数列高考知识点大扫描

                              

数列基本概念

数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：

依定义域分为：有穷数列、无穷数列；

依值域分为：有界数列和无界数列；

依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；

数列通项：

2、等差数列

   1、定义  当,且 时，总有 ，d叫公差。

   2、通项公式

1）、从函数角度看 是n的一次函数，其图象是以点 为端点, 斜率为d斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看   , 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又,

相减得 ，即.

若 n>m，则以 为第一项，是第n-m+1项，公差为d；

若n<m ，则 以为第一项时，是第m-n+1项，公差为-d.

      3）、从发展的角度看  若是等差数列，则 ，, 因此有如下命题：在等差数列中，若 , 则.

   3、前n项和公式 

 由 ，

相加得  ，       还可表示为，是n的二次函数。

特别的，由 可得 。

3、等比数列

1、   定义  当,且 时，总有  , q叫公比。

2、通项公式： , 在等比数列中，若 , 则.

3、前n项和公式:

    由 ， 两式相减，

当 时， ；当时 ， 。

   关于此公式可以从以下几方面认识：

①不能忽视 成立的条件：。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。

如，公差为d 的等差数列， ，则，

相减得 ，

当 时，，

当时 ，；

 3）从函数角度看  是n的函数，此时q和 是常数。

4、等差与等比数列概念及性质对照表

5、递推数列  表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如 递推数列的基本方法，其中数列 可求前n项和，即 ；累乘法是求形如  递推数列通项公式的基本方法，其中数列 可求前n项积，即 .

          

 第一节  等差数列的概念、性质及前n项和

题根一  等差数列{a_n}中， ，求S₂₀

[思路]等差数列前n项和公式：

1、   由已知直接求a₁ ，公差d.

2、   利用性质

[解题 ] 由  ， ，得  ，

 ，。

[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。

[请你试试 1——1]

1、   等差数列{a_n} 满足 ，则有  （  ）

A、    B、     C、    D、 

2、  等差数列中,a₃+a₇-a₁₀=8,a₁₁-a₄=4,求 。

  第1变   求和方法——倒序相加法

[变题1] 等差数列{a_n}共10项， ，，求S_n.

[思路]  已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想S_n公式推导方法。

[解题]  已知，，

又 ，得  ，，

[收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：，快捷准确；

3、   求出后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。

[请你试试 1——2]

1、   等差数列{a_n}共2k+1项，所有奇数项和为 ，所有偶数项和为 ，求 ： 的值。

2、   等差数列{a_n}前n项和为18 ，若 , , 求项数n .

3、   求由 1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。

4、   求和 。

第2变  已知前n项和及前m项和，如何求前n+m项和

[变题2] 在等差数列{a_n}中，S_n=a,S_m=b,(m>n)，求S_n+m的值。

[思路] 下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质 是否有关？

[解题]  由S_n=a,S_m=S_n+a _n+1+a_n+2+……+a_m=b     得 a _n+1+a_n+2+……+a_m  =b-a,

即  ，    得

由(n+1)+m=1+(n+m),        得a_n+1+a_m=a₁+a_m+n

故

[请你试试 1——3]

1、在等差数列{a_n}中，，，求  。

2、在等差数列{a_n}中，，，求  。

第3变  已知已知前n项和及前2n项和，如何求前3n项和

[变题3]  在等差数列{a_n}中，，，求

[思路]   由寻找之间的关系。

[解题]  设数列{a_n}公差为d ，，，,     , ，

所以 成等差数列，公差100d , 于是 ，得 。

[收获] 1、在等差数列{a_n}中，成等差数列，即 ，，，……，成等差数列，且。

3、   可推广为 ，，……，。

    [请你试试 1——4]

1、在等差数列{a_n}中，，，求

2、在等差数列{a_n}中，，，求

3、在等差数列{a_n}中，，，求 及。

4、数列{a_n}中，，，求 。

5、等差数列{a_n}共有3k项，前2k项和  ，后2k项和 ，求中间k项和。

第4变迁移变换重视Sx=Ax²+Bx 的应用

[变题4]  在等差数列{a_n}中，S_n=m,，S_m=n,(m>n)，求S_n+m的值。

[思路] 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，若所求问题与 无关时，常设为S=An²+Bn形式。

