第三章  三角函数

3.1任意角三角函数

一、知识导学

1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.

2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值，其中是以作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.

3．弧度与角度的换算：；；1.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.

4．弧长公式、扇形面积公式：,其中为弧长，为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当时的情形.

5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是.这六个函数统称为三角函数.

6．三角函数的定义域

7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）

可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.

二、疑难知识导析

1．在直角坐标系内讨论角

（1）角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.

（2）与角终边相同的角的集合表示.

，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差整数倍.

2．值得注意的几种范围角的表示法

“0～间的角”指；“第一象限角”可表示为；“小于90的角”可表示为.

3．在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.

4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.

5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与的同名三角函数值相等；（2），故有，这是三角函数中最基本的一组不等关系.

6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？

三、经典例题导讲

[例1]　若A、B、C是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数是（　　）

①.　　②.　　③.　　④.

A．1            B.2           C.3           D.4

正解：法1在中，在大角对大边，

法2　考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .

[例2]已知角的终边关于轴对称，则与的关系为　　　　　　　　　.

正解：∵角的终边关于轴对称

∴ 即

说明：（1）若角的终边关于轴对称，则与的关系为

（2）若角的终边关于原点轴对称，则与的关系为

（3）若角的终边在同一条直线上，则与的关系为

 [例4]已知角的终边经过，求的值.

正解：若，则，且角在第二象限

若，则，且角在第四象限

[例5]　（1）已知为第三象限角，则是第　　　象限角，是第　　　象限角；

（2）若，则是第　　　象限角.

解：（1）是第三象限角，即

，

当为偶数时，为第二象限角

当为奇数时，为第四象限角

而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.

（2）因为，所以为第二象限角.

点评：为第一、二象限角时，为第一、三象限角，为第三、四象限角时，为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.

.

[例7]已知是第三象限角，化简。

解：原式＝＝

又是第三象限角，

所以，原式＝。

点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能

使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.

[例8]　若角满足条件，则在第（　　）象限

A.一　　　　　　　　B.二　　　　　　　　　C.三　　　　　　　　　　D.四

解：角在第二象限.故选B.

四、典型习题导练

1．已知钝角的终边经过点，且，则的值为    ）

       A．  B．         C．      D．

2．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（    ）

A.-α      B.л-α       C.（2kл+1）л-α(k∈Z)      D.kл-α（k∈Z）

3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（    ）

A．[2k－，2k +]                 B.( 2k－,2k+)

C.( 2k－，2k+)∪      D.以上都不对

4．当0＜x＜时,则方程cos (cosx)=0的解集为(     )

A.         B.       C.       D.

6．已知x∈(0, ),则下面四式: 中正确命题的序号是        .

①sinx＜x＜tgx        ②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)

③sin³x+cos³x＜1      ④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx

7．有以下四组角：(1)k+；(2)k-；(3)2k±；(4)-k+(k∈z)其中终边相同的是（   ）

A.(1)和(2)                  B.(1)、(2)和(3)   

C.(1)、(2)和(4)              D.(1)、(2)、(3)和(4)

8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（   ）

A.              B.－       C.－        D.－

9．函数y= 的定义域是______,值域是______.

3.2三角函数基本关系式与诱导公式

一、知识导学

1．同角三角函数的基本关系式

平方关系：；商数关系：；倒数关系：

   同角三角函数的基本关系式可用图表示

   （1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；

   （2）对角为倒数关系；

   （3）每个三角函数为相邻两函数的积.

2．诱导公式()

 诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.

3．诱导公式解决常见题型

 （1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；

 （2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.

二、疑难知识导析

1．三角变换的常见技巧

    “1”的代换；，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式）；

2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；

3．已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.

三、典型例题导讲

[例1]已知__________

正解：

    两边同时平方，有

    求出∴

[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值

正解：由  ①²+②²得a²sin²B+b²cos²B=1

∴cos²B=    ∴sin²B=    ∴tan 2B=

∵B为锐角  ∴tan B= 

得tan A=tan B=

 [例4]已知=2，求

（1）的值；   （2）的值．

解：（1）∵ tan=2, ∴ ;

所以=；

（2）由(I), tanα=－, 所以==.

点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.

[例5]化简：

正解：原式

（1）当，时

原式+

=0

（2）当，时

原式+

+=0

[例6]若，则=（   ）

A．            B．            C．            D．

正解：=

=—=—1+2=—.故选A.

