第一章     控制系统的状态空间表达式

１．           状态空间表达式

n阶　    

A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；

Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；

C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，

D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。

２．           状态空间描述的特点

①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。

④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：

a选择状态变量；

b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；

c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。

３．           模拟结构图（积分器　加法器　比例器）

已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４．           状态空间表达式的建立

①      由系统框图建立状态空间表达式：

a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积

分器的输出选作，输入则为；c由模拟图写出状态方程和输出方程。

②      由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。

利用KVL和KCL列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。

方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式。

注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。

      b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。

      c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。

5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。

　　特征矢量的求解：也就是求的非零解。

　　状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设3阶系统，＝，为单根，对特征矢量，求法与前面相同， 称作的广义特征矢量，应满足。

系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。

6．由状态空间表达式求传递函数阵

　的矩阵函数［］表示第j个输入对第i个输出的传递关系。

状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵是不变的。

子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。

第二章 控制系统状态空间表达式的解

一．线性定常系统齐次状态方程（）的解：

二．矩阵指数函数——状态转移矩阵

1．表示到的转移。5个基本性质。

2．的计算：

a定义；b变换为约旦标准型 ,

c用拉氏反变换   记忆常用的拉氏变换对

d应用凯莱-哈密顿定理

三．线性定常系统非齐次方程（）的解：。可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求，然后将B和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。

第三章　线性控制系统的能控性和能观性

一．能控性及能观性定义（线性连续定常）

二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）

判别方法（一）：通过线性变换　　

1．若A的特征值互异，线性变换（）为对角线标准型，，能控性充要条件：没有全为0的行。　变换矩阵T的求法。

2．若A的特征值有相同的，线性变换（）为约当标准型，，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的中最后一行元素没有全为0的。　②中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的。变换矩阵T的求法。

　　这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求、、。

判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别

　能控的充要条件是　能控性判别矩阵的秩为n。

在单输入系统中，是一个的方阵；

而多输入系统，是一个的矩阵，可通过

三．线性定常系统的能观性判别

判别方法（一）：通过线性变换　　

１．若A的特征值互异，线性变换（）为对角线标准型，，能观性充要条件：中没有全为0的列。　变换矩阵T的求法。

２．若A的特征值有相同的，线性变换（）为约当标准型，，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的中第一列元素没有全为０的。　②对应于互异特征根部分，对应的中各列元素没有全为０的。变换矩阵T的求法。

　　这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求、、。

判别方法（二）：直接从Ａ，C判别

能观性的充要条件是　能观性判别矩阵的秩为n。

在单输入系统中，是一个的方阵；

而多输入系统，是一个的矩阵，可通过

六．能控性与能观性的对偶原理

１．若，，，则与对偶。

对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。

２．与对偶，则能控性等价于能观性，能观性等价于能控性。

七．能控标准型和能观标准型

对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。

１．            能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）

①判别系统的能控性。②计算特征多项式，即可写出。③求变换矩阵，。④求，计算，，也可以验证是否有。

２．            能观标准Ⅱ型

①判别系统的能观性。②计算特征多项式，即可写出。③求变换矩阵，。④求，计算，，也可以验证是否有。

３．            如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。

能控标准Ⅰ型：　　

能观标准Ⅱ型：　　　

八．线性系统的结构分解

1．按能控性分解（状态不完全能控，即），通过非奇异变换完成。

，前个列矢量是M中个线性无关的列，其他列矢量保证非奇异的条件下是任意的。

2．按能观性分解（状态不完全能观，即），通过非奇异变换完成。

，前个行矢量是N中个线性无关的行，其他行矢量保证非奇异的条件下是任意的。

3．按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。

步骤：①首先按能控性分解（能控状态，不能控状态）。②对不能控子系统按能观性分解（不能控能观状态，不能控不能观状态）。③将能控子系统按能观性分解（能控能观状态，能控不能观状态）。④综合各步变换结果，写出最后的表达式。

     另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。

九．传递函数阵的实现问题

1．实现的定义：由写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题。

  条件：①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；②元是s的真有理分式。

注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵。

2．能控标准型和能观标准型实现

    单入单出系统，是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。

3．最小实现（维数最小的实现）

为最小实现的充要条件是是完全能控能观的。

步骤：对给定的，初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分，即为最小实现。

注意：传递函数阵的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。

十．传递函数中零极点对消与能控性和能观性之间的关系

对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的（p147 例3-19）。

对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能控还是不能观，还是既不能控又不能观。

第四章  稳定性与李雅普诺夫方法

一．            稳定性的定义

李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性定义。

1．平衡状态

为齐次状态方程。满足对所有t，都有成立的状态矢量称为系统的平衡状态。

稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。

2．稳定性的几个定义

①李雅普诺夫意义下稳定（相当于自控里的临界稳定）；②渐近稳定（相当于自控里的稳定）；③大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；④不稳定。