[解题] 由已知可设   S_n=An²+Bn=m      S_m=Am²+Bm=n ,

两式相减 ，得      A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n ,      又m>n ,     所以 ，

得  。

[收获] “整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。

[请你试试 1——5]

1、   在等差数列{a_n}中，，，求

2、   在等差数列{a_n}中，，，求

3、   在等差数列{a_n}中，，，求 当n为何值时，有最大值

第5变  归纳总结，发展提高

[题目] 在等差数列{a_n}中，S_n=a,S_m=b,(m>n)，求S_n+m的值。（仍以变题2为例）

除上面利用通项性质求法外，还有多种方法。现列举例如下：

1、   基本量求解：

由，

相减得,

代入得。

2、利用等差数列前x项和公式Sx=Ax²+Bx求解

由Sx=Ax²+Bx，得   S_n=An²+Bn,      S_m=Am²+Bm

两式相减 ，得      A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b

即   故

3、利用关系式求解

由  知  与n成线性关系，从而点集{(n, )}中的点共线，即(n, ),

(m, ),(m+n, )共线，则有           ， 即 ，

化简, 得    ，   即.

4、利用定比分点坐标公式求解

由A(n, ), B(m, ), P(m+n, )三点共线,将点P看作有向线段的定比分点,则      ，可得,

即.

[请你试试 1——6]

若S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₂=3，S₆=4 ，则S₁₂______.

第二节   等比数列的概念、性质及前n项和

题根二  等比数列{a_n} ， , 求。

[思路] 1、由已知条件联立，求，从而得

2、由等比数列性质，知成等比数列。

[解题1] 由 ,   两式相除，得  ，。

[解题2] 由 成等比，得   。

[收获] 1、灵活应用性质，是简便解题的基础；

2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。

             [ 请你试试2 ——1]

 等比数列{a_n} ， ，若 ，则_______。

           第1变   连续若干项之和构成的数列仍成等比数列

[变题2] 等比数列{a_n} ，，求 。

[思路] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。

[解题] 设，……，，

则是等比数列，，，即 。

[收获] 等比数列{a_n} ，   时，，…… 成等比数列，但总有 。当k为偶数时，恒成立。

             [请你试试2——2]

1、等比数列{a_n} ，   时，，求。

2、等比数列{a_n} ，   时，，求。

      第2变成等差，则成等差

[变题3] 等比数列{a_n} 中， 成等差，则 成等差 。

[思路] 成等差，得，要证 等差，只需证 。

[解题]由 成等差，得，

当 q=1时， , 由  得  ，。

由，  得  ，

整理得  ，，得  ，

两边同乘以 ， 得 ，即  成等差。

[收获] 1、等比数列{a_n} 中，成等差，则 成等差。

2、等比数列{a_n} 中，成等差，则  （其中 ）成等差

3、等比数列{a_n} 中，成等差，则 （其中）成等差。

                [请你试试2——3]

1、   等比数列{a_n} ， ， 成等差， 求的值。

2、等比数列{a_n} ，成等差，求证 成等比。

第3变  是等比，也是等比数列

[变题4]数列 中， 且 ，是等比数列，公比 q ()，求证() 也是等比数列。

[思路]  ,欲证 为等比数列，只需证 为常数。

[解题]   ，，（）, 得，而 ，，，（ ）, 故 从第二项起，构成等比数列，公比为 q 。

第4变  等比数列在分期付款问题中应用

                                            

问题  顾客购买一售价为5000元的商品时，采用分期付款方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%，每月利息按复利计算，那么每期应付款多少？（精确到1元）

    分析一：设每期应付款x元，则

第1次付款后，还欠     5000(1+0.8%)-x（元）

第2次付款后，还欠     [5000(1+0.8%)²-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)²-x(1+0.8%)-x（元）

第3次付款后，还欠  {5000(1+0.8%)²-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)³-x(1+0.8%)²-x(1+0.8%)-x（元）

…………

最后一次付款后，款已全部还清，则  5000(1+0.8%)¹²-x(1+0.8%)¹¹-x（1+0.8%）¹⁰-……-x(1+0.8%)-x=0 ，

移项 5000(1+0.8%)¹²=x(1+0.8%)¹¹+x（1+0.8%）¹⁰+……+x(1+0.8%)+x   ， 即

算得  （元）

一般地，购买一件售价为a元的商品，采用分期付款时，要求在m个月内将款还至b元，月利润为p，分n（n是m的约数）次付款，那么每次付款数计算公式为   .

