第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，

*

其中n>1，且n∈N．

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作?0。 当n是奇数时，a

n

n

?a(a?0)

?a，当n是偶数时，an?|a|??

?a(a?0)?

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)

mn

，

a

?

mn

?

1a

r

mn

?

1

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

（1）a·a?a

(a?0,r,s?R)；

rsrs

(a)?a（2）

rr?s

r

r

s

(a?0,r,s?R)；

（3）(ab)?aa

(a?0,r,s?R)．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

x

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，

f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

（2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R；

x

（3）对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式）

说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1；

x2 a?N?logaN?x； ○

3 注意对数的书写格式． ○x两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么：

1 loga(M·N)?logaM＋logaN； ○

M?logaM－logaN； N

3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○2 loga○

注意：换底公式

logab?logcb （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）． logca

1n（2）logab?． logab；logamb利用换底公式推导下面的结论 （1）logambn?

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log2x，y?log5x 都不是对数函数，而只能称5

其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 例题：

1. 已知a>0，a

0，函数y=a与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

x

?

log27?2log52

2.计算： ①log32? ;②24?log23= ；255= ;

log2764

1

③0.064??(?7)0?[(?2)3]??16?0.75?0.01 =

1412

8

3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为

2

2

4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,

2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

f(x)?0的

5.已知f(x)?log1?x(a?0且a?1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使

a

x的取值范围.

1?x

 

第二篇：20xx年基本初等函数的图象及函数常用知识点总结

基本初等函数的图象及函数常用知识点总结

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