1.2.4第二章--基本初等函数(Ⅰ)小结（1）

一、知识网络

1、指数幂的运算性质：

（

.

2、对数函数的运算性质：

（

.

3、基本初等函数的性质：

（1）指数函数性质：

（2）对数函数的性质：

（3）幂函数的性质：

（4）指数函数、对数函数的不等式和方程

（5）同底的指数函数和对数函数互为反函数

二、典型题训练：

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．若a<，则化简的结果是________．

2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是________．

3．函数y＝2＋log₂(x²＋3)(x≥1)的值域为__________________________________．

4．已知2^x＝7^2y＝A，且＋＝2，则A的值是________________________________．

5．已知函数f(x)＝ax²＋(a³－a)x＋1在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是________．

6．设f(x)＝，则f(5)的值是________．

7．函数y＝1＋的零点是________．

8．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为________时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)．

9．某企业20##年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业20##年度产值的月平均增长率为________．

10．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．

11．函数f(x)＝－x²＋2x＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．

12．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________.

13．函数f(x)＝x²－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．

14．设偶函数f(x)＝log_a|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为________．

二、解答题(本大题共6小题，共90分)

15．(14分)(1)设log_a2＝m，log_a3＝n，求a^2m＋n的值；

(2)计算：log₄9－log₂12＋.

16．(14分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.

(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；

(2)求当x<0时，函数的解析式．

17．(14分)已知函数f(x)＝log_a(a>0且a≠1)，

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数的奇偶性和单调性．

18．(16分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.

(1)试判定该函数的奇偶性；

(2)试判断该函数在R上的单调性；

(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．

19．(16分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)．(注：利润与投资量单位：万元)

(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式．

(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

20．(16分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(a^x－b^x)．

(1)求y＝f(x)的定义域；

(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；

(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．

所以1≤x<.

3．[4，＋∞)

解析　∵x≥1，∴x²＋3≥4，∴log₂(x²＋3)≥2，则有y≥4.

4．7

解析　由2^x＝7^2y＝A得x＝log₂A，y＝log₇A，

则＋＝＋＝log_A2＋2log_A7＝log_A98＝2，

A²＝98.又A>0，故A＝＝7.

5．[－，0)

解析　由题意知a<0，－≥－1，－＋≥－1，即a²≤3.

∴－≤a<0.

6．24

解析　f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.

7．－1

解析　由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.

8．2

解析　设窗框的宽为x，高为h，则2h＋4x＝6，

即h＋2x＝3，∴h＝3－2x，

∴矩形窗框围成的面积S＝x(3－2x)＝－2x²＋3x(0<x<)，

当x＝－＝＝0.75时，S有最大值．

∴h＝3－2x＝1.5，∴高与宽之比为2.

9.－1

解析　设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)¹¹，∴x＝－1.

10．m≤2

解析　由函数单调性可知，由f(m＋3)≤f(5)有m＋3≤5，故m≤2.

11．－1

解析　f(x)＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，∵1∈[－2,3]，

∴f(x)_max＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图象的对称性可知，

f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，即f(x)_min＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1.

12．－1

解析　由题意知，f(－x)＝－f(x)，

即＝－，

∴(a＋1)x＝0对x≠0恒成立，

∴a＋1＝0，a＝－1.

13．(0,1]

解析　设x₁，x₂是函数f(x)的零点，则x₁，x₂为方程x²－2x＋b＝0的两正根，

则有，即.解得0<b≤1.

14．f(b－2)<f(a＋1)

解析　∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝log_a|x|.

当a>1时，函数f(x)＝log_a|x|在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；

当0<a<1时，函数f(x)＝log_a|x|在(0，＋∞)上是减函数，

∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．

综上可知f(b－2)<f(a＋1)．

15．解　(1)∵log_a2＝m，log_a3＝n，∴a^m＝2，aⁿ＝3.

∴a^2m＋n＝a^2m·aⁿ＝(a^m)²·aⁿ＝2²·3＝12.

∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

(2)解　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1，

又f(x)为偶函数，

∴f(－x)＝f(x)＝－－1，即f(x)＝－－1(x<0)．

17．解　(1)要使此函数有意义，则有或，

解得x>1或x<－1，此函数的定义域为

(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．

(2)f(－x)＝log_a＝log_a＝－log_a＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

f(x)＝log_a＝log_a(1＋)，

函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．

所以当a>1时，f(x)＝log_a在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；

当0<a<1时，f(x)＝log_a在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．

18．解　(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0)

＝2f(0)，∴f(0)＝0.

