三角函数图象与性质
要求:1、能正确画出,,的图象
2、给定条件,能够求,,的定义域、值域、单调区间;
3、给定条件,能够求中的。
4、掌握正弦余弦函数图象平移法则,区分先平移后伸缩与先伸缩后平移之间的差别。
5、结合图象,会求诸如的取值范围。
6、会作出含有绝对值的正弦、余弦、正切函数图象。如,
三角函数的图象和性质
1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
2、用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点.如下表所示.
3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
4、函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:
题型一 三角函数的图像
1、[2014·四川卷] 为了得到函数y=sin (2x+1)的图像,只需把函数y=sin 2x的图像上所有的点( )
A.向左平行移动 B.向右平行移动 C.向左平行移动1 D.向右平行移动1
2、[2014·辽宁卷] 将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数( )
A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增
3、[2014·浙江卷] 为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像( )
A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移
4、(2013山东)将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为
(A) (B) (C)0 (D)
5、(2013四川)函数的部分图象如
图所示,则的值分别是( )
(A) (B) (C) (D)
6、下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( )
(A) (B) (C) (D)
7、函数的图象为C,如下结论中正确的是_________ (写出所有正确结论的编号).
(1)图象C关于直线对称; (2)图象C关于点对称;
(3))内是增函数; (4)由的图象向右平移可以得到图象C.
题型二 三角函数的单调性、周期性、奇偶性和对称性
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:
①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式.
sin 2α= ; cos 2α= = = ;
= = =
函数f(x)=asin α+bcos α(a,b为常数),可以化为f(α)= (其中tan φ=)
例1、[2014·江西卷] 已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.
(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.
例2、[2014·福建卷] 已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.
(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值; (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
(3)求函数f(x)的对称轴、对称中心
例3、[2014·重庆卷] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
1、[2014·全国卷] 设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
2、已知函数的部分图象如题(6)图所
示,则( )
A. =1 = B. =1 =-
C. =2 = D. =2 = -
3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
4、(2013大纲版)已知函数,下列结论中错误的是( )
(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称
(C)的最大值为 (D)既奇函数,又是周期函数
5、函数的值域为
6、函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为
7、(20##年高考江西卷(理))函数的最小正周期为为_________.
8、(2013陕西)向量, 设函数. f (x)的最小正周期____
9、(2013天津)已知函数,求f(x)的单调增区间____
10、已知函数的最小正周期为.求的值____
11、[2014·北京卷] 设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.
12、已知函数()的最小正周期为,将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,函数在区间上的最小值
12、(2013湖南)已知函数.
(I)若是第一象限角,且.求的值; (II)求使成立的x的取值集合.
13、[2014·天津卷] 已知函数f(x)=cos x·sin-cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
14、[2014·山东卷] 已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图像过点和点.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
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