四、典型习题导练

1． 当0＜x＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为(   )

A.         B.       C.       D.

2．在中，已知，给出以下四个论断： 

①                                         ②

③                                   ④

其中正确的是

A．①③                   　B.②④                      C.①④                  D.②③

3．设,且,则

A.      B.      C.     D.

4．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依

   次记为P₁，P₂，P₃，…，则|P₂P₄|等于（ ）

A．          B．2        C．3      D．4

5．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x．

  (1) 求f()的值；      (2) 设∈(0，)，f()＝，求sin的值．

6．已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，

sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

3.3三角函数的恒等变换

一、知识导学

  1.两角和、差、倍、半公式

（1）       两角和与差的三角函数公式

 

 

 

（2）       二倍角公式

      

      

（3）       半角公式

         ，   ，  

       

  2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.

二、疑难知识导析

1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.

2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.

 3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例、、等.

 4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、

，等，注意到倍角的相对性.

 5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.

 6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式

    (1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.

(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.

三、典型例题导讲

[例1] 在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则ÐC的大小应为(    )

    A．           B．           C．或         D．或

正解：A

[例2] 已知tana tanb是方程x²+3x+4=0的两根，若a，bÎ(-)，则a+b=（    ）

    A．           B．或-     C．-或         D．-

正解：D.

[例3] △ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（    ）

    A.           B.          C.或          D.

 

正解：A

[例4] 已知，（），则（　　）

A、       B、      C、      D、

正解：C

四、典型习题导练

1.已知集合M=，N=则MUN等于（　　）

A．M          B.N            C.ф            D.

2.若sinα+cosα=,则tanα+cotα=( 　     )

A.1            B.2            C.-1            D.-2

3.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为(     )

A.或-         B.-           C.         D.以上都不对

4.已知θ=,则=           .

5.计算sinsin=          .

6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（　　）

A．     B． C．     D．

7．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（   ）

       A．锐角三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形  D．形状不确定

3.4三角函数的图像与性质

一、知识导学

 1.三角函数线.设角的终边与单位圆交于点，过点做轴于，过点做单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于点，则有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线.

 2.三角函数的图像

（1）四种图像

（2）函数的图像

①“五点作图法”

②图像变化规律

3.三角函数的定义域、值域及周期

4.三角函数的奇偶性和单调性

二、疑难知识导析

1.+中，及，对正弦函数图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.

 如：向右平移个单位，应得，而不是

2.用“五点法”作图时，将看作整体，取，来求相应的值及对应的值，再描点作图.

3.的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中的各个参数.

4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.

5.求三角函数的值域是常见题型.一类是型，这要变形成；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.

6.单调性的确定，基本方法是将看作整体，如求增区间可由解出的范围.若的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.

7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.

     

三、典型例题导讲

[例1] 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（   ）

  A  向右平移   B  向右平移  C  向左平移   D向左平移

正解：B

[例2]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对称的三角函数有（      ）个.

    A．1                B．2                C．3                D．4

正解：D

[例3]函数为增函数的区间是 (     )

A.        B.       C.     D.

正解： C

            3.5解三角形及三角函数的应用

一、知识导学

1.解三角形的的常用定理:

(1)  内角和定理:结合诱导公式可减少角的个数.

(2) 正弦定理: （指△ABC外接圆的半径）

        

(3) 余弦定理:  及其变形.

(4) 勾股定理: 

三、经典例题导讲

[例1]已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，

且、，则的值是_________________.

正解：  ，

          是方程的两个负根

           又   即

           由===可得

[例2]函数f(x)=的值域为______________.

正解：

[例4] ＝　　

解：

＝

＝

[例3] 在锐角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,

=,求证：a+

解：∵B=60°  ∴A+C=120°  cos(A+C)=-

又由已知=　∵锐角△ABC中，cosA＞0，cosC＞0，

∴cosAcosC=    sinAsinC=

∴cos(C－A)=   即C－A=30°

∴A=45°   B=60°   C=75°

∴a+b=2R(sin45°+sin60°)=2·2R=2·2Rsin75°=2c

四、典型习题导练

1.在Rt△ABC中,C=90°,则sinAcos2(45°－)-sincos

A.有最大值和最小值0                B.有最大值但无最小值

C.即无最大值也无最小值                D.有最大值但无最小值

2.要得到y=sin2x的图像,只需将y=cos(2x-)的图像 (     )

A.向右平移     B.向左平移      C.向右平移    D.向左平移

4.在△ABC中,sin=,则△ABC的形状为                ．

5.直角三角形的周长为定值2l,则斜边的最小值是             .

6．在分别是角A、B、C的对边，设，求sinB的值.