分析二：设每月还款x元，将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息，而顾客第一次还的钱也应计算11个月的利息，第二次还的钱应计算10月的利息……，于是得方程

5000(1+0.8%)¹²=x(1+0.8%)¹¹+x（1+0.8%）¹⁰+……+x(1+0.8%)+x，  解得（元）

分析三：设每次还款x元，把还款折成现在的钱，可得 

 ， 解得  （元）。

将上述方法应用到其他实际问题中，如木材砍伐，人口增长等。

[请你试试2——4]

 某地现有居民住房的总面积为a m²，其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房。如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？（取1.1¹⁰为2.6）

         第三节   常见数列的通项及前n项和

[题根3]  求分数数列的前n项和

[思路] 写出数列通项公式，分析数列特点：分母中两因数之差为常数1。

[解题] 数列通项公式 ，亦可表示为 ，

所以 。

[收获]  将数列每一项裂为两项的差，再相加，使得正负抵消。

         第1变  分母中两因数之差由常数1由到d

[变题1]  求分数数列的前n项和。

[思路] 写出通项公式，裂项求和。，

[解题] ，

。

[收获]1、求分数数列的前n项和时，将数列每一项裂为两项的差，称裂项法。

2、用裂项法可求解：

（1）         若为等差数列，，公差为d，则

        .

     3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型 ；

根式型 ；。另外还有：nn!=(n+1)!-n!， 。

[请你试试  3——1]

1、求分数数列的前n项和

2、求分数数列的前n项和。

2、   求分数数列的前n项和。

         

   第2变分母中因数由2到3

[变题2] 求分数数列的前n项和。

[思路] 数列中的项的变化：分母因数由两个变为三个，是否还可裂项呢？

[解题] 由 ，

得

。

[收获] 1、分母为连续三因数的积，仍拆为两项的差，再相加，使得正负抵消。

2、对于公差为d ()的等差数列 ,有 .

            [请你试试  3——2]

 1、求分数数列……的前n项和。

 2、求分数数列……的前n项和。

 3、求分数数列……的前n项和。

第3变  由分数数列到幂数列

[变题3]  求数列……的前n项和。

[思路] 利用恒等式 ，取k=1 , 2 , 3 ,……，相加正负抵消可解。

[解题] 由恒等式

取k=1、2、3……， 得

…………

各式相加得 

得

   。

[收获] 利用恒等式 ，类似可得 。

 注意：正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。

[请你试试 3——3]

求和 （1），（2），（3）。

         第4变  由幂数列到积数列

[变题4] 求数列……的前n项和。

[思路1]写通项公式，由通项特征求解。

[解题1]，

。

[思路2] 利用 裂项相加。

[解题2] 由

得

。

[收获] 对于通项为两因数的积，可推广到通项为k个因数的积，如求数列……的前项和。

由 将每一项裂为两项的差，相加即可正负抵消。

[思路3] 联想组合数公式，可见 ，利用组合数性质可得。

[解题3]  由，得 。

[请你试试 3——4]

求数列……的前n项和。          

               

第4变  由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列

[变题5]  在数列 中，，（1） 分别求出 和 的n取值范围；（2）求数列最大项；（3）求数列前n项和 。

 [思路]  1、解正整数不等式，2、利用函数单调性，3、利用错位相消法。

[解题] （1）由 ，当n<9时， ，即 ；当 n<9时 ，， 即 。

（2）         当n=9时， ，是数列的最大项。

（3）         设              …………（1）

  则            …………（2）

 相减得 。

            [请你试试 3——5]