二．            李雅普诺夫第一法（间接法）

1．线性定常系统的稳定判据

状态稳定性：平衡状态渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有负实部。

输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于s的左半平面。

2．非线性系统的稳定性

线性化处理。；，若A的所有特征值具有负实部，则原非线性系统在平衡状态渐近稳定。若A的所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态不稳定。若若A的所有特征值至少有实部为零，则稳定性不能有特征值的符号来确定。

三．李雅普诺夫第二法（直接法）   借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出判断。

1．预备知识

是由n维矢量x定义的标量函数，且在处，恒有，对任何非零矢量x，如果，则称之为正定；

如果，则称之为负定；如果则称之为半正定或非负定；如果则称之为半负定或非正定；如果或，则称之为不定。

为二次型标量函数，为实对称阵。要判别的符号只要判别的符号即可。

的定号判据（希尔维特斯判据）：首先求出的各阶顺序主子式，若所有的，则（）正定；若的，的则（）负定；

2．李雅普诺夫函数

对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数，而是负定的，则这个系统是渐近稳定的，这个标量函数叫做李雅普诺夫函数。　

李雅普诺夫第二法的关键问题就是寻找李雅普诺夫函数的问题。

３．稳定性判据

①设，平衡状态为，如果存在标量函数是正定的，即时，有，时，有，且满足，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当时，，则系统是大范围渐近稳定的。

②设，平衡状态为，如果存在标量函数是正定的，即时，有，时，有，且满足，但除外，即，不恒等于０，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当时，，则系统是大范围渐近稳定的。

③设，平衡状态为，如果存在标量函数是正定的，即时，有，时，有，且满足，但任意的，恒等于０，则称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。

④设，平衡状态为，如果存在标量函数是正定的，即时，有，时，有，且满足，，则称原点平衡状态是不稳定的。

需要注意：①这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不能说明原点一定是不稳定的。②如果是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。③最简单的形式是二次型标量函数，但不一定都是简单的二次型。④构造需要较多技巧。

四．李雅普诺夫方法在线性系统中的应用——线性定常连续系统渐近稳定判据

定理：，若A是非奇异的，原点是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵，李雅普诺夫方程，存在唯一的对称正定解。

该定理等价于Ａ的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。

步骤：选定正定矩阵，通常为，代入李雅普诺夫方程，确定出，判断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。

五．非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析——雅可比矩阵法

步骤：，写出，计算雅可比矩阵，对给定正定矩阵（通常），为正定的。并且为系统的一个李雅普诺夫函数。

第五章 线性定常系统的综合

一．线性反馈控制系统的基本结构及其特性

1．状态反馈   将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。K称为状态反馈增益阵，。　设原受控系统，Ｄ=0。

状态反馈闭环系统的状态空间表达式　　　简称

与原受控系统比较，状态反馈增益阵Ｋ的引入，并不增加系统的维数，但可以通过Ｋ的选择改变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。

2．输出反馈　　由输出端y引入输出反馈增益阵H（），然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。状态空间表达式为　　　简称

　　通过Ｈ的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自由度远比Ｋ小（通常）。

３．从输出到状态变量导数的反馈　　　从输出y引入反馈增益阵G（）到状态变量的导数，所得状态空间表达式为　　　简称

通过Ｇ的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。

以上三种反馈的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次，反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为线性反馈。

４．闭环系统的能控性与能观性

a　状态反馈不改变受控系统的能控性，但不保证系统的能观性不变。

b　输出反馈不改变受控系统的能观性，但不保证系统的能控性不变。

二．极点配置问题　　就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所希望的动态性能。　　　只讨论单输入单输出系统

１．采用状态反馈　　对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。

给定，给定期望的极点，设计状态反馈控制器的方法：

⑴能控规范型法，适合于。①首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②通过线性变换化为能控标准１型，得到。③加入状态反馈增益矩阵,得到闭环系统状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式。⑤将与比较，即可得到。⑥把对应与的，通过 。⑦进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，，可直接由反映物理系统的A,b矩阵求状态反馈增益矩阵，不通过非奇异变换，使设计工作简单。①首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②加入状态反馈增益矩阵,得到闭环系统状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式。③由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式。④将与比较，即可得到。⑤进一步画出模拟结构图。

注意，如果给定的是传递函数，则先画出其要求的模拟结构图，写出状态空间描述，然后做其他工作。

2．采用输出反馈

不能任意极点配置，正是输出线性反馈的基本弱点。

３．采用从输出到的反馈　对系统任意配置极点的充要条件是完全能观。

设计从输出到的反馈阵Ｇ的问题就是其对偶系统设计状态反馈阵Ｋ的问题。

方法：（１）能观标准型法，适合于。①首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈Ｇ。②通过线性变换化为能观标准２型，得到。③加入输出反馈增益矩阵,得到闭环系统状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式。⑤将与比较，即可得到。⑥把对应与的，通过 。⑦进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，，可直接由反映物理系统的A,c矩阵求状态反馈增益矩阵，不通过非奇异变换，使设计工作简单。①首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈Ｇ。②加入从输出到的反馈增益矩阵,得到闭环系统状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式。③由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式。④将与比较，即可得到。⑤进一步画出模拟结构图。

