等差数列知识点总结和题型分析

等差数列

一．等差数列知识点：

知识点1、等差数列的定义:

①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法:

②定义法：对于数列?an?，若an?1?an?d(常数)，则数列?an?是等差数列 ③等差中项：对于数列?an?，若2an?1?an?an?2，则数列?an?知识点3、:

④如果等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为

an?a1?(n?1)d 该公式整理后是关于n的一次函数

知识点4、等差数列的前n项和: ⑤Sn?n(a1?an)n(n?1) ⑥Sn?na1?d 22

对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:

⑥如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项A?a?b或22A?a?b

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m?n，公差为d，则有an?am?(n?m)d

⑧ 对于等差数列?an?，若n?m?p?q，则an?am?ap?aq

也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

⑨若数列?an?是等差数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差数列

1

S3k?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k ???????????????????????

SkS2k?SkS3k?S2k

* 10、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则S2n???n?an?an?1?，

??2n?1?an，且且S偶?S奇?nd，

S奇

S偶S奇S偶?an?an?1．②若项数为2n?1n???*?，则S2n?1S奇?S偶?an，n（其中S奇?nan，S偶??n?1?an）． n?1

二、题型选析：

题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）

1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ )

A . -1 B . 1 C .-2 D. 2

2．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为 （ ）

A．49 B．50 C．51 D．52

3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）

A．92 B．47 C．46 D．45

4、已知等差数列{an}中，a7?a9?16,a4?1,则a12的值是( )

( )

C 31 D 64 A 15 B 30

5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）

888A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3 333

6、.在数列{an}中，a1?3，且对任意大于1的正整数n，点(an,an?1)在直x?y?3?0 上，则an=_____________.

7、在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．

8、等差数列?an?的前n项和为Sn，若a2?1,a3?3,则S4＝（ ）

（A）12 （B）10 （C）8 （D）6

9、设数列?an?的首项a1??7,且满足an?1?an?2 (n?N)，则a1?a2???a17?______.

10、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a511、已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn

2

12、设Sn为等差数列?an?的前n项和，S4＝14，S10?S7?30，则S9＝.

题型二、等差数列性质

1、已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ）

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

2、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?35，则a4?（ ）

A．8 B．7 C．6 D．5

3、 若等差数列?an?中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4,则a7?__________.

4、记等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4，S4?20，则该数列的公差d=（ ）

A．7 B. 6 C. 3 D. 2

5、等差数列{an}中，已知a1?1，a2?a5?4，an?33，则n为（ ） 3

（A）48 （B）49 （C）50 （D）51

6.、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

7、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若

A．1 B．－1 C．2 D．a55S?,则9?（ ） a39S51 2

8、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )

A．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51

9、如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d?0，则( )

（A）a1a8?a4a5 （B）a8a1?a4a5 （C）a1+a8?a4+a5 （D）a1a8=a4a5

10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和

为390，则这个数列有（ ）

（A）13项 （B）12项 （C）11项 （D）10项

题型三、等差数列前n项和

1、等差数列?an?中，已知a1?a2?a3???a10?p，an?9?an?8???an?q，则其前n项和Sn? ．

2、等差数列?2,1,4,?的前n项和为 （ ） 1111A. n?3n?4? B. n?3n?7? C. n?3n?4? D. n?3n?7? 2222

3、已知等差数列?an?满足a1?a2?a3???a99?0，则 （ ）

A. a1?a99?0 B. a1?a99?0 C. a1?a99?0 D. a50?50

4、在等差数列?an?中，a1?a2?a3?15,an?an?1?an?2?78，Sn?155，

3

则n? 。

5、等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?2,S4?10,则S6等于（ ）

A．12 B．18 C．24 D．42

6、若等差数列共有2n?1项?n?N*?，且奇数项的和为44，偶数项的和为33， 则项数为 （ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

7、 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?

aS7n8、 若两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别是Sn，Tn，已知n?，则5等b5Tnn?3

于（ ）

Ａ．7 Ｂ．2 327 821 4Ｃ．Ｄ．

题型四、等差数列综合题精选

1、等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10?30,a20?50.

（Ⅰ）求通项an； （Ⅱ）若Sn=242，求n.

2、已知数列{an}是一个等差数列，且a2?1，a5??5。

（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前n项和Sn的最大值。

3、设?an?为等差数列，Sn为数列?an?的前n项和，已知S7?7，

S15?75，Tn为数列??Sn??的前n项和，求Tn。 n??

4、已知?an?是等差数列，a1?2，a3?18；?bn?也是等差数列，a2?b2?4，

4

（1）求数列?bn?的通项公式及前n项和Sn的公式； b1?b2?b3?b4?a1?a2?a3。

（2）数列?an?与?bn?是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。

5、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.

(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

6、已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设bn?

整数m； ?'3m?,Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正anan?120

五、等差数列习题精选

1、等差数列{an}的前三项依次为x，2x?1，4x?2，则它的第5项为（ ）

A、5x?5 B、2x?1 C、5 D、4

2、设等差数列{an}中，a4?5,a9?17,则a14的值等于（ ）

A、11 B、22 C、29 D、12

3、设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，

则a11?a12?a13?( )

5

A．120 B．105 C．90 D．75

4、若等差数列{an}的公差d?0，则 （ ）

（A） a2a6?a3a5 （B） a2a6?a3a5

（C） a2a6?a3a5 （D） a2a6与a3a5的大小不确定

n恒成立，则实数?5、 已知?an?满足，对一切自然数n均有an?1?an，且an?n2??