1、   求数列 ……的前n项和。

2、   求和。

3、   求和。

4、   已知数列 ， 数列 ，，求数列 的前n项和。

第四节   递推数列的通项公式及前n项和

1、利用不动点求数列通项  

[题根三] 数列 满足，，求通项公式。

[思路] 1、写出 ，由不完全归纳法得表达式。

2、构造新数列，转化成等比数列求解。

[解题] 在的 两边加1，则数列 是首项为2，公比为2的等比数列，

得 ，即 即为所求。

[收获] 型递推数列，当p=1时, 数列为等差数列；当时,数列为等比数列。下面给出时递推式的通项公式的求法：

方法1、因为  所以一定存在  满足   ， 从而得 ， 此为函数的不动点。 由  ，得是首项为 ，公比为p的等比数列，于是  , 即   ，将   代入上式， 得 通项公式为            ………………（I）     

方法2、由,， 得，令， 则，则是首项为，公比为q的等比数列，  得   

   （*）；当n=1时,（*）式也成立。

                    [请你试试4——1]

数列满足 ,  ， 求 。

 [变题1] 数列 满足， 求通项公式 。

[思路] 常见解法：先求数列 的通项公式

[解题]由将已知关系式取倒数得 ， 由（#）式 得 ，所以。

[收获] 型递推数列的通项公式的求法：  

令  ，得 或  为两不动点。由于，

设，则 ，此为模型。  同样，  也可化为 模型，由（I）式可求得。更为特殊的是p=s 时，, 设   则数列 是等差数列 。我们常取的倒数求解 ，原因恰是为此 。

[变题2]  （06年江西理第22题）数列 满足， 求通项公式。

[解答] ，即，又，得 ，所以 ，得 。

[请你试试4——2]

函数 ，数列  满足，， ，（1）求的通项公式 ；（2）设 ，求 。

[变题2] 数列中， ，求

[思路1] 令 ，得 ，即两不动点，可得是等比数列，

[解法1] 由，

令，    则       ……………………（a ）

由，   

令，       则      ……………………（b）

(a)      式除以(b)式  得 ，即是首项为

公比为的等比数列，，

[思路2] 和均可化为型递推式，

[解法2]  由

令， 则 ，  由（I）式 得

所以

[解法3]  由   ，    亦可求得

[收获] 求解型递推数列的通项公式的方法：

   令  ， 设其两根为  即两不动点。于是是等比数列， 并且和均可化为型递推式 。

[请你试试4——3]

写出解法3的详细过程。

[变题3] 设数列 前n项和为，求 及 。

[思路] 将已知关系中 的化为 ，再进一步变形。

[解题]  由，得 , 即 

  ,  得.

  这是 型递推式，由(#)式得

 

第1变递推式 

2、累积错位相消法求数列通项

[变题4] 数列 满足，，求通项公式。

[思路] 观察 与、与 存在的关系，思考解题方法。

[解题] ，，，……，，各式相乘得 。

[收获] 1、若f(n)为常数, 则为等比数列。2、型递推式，通项公式求解方法如下：

各式两边分别相乘，得         ……………………………（II）

当n=1时, (II)仍成立

[变题5] 在数列中,,

（1）         求 通项公式   （2）令，求的前n项和。

[思路] 将题中递推式转化、归类，再求解。

[解题] （1）将题中递推式转化为：

.

即  .由 (II) 式 得通项公式

(2) 由 , 得 

所以数列前n 项和 ： 

第2变   型递推数列

3、累加错位相消法求数列通项

[变题6] 已知数列中，，,   求的通项公式。

[思路] 将题中递推式变形 ，利用错位相消法。

解   将题中递推式表示为：，

于是   ，，，……，

各式相加得

得 

  即为所求通项公式。

[收获] 对于数列，设  则称数列是差数列， 则

 得

 所以的通项公式为………… （III）.  当n=1时，也满足(III)式。

[变题7]  在数列中，,   , 求通项公式。

[思路] 题中关系式不是型的递推式，但两边同除以n(n+1)，经过变量替换，可化为型递推式。

[解题]  在递推式   两边同除以 n(n+1) , 得     

令  得 ，。由（III）式得 表达式为：

于是通项公式为 

      [请你试试4——4]

