?1,an?1?

解：由an?1?12?an(a?0)，求?an?的通项公式。 a12?an，两边取对数得: a

1 lgan?1?2lgan?lg a

设lgan?1?t?2(lgan?t)展开后与上式对比得：t?lg1 a

11?2(lgan?lg) aa

11 令bn?(lgan?lg)，则bn?1?bn,且b1=lg aa

1 ??bn?是b1=lg为首项，公比q=2的等比数列 a ?原式可转化为lgan+1+lg

?bn?2n?1111?lg，即lgan?lg?2n?1?lg aaa

1?2n?1 也即an?a

类型五：an?1? f(n)an g(n)an?h(n)

分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。

an?1，求?an?的通项公式。 3an?1?1

13an?1?11 解：原式两边取倒数得： ??3?anan?1an?1

1 设bn =,则bn-bn-1=3,且b1=1 an

1 ??bn?是b1=为首项，公差d=2的等差数列 3 例5.已知数列?an?满足：a1?1,an?

?bn?1?(n?1)?3?3n?2

即an?

1 3n?2