的取值范围是（ ）

Ａ．??0 Ｂ．??0 Ｃ．??0 Ｄ．???3

中，a1?1,公差d?0,若a1,a2,a5成等比数列，则d为 （ ） 6、等差数列?an?

(A) 3 (B) 2 (C) ?2 (D) 2或?2

7、在等差数列?an?中，ap?q,aq?p(p?q)，则ap?q?

A、p?q B、?(p?q) C、0 D、pq

8、设数列?an?是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是

A、1 B、2 C、4 D、8

a?a?a?105,a2?a4?a6?99a9、已知为等差数列，135，则20等于（ ）

A. -1 B. 1 C. 3 D.7

10、已知?an?为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝

11A.－2 B.－ C. D.2 22

11、在等差数列?an?中， a2?a8?4,则 其前9项的和S9等于 （ ）

A．18 B 27 C 36 D 9

12、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（ ）

A．63 B．45 C．36 D．27

13、在等差数列?an?中，a1?a2?a3?15,an?an?1?an?2?78，Sn?155，

则n? 。

14、数列?an?是等差数列，它的前n项和可以表示为 （ ）

A. Sn?An2?Bn?C B. Sn?An2?Bn

C. Sn?An2?Bn?C?a?0? D. Sn?An2?Bn?a?0?

6

小结

1、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?a?b 2

2、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

；偶数个数成等差，可设为…，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…（公差为d）

a?3d,a?d,a?d,a?3d,…（公差为2d）

3、当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

4、当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.

5、若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N*)、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列，而{aan}成等比数列；

等差数列参考答案

题型一：计算求值

等差数列知识点总结和题型分析

7

题型二、等差数列的性质

1、C 2、D 3、12（a3+a7-a10+a11-a4=8+4=a7=12）

4、C 5、C 6、B 7、A 8、C 9、B

10、A

题型三、等差数列前n项和

1、5n(p+q) 2、B 3、C 4、n=10 5、24

6、S奇/S偶=n/n-1=4/3, n=4

7、45 8、D（a5/b5=S9/T9）

题型四：等差数列综合题精选

1、解：（Ⅰ）由an?a1?(n?1)d,a10?30,a20?50,得方程组

??a1?9d?30, ……4分 解得a1?12,d?2. 所以 an?2n?10. ?a1?19d?50.

n(n?1)d,Sn?242得方程 2

n(n?1) 12n??2?242. ……10分 解得n?11或n??22(舍去). 2（Ⅱ）由Sn?na1?

8

等差数列知识点总结和题型分析

?a1?d?12、解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，由已知条件，得?， a?4d??5?1

解出a1?3，d??2．所以an?a1?(n?1)d??2n?5． n(n?1)（Ⅱ）Sn?na1?d??n2?4n?4?(n?2)2． 2

所以n?2时，Sn取到最大值4．

3、解：设等差数列?an?的公差为d，则 Sn?na1?1n?n?1?d 2 ∵ S7?7，S15?75，

?a1?3d?1 , ?a?7d?5 ,?1

S11 解得 a1??2，d?1。 ∴ n?a1??n?1?d??2??n?1?， n22

?S?SS11 ∵ n?1?n?，∴ 数列?n?是等差数列，其首项为?2，公差为， 2n?1n2?n? ∴ ??7a1?21d?7 , 即 15a?105d?75 ,?1

∴ Tn?n2?n。

4、解：（1）设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2 由a3=a1+2d1得 d1?

所以an?2?8(n?1)?8n?6，所以a2=10, a1+a2+a3=30 1494a3?a1?8 2

?b1?d2?6?b1?3?依题意，得?解得?，所以bn=3+3(n-1)=3n 4?3d?34b?d?30?212?2?

n(b?b)3231nS??n?n. n222

3(m?2)（2）设an=bm,则8n-6=3m, 既n?①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需 8

m+2=8k,k?N?,所以m=8k-2 ，k?N?② ②代入①得，n=3k, k?N?,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切k?N?都成立。

所以，数列?an?与?bn?有无数个相同的项。

53令24k-6<100,得k?,又k?N?，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。 12

5、解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0，故解得d=－2,a1=20.

因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…

?S14?77,?2a1?13d?11,?2a1?13d?11,???（Ⅱ）由?a11?0, 得?a1?10d?0, 即??2a1?20d?0, ?a?6?a?6??2a??121?1?1?

9

由①+②得－7d＜11。即d＞－于是－

111。由①+③得13d≤－1 即d≤－ 713

111

＜d≤－，又d∈Z, 故d=－1，将④代入①②得10＜a1≤12. 713

又a1∈Z,故a1=11或a1=12.

所以，所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

6、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

又因为点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n.

?

3n?1)?2(n?1)＝6n－5. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－（

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?故Tn＝

?

?

2

?

33111

＝＝(?)，

anan?1(6n?5)6(n?1)?526n?56n?1

11111?11?

＝（1－）. (1?)?(?)?...?(?)??277136n?56n?16n?1??i?1

11m1m

因此，要使（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即m

26n?120220

?bi＝

n

1

2

≥10，

所以满足要求的最小正整数m为10

题型五、精选练习

等差数列知识点总结和题型分析

10

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