基本初等函数知识点总结

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中＞1，且∈*．

u  负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

u  0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·                                          ；

（2）                                            ；

（3）                                           ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）

说明：1 注意底数的限制，且；

2 ；

3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数；

2 自然对数：以无理数为底的对数的对数．

u  指数式与对数式的互化

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

1 ·＋；

2 －；

3   ．

注意：换底公式

  （，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制：，且．

2、对数函数的性质：

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

 

第二篇：第三章 基本初等函数知识点总结

第三章基本初等函数

第一讲 幂函数

1、幂函数的定义

一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.

如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

注意：中，前面的系数为1，且没有常数项

2、幂函数的图像

（1）    （2）    （3）   （4）     （5）

         

3、幂函数的性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

第二讲 指数函数

1、指数

（1）n次方根的定义

若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.

（2）方根的性质

①当n为奇数时，=a.   ②当n为偶数时，=|a|=

（3）分数指数幂的意义

①a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.

②a==（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.

2、指数函数的定义

一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.

说明：

因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

   

若＜0，如在实数范围内的函数值不存在.

若=1,  是一个常量，

不符合.

3、 指数函数的图像及其性质

（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.

（2）在（＞0且≠1）值域是

（3）若

（4）对于指数函数（＞0且≠1），总有

（5）当＞1时，若＜，则＜；

第三讲 对数函数

1、  对数

（1）对数的概念

一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作

叫做对数的底数，N叫做真数.

如：，读作2是以4为底，16的对数.

  ，则，读作是以4为底2的对数.

（2）指数式与对数式的关系：

ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.

两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.

（3）对数运算性质:

①loga（MN）=logaM+logaN.　　　　　　　　　②loga=logaM－logaN.

③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）

④对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.

（4）两类对数

①  以10为底的对数称为常用对数，常记为.

②  以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.

  以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.

2、对数函数的概念

一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

3、对数函数的图象及其性质

     

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

由上述表格可知，对数函数的性质如下