令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(2)任取x₁<x₂，则x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)<0，

∴f(x₂)－f(x₁)＝f(x₂)＋f(－x₁)＝f(x₂－x₁)<0，

即f(x₂)<f(x₁)

∴f(x)在R上是减函数．

(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，

∴f(12)最小，f(－12)最大．

又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)

＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，

∴f(－12)＝－f(12)＝8.

∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.

19．解　(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．

由题意，得f(x)＝k₁x，g(x)＝k₂.

由题图可知f(1)＝，∴k₁＝.

又g(4)＝1.6，∴k₂＝.

从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．

(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，该企业利润为y万元．

y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)，

令＝t，则x＝10－t²，

于是y＝＋t＝－(t－2)²＋(0≤t≤)．

当t＝2时，y_max＝＝2.8，

此时x＝10－4＝6，

即当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为2.8万元．

20．(1)解　∵a^x－b^x>0，∴a^x>b^x，∴()^x>1.

∵a>1>b>0，∴>1.

∴y＝()^x在R上递增．

∵()^x>()⁰，∴x>0.

∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)证明　设x₁>x₂>0，∵a>1>b>0，

∴ax₁>ax₂>1,0<bx₁<bx₂<1.

∴－bx₁>－bx₂>－1.∴ax₁－bx₁>ax₂－bx₂>0.

又∵y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，

∴lg(ax₁－bx₁)>lg(ax₂－bx₂)，即f(x₁)>f(x₂)．

∴f(x)在定义域内是增函数．

(3)解　由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，

又恰在(1，＋∞)内取正值，

∴f(1)＝0.又f(2)＝lg 2，

 

第二篇：吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.4.2.2正弦、余弦函数l图象与性质小结(2)学案 理 新人教A版必修4

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 4-1.4.2.2正弦、余弦函数l

图象与性质小结（2）学案 理 新人教A版必修4

一、选择题：

1、函数y?3sin(2x??

6)的单调递减区间是 （ ）

A．???k???

12,k??5??

12??(k?Z) B．???k??5?

12,k??11??

12??(k?Z)

C．???k???????2??

3,k??6??(k?Z) D．??k??6,k??3??(k?Z)

2、已知函数f(x)?sinx??

2,g(x)?cos(??x)，则 （ ）

A．f(x)与g(x)都是奇函数 B．f(x)与g(x)都是偶函数

C．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 D．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数

3、若函数y=2sin(8x+θ)+1的图象关于直线x??

6对称，则θ的值为（ ）

A．0 B．?

2 C．kπ(k∈Z) D．kπ+?

6（k∈Z）

4、函数y?sinx

2的最小正周期是（ ）

A． ?

2 B．?

C．

2? D．4?

5、函数y?cos(?

3?2x)的单调递减区间是（ ）

6、已知函数f(x)?sin(?x??

2)?1，则下列命题正确的是（ ）

A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数

C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数

7、函数y?cos(2x?9?

2)是（ ）

A．奇函数非偶函数 B．偶函数非奇函数

C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

二、填空题： 8、函数f(x)=11-8cosx-2sin2x的最大值是______．

9、函数函数y?lg(1

2?sinx)的定义域是．10、若x??3是方程2cos(x??)?1的解,其中??(0,2?),则?=

11、已知函数f(x)?ax3?bsinx?1（a、b为常数），且f(5)=7，则f(?5)= ____.

12、给出下列命题：

1

①函数y?5?

2?2x)是偶函数; ②方程x??

8是函数y?sin(2x?5?

4)的图象的一条对称轴方程;

③若α、β是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ.

其中正确命题的序号是 .（填序号）

13、已知??????4

3?,?????????

3,则2?的取值范围是 .

14、f(x)为奇函数，x?0时,f(x)?sin2x?cosx,则x?0时f(x)? .

15、函数y?cos(x???2

8)(x?[6,3?])的最小值是 ．

16、已知sin??cos??1

8,且?

4????

2,则cos??sin??

18． 画出下列函数的图象

（1）y?1?cosx （2）y?

sin|x|

2

19、若函数y?2cosx(0?x?2?)的图象和直线y?2围城一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积。

20、已知

(1)求函数值域

(2)求函数的单调区间

3