三．系统镇定问题　

所谓系统镇定，是对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐近稳定。

镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况，它只要求把闭环极点配置在根平面的左侧，而并不要求将闭环极点严格地配置在期望极点上。

状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐近稳定。

输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中能控能观子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐近稳定的。

输出到的反馈实现镇定的充要条件是不能观子系统为渐近稳定。

五．状态观测器

作用：闭环极点的任意配置、系统解藕以及最优控制系统都离不开状态反馈。但状态变量并不是都能直接检测，有些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题。龙伯格提出的状态观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律。

１．定义：动态系统以的输入u和输出y作为输入量，产生一组输出量逼近于，即，则称为的一个状态观测器。构造原则：必须是完全能观或不能观子系统是渐近稳定的；的输出应以足够快的速度渐近于；在结构上尽可能简单（具有尽可能低的维数），以便于物理实现。

２．等价性指标　

动态系统　　　　原系统　　

　得到

只要系统是稳定的，即Ａ的特征值具有负实部，就可做到与是稳态等价的。

３．重构状态方程

原因：①系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断是否有逼近于；②不一定能保证Ａ的特征值均具有负实部。　克服这个困难，用对输出量的差值的测量代替对状态误差的测量，当，有。　　同时，引入反馈阵Ｇ，使系统的特征值具有负实部。

状态重构方框图为p213  5.16(a) 要求熟练记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。

状态观测器方程为　记为

这里的G称为输出误差反馈矩阵。可以证明，如果的特征值具有负实部，那么状态误差将逐渐衰减到０，即估计状态逼近于实际的状态。逼近的速度取决于G的选择，即的特征值的配置。

４．观测器的存在性

对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。

观测器存在的充要条件是不能观子系统是渐近稳定的。

５．观测器的极点配置

定理：线性定常系统，其观测器可以任意配置极点，即具有任意逼近速度的充要条件是完全能观测。　

极点配置方法：（1）能观标准型法，适合于。①首先判断是否完全能观，是，存在观测器可以任意极点配置。②通过线性变换化为能观标准２型，得到。③加入输出误差反馈阵,得到闭环系统状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式。⑤将与比较，即可得到。⑥把对应与的，通过 。⑦得观测器方程，，进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，，可由特征值不变原理求状态反馈增益矩阵，不通过非奇异变换，使设计工作简单。①首先判断是否完全能观，是，则存在观测器可以任意极点配置。②引入输出误差反馈矩阵,得到观测器系统状态空间表达式。③求出对应的闭环特征多项式。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式。⑤将与比较，即可得到。⑤得观测器方程，进一步画出模拟结构图。

六．利用状态观测器实现状态反馈的系统（带观测器的状态反馈闭环系统）

1．系统的结构与状态空间表达

结构框图要非常熟悉 

前提：受控系统完全能控能观，状态反馈闭环系统和观测器都可以任意极点配置。

受控系统 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＊１式

状态观测器   　＊２式

反馈控制率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＊３式

整理得整个闭环系统的状态空间表达式 也可写成矩阵形式

显然，这是一个2n维的闭环控制系统。

2．闭环系统的基本性质

（1）分离性   复合系统（由观测器构成的状态反馈闭环系统）其特征多项式等于矩阵和特征多项式的乘积。即闭环系统的极点等于直接状态反馈（）的极点和状态观测器（）的极点总和，且相互独立。所以输出误差反馈阵和状态反馈阵K可以分别进行设计。

（2）传递函数矩阵的不变性

可以推出复合系统的传递函数为，等于直接状态反馈闭环系统的传递函数。或者说它与采用观测器反馈无关。

（３）观测器反馈与直接状态反馈的等效性

稳态时，两者等价。　

选择Ｋ，可以改变闭环系统的极点到期望极点，从而改善系统性能。

选择Ｇ，可以改变观测器的极点，从而加速使状态误差衰减到０。一般取观测器的极点比闭环系统的期望极点（（）的极点）略负，既保证状态误差有较快的衰减速度，又不致引人更多的噪声干扰。

３．设计步骤(只给出低阶系统的设计步骤)：

①判断原受控系统的能控性能观性，是完全能控能观，则状态反馈阵Ｋ和观测器输出误差反馈阵Ｇ存在，且闭环系统和观测器极点可以任意配置。②设计状态反馈阵Ｋ：求的特征多项式，由期望的闭环极点得期望的特征多项式，比较系数，从而得到Ｋ。③设计观测器输出误差反馈阵Ｇ：求的特征多项式，由观测器期望的配置极点得期望的特征多项式，比较系数，从而得到Ｇ。④给出观测器方程即＊２式。⑤结合＊1式和＊3式，画出相应的模拟结构图。