高中数学选修4-4知识点总结
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系:
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结:
1.伸缩变换:设点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点,叫做极点;自极点引一条射线叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。
3.点的极坐标:设是平面内一点,极点与点的距离叫做点的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的叫做点的极角,记为。有序数对叫做点的极坐标,记为.
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.
4.若,则,规定点与点关于极点对称,即与表示同一点。
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互化:
6。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ;
在极坐标系中,以 为圆心, 为半径的圆的极坐标方程是 ;
在极坐标系中,以 为圆心,为半径的圆的极坐标方程是;
7.在极坐标系中,表示以极点为起点的一条射线;表示过极点的一条直线.
在极坐标系中,过点,且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.
8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值,由这个方程所确定的点都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9.圆的参数方程可表示为.
椭圆的参数方程可表示为.
抛物线的参数方程可表示为.
经过点,倾斜角为的直线的参数方程可表示为(为参数).
10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.
1.极坐标与直角坐标的互化:
2。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心,为半径的圆的极坐标方程是 ;
在极坐标系中,以 为圆心, 为半径的圆的极坐标方程是 ;
在极坐标系中,以 为圆心,为半径的圆的极坐标方程是;
3.在极坐标系中,表示以极点为起点的一条射线;表示过极点的一条直线.
在极坐标系中,过点,且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.
4.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值,由这个方程所确定的点都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
5.圆的参数方程可表示为.
椭圆的参数方程可表示为.
抛物线的参数方程可表示为.
经过点,倾斜角为的直线的参数方程可表示为(为参数).
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