必修2

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，

如五棱柱

特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

特征：①上下底面是相似的平行多边形  ②侧面是梯形    ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；

③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

特征：①球的截面是圆； ②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

　　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

       

     

    

           

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

               

  

（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=

（5）边长为的等边三角形面积

5、四个公理：

①　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

②　过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。

③　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。

④　平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。

6、等角定理：

空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补(如图)

7、两条直线的位置关系：

直线与平面的位置关系：

（1）直线在平面上；

（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交）

两个平面的位置关系：

（1）两个平面平行；       （2）两个平面相交

8、直线与平面平行：

定义　一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。

判定　平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。

性质　一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

9、平面与平面平行：

定义　两个平面没有公共点，则这两平面平行。

判定　若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行。      

性质　    ①　如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。

              ②    如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。

10、直线与平面垂直：

       定义　如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

判定　一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

性质　①垂直于同一平面的两条直线平行。

       　②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。

11、平面与平面垂直：

定义　两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。

判定　一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质　两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

12、三角形的五“心”

（1）为的外心（各边垂直平分线的交点）.外心到三个顶点的距离相等

（2）为的重心（各边中线的交点）.重心将中线分成2：1的两段

（3）为的垂心（各边高的交点）.

（4）为的内心（各内角平分线的交点）. 内心到三边的距离相等

（5）为的的旁心（各外角平分线的交点）.

13、直线的斜率：

(1) 过两点的直线，斜率，（）

（2）已知倾斜角为的直线，斜率（

（3）曲线在点（处的切线，其斜率

14、直线位置关系：已知两直线，则

　　特殊情况：（1）当都不存在时，；（2）当不存在而时，

  15、直线的五种方程 ：

          ①点斜式 (直线过点，斜率为)．

          ②斜截式    (直线在轴上的截距为，斜率为).

          ③两点式 (直线过两点与).

          ④截距式（分别是直线在轴和轴上的截距，均不为0）

          ⑤一般式(其中A、B不同时为0)；可化为斜截式：

16、距离公式：

（1）平面上两点间的距离公式：

|AB|=

（2）空间两点距离公式

|AB|=

（3）点到直线的距离  (点，直线：).

17、两条平行直线与间的距离公式：

注：求直线的平行线，可设平行线为，求出即得。

18、求两相交直线与的交点：

解方程组

19、圆的方程：

    ①圆的标准方程.  其中圆心为，半径为

    ②圆的一般方程.

    其中圆心为，半径为，其中＞0

20、直线与圆的位置关系

（1） ;

（2）;

（3）.

21、直线与圆相交于两点，求弦AB长度的公式：

（1）

（2）（结合韦达定理使用），其中是直线的斜率

22、两个圆的位置关系：

设两圆的圆心分别为O₁，O₂，半径分别为r₁，r₂，

1）;         

2）;

3）; 

4）;

5）

 

第二篇：高中数学必修2复习提纲

 高中数学必修2复习提纲

第一章   空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图

1、 三视图：   正视图：从前往后；     侧视图：从左往右；      俯视图：从上往下。

2、 画三视图的原则：      长对齐、高对齐、宽相等

3、直观图：斜二测画法

4、斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

                 （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；

                 （3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积

（一 ）空间几何体的表面积

1、棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2、圆柱的表面积

3、圆锥的表面积

4、圆台的表面积

5、球的表面积

（二）空间几何体的体积

1、柱体的体积  

2、锥体的体积   

3、台体的体积  

4、球体的体积  

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1、平面含义：平面是无限延展的

2、平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45⁰，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3、三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

                               

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，

使

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1、空间的两条直线有如下三种关系：

            相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：  不同在任何一个平面内，没有公共点。

2、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4、注意点：① 与所成的角的大小只由、的相互位置来确定，与的选择无关，             

              为了简便，点一般取在两直线中的一条上；

           ② 两条异面直线所成的角；

           ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，

              记作a⊥b；

           ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

           ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示

                    

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

                                       符号表示：

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

                            

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L⊥，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

 

L

     p

   

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

            b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

  A         

                 

  B

　　         

2、二面角的记法：二面角或

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

 

                              

第三章  直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线与轴相交时, 取轴作为基准, 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.特别地,当直线与轴平行或重合时, 规定.

2、 倾斜角α的取值范围：.当直线l与x轴垂直时, .

3、直线的斜率:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

⑴当直线l与x轴平行或重合时, , ；

⑵当直线l与x轴垂直时, , 不存在.

由此可知, 一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点,用两点的坐标来表示直线的斜率：

斜率公式:             

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即。

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果, 那么一定有。

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即。

3.2.1  直线的点斜式方程

1、  直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为

2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为

3.2.2  直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点其中

2、直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中

3.2.3  直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）

2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标

L1：3x+4y-2=0

L1：2x+y +2=0                                                                                                        

解：解方程组                     

                                                                         得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）

3.3.2          两点间距离

两点间的距离公式：

3.3.3          点到直线的距离公式

1．点到直线距离公式：

点到直线的距离为：

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线和的一般式方程为：，

：，则与的距离就是在上任取一点

，点P到的距离就是直线与之间的距离

圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程：，圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

4.1.2  圆的一般方程

1、圆的一般方程： 

2、圆的一般方程的特点：

 (1)、①和的系数相同，不等于0．　②没有xy这样的二次项．

 (2)、圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

 (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，直线与圆相离；

（2）当时，直线与圆相切；

（3）当时，直线与圆相交；

4.2.2  圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，圆与圆相离；

（2）当时，圆与圆外切；

（3）当时，圆与圆相交；

（4）当时，圆与圆内切；

（5）当时，圆与圆内含；

4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标

2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点到点之间的距离公式