 求数列 1、4、11、26、57、120、……，的通项公式。

第3变  型递推数列

4、两边同除以 ，经过变量替换，化为型递推式

[变题8]  数列满足 ,  ， 求 。

[思路] 递推式两边同除以 ，经过变量替换，可化为型递推式。

[解题] 在 两边同除以 ， 得    

令 ，则  , 此为模型。

于是 则

所以 

[收获] 在中，当q(n)是常数q时，即为模型。

在两边同除以 ,  得 ,     令, 得   即可求出 的通项公式，从而得=

[变题9]（20##年全国理第22题）设数列前n项和为，n=1,2,……，求通项 。

[解答]  。因为 ，所以由题设得：，即

，得 。

[规律小结] 根据数列性质可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。

[请你试试4——5]

1、数列满足 ,  ， 求 。

2、数列的前n项和 ，,  求

第3变  型

4、两边取对数，变形转化为模型

[变题10]  数列中，令， （1）求数列的通项公式，（2）设，求。

[思路] 利用对数运算法则变形转化。

解：（1）由已知得 ，即模型，

由(II)式，得。

（2） 由 ，  得 

 则 。

[收获] ，当q=1时，为等比数列。当 时，对递推式两边取常用对数，得  , 令,    得 ，此为模型，即题根 。

第4变  型

5、利用特征根求通项公式

[变题11]  在数列 中， ， ，求

[思路]  在数列中，已知 ，且 ，求其通项公式方法介绍如下：当 时，存在 满足 （*），即 ，与 比较系数，得 ，由根与系数的关系知 是二次方程 两实根，此方程称为递推式的特征方程。易见，只需将递推式中的 换成 即可得特征方程。由 （*）式知数列 是等比数列，于是   或  。当 时，将p=1-q代入递推式，得 ，则 是以 为首项，-q为公比的等比数列，从而 ，利用错位相消法即可求解。

[解题] 递推式特征方程为 ，解得 ，所以递推式可表示为 ，数列是首项为 ，公比为 的等比数列，所以……，两边同除以 ，得 ，

于是 是首项为0，公差为1等差数列，故，。

[收获] 一般的，在数列中，已知 ，且 ，它的特征方程 两根为，则，当时 ，通项公式 ；当时 ，通项公式 ……，其中A，B为常数，可由 推出。

利用这一结论可方便的推出通项公式。

[变题12] 在数列 中， ， ，求

解：特征方程 两根为。设 ，由，得 A=2，B=-1， 故 。

[请你试试  4——6]

1、在数列 中， ， ，求 。

2、在数列 中， ， ，求 。

第六章  数列请你试试  答案与提示

[请你试试 1—1]：1、，，选 C

2、a₃+a₇-a₁₀+a₁₁-a₄=，得 。

[请你试试 1—2]：1、略； 2、n=27； 3、由，；

4、倒加法 。

[请你试试 1—3]：1、200； 2、4 。

[请你试试 1—4]：1、12； 2、40； 3、 0、110； 4、3 (b-a)；5、。

[请你试试 1—5]：1、  1504；2、0；3、12或13。

[请你试试 1—6]：。

[请你试试2—1]：等比数列中某些项的积的问题，利用性质解。 设 ,  ， ，易见A，B，C成等比，公比为 。 由 且 ，得  ，即 ，。

[请你试试2—2]：1、 ；2、 或（舍去）。

[请你试试2—3]：1、等差，则，得 ，即=0；

2、略。

[请你试试2—4]：由上例分析得 a(1+10%)¹⁰-x(1+10%)⁹-……-x(1+10%)-x=2a，即，

即  2.6a-16x=2a  。

[请你试试3—1]：1、 ；2、 ；3、 。

[请你试试3—2]：1、；2、 ；

      3、

。

[请你试试3—3]：1、；2、；3、。

[请你试试3—4]：。

[请你试试3—5]：1、；2、分和 两种情形；3、；

4、。

[请你试试4—1]：由  得  ，可得；

或由求。

[请你试试4—2]：提示：；。

[请你试试4—3]：略

[请你试试4—4]：由原数列得一阶差数列 ：3、7、15、31、63、……；由得 二阶差数列 ：

4、8、16、32、……，易得，得，最后得原数列通项公式 。

[请你试试4—5]：1、两边同除以，得，即，得 。2、由,  得 ，  。

[请你试试4—6]：1、特征方程 两根为，设 ，由，得 A=0，B=1， 故 。2、取对数，，令，则 ，，且 ， ……，。